北师大版九年级数学下册单元教案-第三章圆
第三章圆
3．1圆教学目标
1．明确圆的定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念．
2．理解点和圆的位置关系，并能根据条件画出符合条件的图形．
教学重点
圆的有关概念及点和圆的位置关系．
教学难点
“圆是圆周而非圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念．
教学过程
一、创设情景明确目标
(1)展示几种车子的图形，留心观察，车轮的形状，以及一幅游戏的画面，这几幅图从不同的角度去选用，从离自己较远的方面到涉及自己有关的方面，逐渐引入．
(2)如图，前面我们已经学习了圆，圆还可以看成________的所有点组成的图形，其中________是圆心，________是半径．
二、自主学习指向目标
阅读教材第65页至67页的内容，完成中的“课前预习”部分．
三、合作探究达成目标
探究点一圆的定义
1．圆的定义
(1)从旋转的角度理解：如图1，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做________，线段OA叫做________．思考：①线段OA所形成的图形叫做圆面，而圆是一个封闭的曲线图形，指的是圆周．
②在平面内画出圆，必须明确圆心和半径两个要素，________确定位置，________确定大小．
③以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．那么以点A为圆心的圆，记作________，读作________．
(2)从集合的观点理解：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有________的点的集合．
2．如何证明几个点在同一个圆上？
反思小结：证明几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到一个定点的距离________．针对训练：见“当堂练习”部分．
探究点二圆的相关概念
1．连接圆上任意两点的________叫做弦，经过圆心的弦叫做________，如图，________是⊙O的直径；在⊙O中，线段________是弦．
思考：“直径是弦，弦是直径”这种说法正确吗？直径是圆中最长的弦吗？
结论：________，________．
2．圆弧是圆上________，简称弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做________．大于________的弧叫做优弧，小于________的弧叫做劣弧．思考：(1)“半圆是弧，弧是半圆”这种说法正确吗？
结论：________________________________________________________________________
(2)以A，B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”，那么以M，N为端点的弧记作________，读作________．如图，弦AC所对的弧有两条，其中优弧记作________，劣弧记作________．
3．能够________的两个圆叫做等圆．“半径相等的两个圆是等圆”．
思考：面积相等的两个圆是等圆吗？周长相等的两个圆呢？
结论：________，________．
在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．
反思小结：在理解圆的相关概念时要结合图形．
针对训练：见“当堂练习”部分．
探究点三点与圆的位置关系
1．如图是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上投了5枝飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点．观察A、B、C、D、E这5个点与⊙O的位置关系？
在学生思考交流展示后小结点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内．
展示点评：点与圆的位置关系及点到圆心的距离d与半径r之间的数量关系让学生动手画圆，分别在圆外、圆内、圆上找一些点，测量这些点到圆心的距离，分析它们有什么共同特征？反之知道一个点到圆心的距离和圆的半径，你会判断这个点和圆的位置关系吗？怎么样判断？
在学生操作、思考、交流、展示后教师总结：
①点在圆外?d＞r
②点在圆上?d＝r
③点在圆内?d＜r
针对训练：
1．已知⊙O的面积为9π，判断点P与⊙O的位置关系：
(1)若PO＝4.5，则点P在________；
(2)若PO＝2，则点P在________；
(3)若PO＝________，则点P在圆上
2．如图：已知Rt △ABC ，AB ＜BC ，∠B ＝90°，试以点B 为圆心，BA 为半径画圆． 反思小结：对于圆的定义有几种定义的方法，可以以点运动的轨迹来定义，也可以以集合的观点来定义；判断点与圆的位置关系，必须比较d 与r 之间的大小．
四、总结梳理 内化目标
1．圆?????圆的定义???
??描述性定义集合定义
圆的表示法、读法
圆的相关概念
2．应用：同圆的半径相等，圆心是任一直径的中点．
3．点与圆的位置关系． 五、达标检测 反思目标 1．下列命题正确的有( )
①弦是圆上任意两点之间的部分 ②半径是弦 ③直径是最长的弦 ④弦是半圆，半圆是弦
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．一个点到圆上的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则圆的半径是( ) A ．2.5cm 或6.5cm B ．2.5cm C ．6.5cm D ．5cm 或13cm
3．如图，已知在⊙O 中，AB ，CD 为直径，则AD 与BC 的关系是( ) A ．AD ＝BC B ．AD ∥BC
C ．A
D ∥BC 且AD ＝BC D ．不能确定
4．⊙O 中若弦AB 等于⊙O 的半径，则△AOB 的形状是__________．
5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，点D 是BC 的中点，若AC ＝10cm ，则OD ＝________cm.
6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，求证：A ，B ，C 三点共在同一圆上．
作业布置
教材第68页习题1，2，3.
教学反思
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3．2圆的对称性教学目标
1．理解圆的旋转不变性．
2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
教学重点
利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
教学难点
理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件．
教学过程
一、创设情景明确目标
(1)圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找出多少条对称轴？
(2)你可以用什么方法来解决上述问题？
二、自主学习指向目标
阅读教材第70至71页的内容，并完成中的“课前预习”部分．
三、合作探究达成目标
探究点圆的对称性
(1)圆是轴对称图形
活动1：把一个圆用折叠的方法把圆折叠数次，看看能不能使折叠的两部分完全重合．
展示点评：如上面三个图，只要折线经过圆心，则所折的两部分半圆可以完全重合，可以确定出圆是轴对称图形，对称轴即为过圆心的直线，有无数条这样的对称轴．反思：圆有无数条对称轴，而以前学习的正多边形的对称轴是有限的．
活动2：把一个圆以圆心为固定点任意旋转一个角度，旋转前后都能重合吗？
展示点评：把上述两个圆形以圆心O 为固定点随意旋转任意一个角度，旋转前后的图形都是重合的；所以圆是中心对称图形，而对称中心就是圆心．
反思：圆是中心对称图形，而它绕中心旋转的角度可以是任意角，区别于其他中心对称图形，一般地需要旋转90°，180°或360°等等．
针对训练：教材72页随堂练习1，2. (2)圆心角，弧，弦之间的关系．
活动3：在等圆⊙O 和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′B′(如图)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合，你还能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
展示点评：可以很容易得到AB ︵＝A ′B ′︵
，AB ＝A ′B ′，∠AOB ＝∠A′O′B′， 归纳：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
②在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
反思小结：(1)上述①②必要条件为同圆或等圆；另外弦所对的弧特别指出为劣弧．
(2)如果①∠AOB ＝∠A′O′B′，则有：AB ︵＝A′B′︵
，AB ＝A′B′； ②若AB ＝A′B′，则有AB ︵＝A ′B ′︵
，∠AOB ＝∠A ′O ′B ′； ③若AB ︵＝A ′B ′︵
，则有∠AOB ＝∠A′O′B′，AB ＝A′B′. 例题讲解：教材71页例题． 针对训练：
如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦．
(1)如果AB ＝CD ，那么________，________． (2)如果AB ︵＝CD ︵
，那么________，________．
(3)如果∠AOB ＝∠COD ，那么________，________．
(4)如果AB ＝CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？ 四、总结梳理 内化目标
1．圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线． 2．圆具有旋转不变性，把圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的圆形重合．圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3．圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论． 五、达标检测 反思目标
1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝ED ︵
，∠COD ＝35°，求∠AOE 的度数．
2．如图，已知OA 、OB 是⊙O 的半径，点C 为弧AB 的中点，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，求证：MC ＝NC.
作业布置
教材第72页习题1，2题． 教学反思
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3.3 垂径定理教学目标
1．掌握垂径定理及其推论的内容．
2．学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算． 教学重点
垂径定理及其推论的发现、记忆与证明． 教学难点
垂径定理及其推论的运用． 教学过程
一、创设情景 明确目标
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M.
(1)此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2)你能发现图中有哪些等量关系？说说你的理由？ 二、自主学习 指向目标
阅读教材第74页至75页内容，并完成中的“课前预习”． 三、合作探究 达成目标 探究点 垂径定理及其推论
(1)垂径定理 活动：
(思考)如图：AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足E.
①这个图形是轴对称图形吗？
②你能发现图中有哪些相等的线段和弧？请说明理由． ③你能用一句话概括这些结论吗？ ④你能用几何方法证明这些结论吗？ ⑤你能用符号语言表达这个结论吗？
展示点评：如图，根据图的对称性，直线CD 是对称轴，所以AE ＝BE ，AD ︵＝DB ︵
，OE ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵
.
归纳：垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，平分弦所对的两条弧． 如图，∵CD ⊥AB ，CD 为直径， ∴AE ＝BE ， AD ︵＝DB ︵，AC ︵＝BC ︵.
反思小结：垂径定理是利用了圆是轴对称图形的性质而得到的；垂径定理在圆的解题中应用十分广泛．
例题讲解：教材第74页例题． 针对训练：“当堂练习”部分． (2)垂径定理的推论．
思考：AB 是圆O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD 交AB 于E ，此图是轴对称图形吗？
你能发现哪些结论？和你的同桌交流一下，说说你的理由． 在学生思考、讨论、交流后师生共同总结：
平分弦(不是直径)的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 思考：为什么强调这里的弦不是直径？
如图，∵CD 为直径，AE ＝BE ， ∴CD ⊥AB ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵
.
例题讲解：教材第75页例题．
针对训练：中的“当堂练习”部分． (3)垂径定理的应用．
思考：从数学的角度分析已知什么几何图形，画出它，分析已知哪些量，要求什么量，为了解决问题，教材添加了什么辅助线？它有何作用？
反思小结：在圆中解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线．实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可．这样，把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R ，圆心到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式：R 2＝d 2＋(a 2
)2.
针对训练：(1)教材第76页随堂练习． (2)见“课后作业”部分． 四、总结梳理 内化目标
(1)垂径定理及其推论的推理过程．
(2)垂径定理及其推论的应用；在实际问题中常常需要添加一些辅助线，利用勾股定理来解决．
五、达标检测 反思目标
1．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC ，垂足为D ，已知OD ＝5，则弦AC ＝________．
2．若圆的半径为2cm ，圆中一条弦长为23cm ，则此弦中点到此弦所对劣弧中点的距离是________cm.
3．如图，⊙O 的半径为5，P 为圆内一点，P 到圆心O 的距离为4，则过P 点的弦长的最小值是________．
错误!,第4题图)
4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为( ) A．2B．3C．4D．5
5．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是( ) A．7cm B．1cm
C．7cm或4cm D．7cm或1cm
作业布置
教材第76页习题1，2，3.
教学反思
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3．4圆周角和圆心角的关系
第1课时圆周角及定理
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角定理的证明．
3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想．
教学重点
圆周角概念及圆周角定理．
教学难点
认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性．
教学过程
一、创设情景明确目标
在射门游戏中如图，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关，当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系？
二、自主学习 指向目标
阅读教材第78页至79页的内容，并完成中的“课前预习”部分． 三、合作探究 达成目标 探究点一 圆周角定义
活动：完成上面题目背景下提出的问题？ 结论：∠ABC ＝∠ADC ＝∠AEC.
展示点评：可以发现∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 它们有共同的特点：角的顶点都在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫它圆周角．
反思小组：(1)圆周角定义，顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做圆周角．
(2)圆周角与圆心角的区别在于一个顶点在圆上，一个顶点在圆心． 针对训练：“当堂练习”部分有关题目． 探究点二 圆周角定理
活动：如图，∠AOB ＝80°
(1)请你画出几个AB ︵
所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． (2)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同学交流．
展示点评：图(1)可知：∠C ＋∠A ＝∠AOB ，∠A ＝∠C ，∴2∠C ＝∠AOB ，即：∠C ＝12∠AOB ＝1
2×80°＝40°；图(2)连接OC 并延长，由图(1)可知∠1＝2∠3，∠2＝2∠4，∴∠1＋∠2＝2(∠3＋∠4)，即∠AOB ＝2∠ACB(∠C ＝12∠AOB ＝1
2×80°＝40°)；图(3)连接OC
并延长交⊙O 于D ，同理可知∠AOD ＝2∠ACO ，∠BOD ＝2∠BCO ，∴∠AOD －∠BOD ＝2(∠ACO －∠BCO)，即∠AOB ＝∠2ACB(∠ACB ＝12∠AOB ＝1
2
×80°＝40°)
归纳：在学生小组交流后得到结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
反思小结：(1)探索同一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间关系分三种图形进行讨论．
(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 针对训练：
(1)学生完成教材第79页(2)(3)问． (2)中“当堂练习”有关部分． 探究点三 圆周角定理的推论 观察图①，∠ABC ，∠ADC 和∠AEC 各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？由此你得到什么结论？
在学生思考讨论交流后学生总结：
在同圆中，同弧所对的圆周角相等．
思考：如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？
归纳小结：圆周角定理的推论是在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．针对训练：
①教材第80页随堂练习．
②中的“当堂练习”部分．
四、总结梳理内化目标
(1)圆周角的定义
(2)圆周角定理及其推论1.
五、达标检测反思目标
1．如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠BAC＝________．
变化题1：
如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝40°，则∠BOC＝________．
变化题2：
如图，∠BAC＝40°，则∠OBC＝________．
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD＝100°，求∠BOD(BCD所对的圆心角)和∠BAD
的大小．
作业布置
教材第80页习题1，3.
教学反思
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第2课时圆周角及推论
教学目标
1．掌握圆周角定理推论的内容，会熟练运用定理及推论解决问题．
2．掌握圆内接四边形的概念及性质，会运用性质解决问题．
教学重点
圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质．
教学难点
圆周角定理的推论及圆内接四边形的性质的运用．
教学过程
一、创设情景明确目标
1．如图，∠BOC是_______角，∠BAC是_______角，若∠BOC＝80°，∠BAC＝________．
第1题图第2题图
2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO＝65°，则∠BCA＝()
A．25°B．32.5°
C．30°D．45°
二、自主学习指向目标
阅读教材第81页至82页内容，并完成中“课前预习”部分．
三、合作探究达成目标
探究点一圆周角定理的推论
活动：
1．探究圆周角定理的推论；
观察图①，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角是锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？
观察图②，圆周角∠BAC＝90°，弦BC经过圆心吗？为什么？
展示点评：利用圆周角定理可知：
∵∠BOC ＝180°，∴∠A ＝12∠BOC ＝1
2×180°＝90°(图1)；图(2)可以判断BC 为直径．
小组讨论：
在学生思考，小组交流后师生共同总结：圆周角定理的推论是直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
运用：∵BC 是直径，点A 在圆上，∴∠BAC ＝90° ∵圆周角∠BAC ＝90°，∴BC 是直径
反思小结：定理的推论实际上是在定理基础上的一种拓展；可以通过圆周角定理得到：直径所对的圆周角为直角，反之也成立．
针对训练：(1)中“当堂练习”部分．
(2)练习：小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？
图(1) 图(2) (3)教材第83页随堂练习1. 探究点二 圆内接四边形
活动：(1)如图(1)A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径，∠BAD 与∠BCD 之间有什么关系？为什么？
图(1) 图(2)
(2)如图(2)，若AC 不为直径，则∠BAD 与∠BCD 之间的关系还成立吗？为什么？
展示点评：(1)由推论可得：∠D ＝∠B ＝90°，∠B ＋∠D ＝180°，则∠BAD ＋∠BCD ＝360°－(∠B ＋∠D )＝180°；图(2)中∠BOD ＋∠BOD (大于平角)＝360°，而∠C ＝1
2∠BOD ，
∠A ＝1
2∠BOD (大于平角)，则∠C ＋∠A ＝180°.所以∠BAD 与∠BCD 之间关系仍然成立．
小组讨论：(1)什么是圆内接四边形？ (2)推论的归纳与推理过程．
①四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，这样的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
②推论：圆内接四边形的对角互补． 针对训练：(1)中的“当堂练习”部分． (2)教材随堂练习3.
四、总结梳理 内化目标
(1)推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． (2)圆内接四边形，四边形的外接圆的概念． (3)推论：圆内接四边形的对角互补．
五、达标检测反思目标
1．如图：∠EDC是圆内接四边形ABCD的一个外角，你知道∠B与∠EDC的关系吗？
第1，2题图
2．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝______，∠B＋∠ADC＝________；若∠B ＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________．
3．四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠B＝________∠D＝________．4．四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________．
作业布置
教材第83页习题1，2，3题．
教学反思
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3．5确定圆的条件教学目标
1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法．
2．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学重点
确定圆的条件．
教学难点
确定圆的条件．
教学过程
一、创设情景明确目标
1．某地区在一空地上新建了三个居住小区A、B、C，现要规划一所学校，使学校到三个小区的距离相等．你如何选取这所学校的地点？
2．经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个圆呢？
二、自主学习指向目标
阅读教材第85页至87页的内容，并完成中的“课前预习”部分．
三、合作探究达成目标
探究点经过不在同一直线上的三点作圆
活动：
1．经过一个点作圆
作圆，使它过已知点A.你能作出几个这样的圆？
在学生操作思考后总结：经过一个点可以作无数个圆．
反思：经过点A可以有无数个圆，它们没有固定的半径和圆心．
2．经过两个点作圆．
过已知点A，B作圆，
(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？
(2)其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？
在学生思考操作后总结：
(1)经过两点A，B的圆有无数个，这些的圆心在线段AB的垂直平分线上；
(2)作法：以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心，这点到A或B的距离为半径作圆．
展示点评：过两点A，B的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上．
反思：圆心是不固定的．
3．经过不在同一直线上的三个点作圆．
作圆，使它过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)，你能作出几个这样的圆？
(1)你准备如何(确定圆心，半径)作圆？
(2)其圆心的位置有什么特点？与A，B，C有什么关系？
展示点评：1.能否转化为2的情况——经过两点A，B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
2．经过两点B，C的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上；
九年级数学下册第三章圆3.1圆教案(新版)北师大版
、教学目标 1. 知道圆的有关定义及表示方法 . 2. 掌握点和圆的位置关系 . 3. 会根据要求画出图形 . 二、课时安排 1 课时 三、教学重点 点和圆的位置关系 . 四、教学难点 点和圆的位置关系 . 五、教学过程 （一）导入新课 生活中关于圆的图形展示， 引导学生认识圆并谈谈对圆的理解： （二）讲授新课 活动 1：小组合作 3.1 圆 观察车轮，你发现了什 么？ 车轮为什么做成圆
车轮做成三角形、正方形可以吗？ 探究 1：（1）如图， A，B 表示车轮边缘上的两点， 点离与 B， O之间的距离有什么关系？ （ 2）C 表示车轮边缘上的任意一点，要使车轮能够平稳地滚动， C，O之间的距 离与 A， O之间的距离应满足什么关系？ 明确：车轮边缘上任意两点到轴心的距离都相等 , 任意一点到轴心的距离是一个 定值 . 圆上的点到圆心的距离是一个定值 . 探究 2：投圈游戏 一些学生正在做投圈游戏 , 他们呈“一”字排开 , 这样的队形对每个人公平 吗 ?你认为他们应当排成什么样的队形 ? 为了使投圈游戏公平 , 现在有一条 3 米长的绳子 , 你准备怎么办 ? 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点称为 圆心，定长称为半径 . 注意： 1. 从圆的定义可知 : 圆是指圆周而不是圆面 O表示车轮的轴心， A，O 之间的距
2. 确定圆的要素是：圆心、半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆，两者缺一不可 . 以点 O为圆心的圆记作：⊙ O，读作：“圆 O”. 探究 3：圆的有关性质 战国时期的《墨经》一书中记载：“圜，一中同长也”.古代的圜（ huán）即圆，这句话 是圆的定义，它的意思是： 圆是从中心到周界各点有相同长度的图形 . 提问：如果一个点到圆心距离小于半径 , 那么这个点在哪里呢 ?大于圆的半径呢 ?反过来呢? 试根据圆的定义填空： 1.圆上各点到 ___________ 的距离都等于______________ . 2.到定点的距离等于定长的点都在 ____ . 探究 4：点与圆的位置关系 如图，设⊙O 的半径为 r，A点在圆内， B点在圆上， C点在圆外，那么 OA 北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时） 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，AB=20cm，求tanA和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______. 3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______. 4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB的值. 《圆》教案 学习目标 1．知识技能：理解圆及相关概念，理解点与圆的位置关系，并能解决相关问题． 2．过程与方法：经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程． 3．情感态度：在学习中体会圆的实际应用，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识．初步培养学生以定义为依据分析问题解决问题的良好习惯． 教学重点 1．圆的相关概念； 2．点与圆的位置关系． 教学难点 1．概念的融会贯通； 2．在具体问题中的点与圆的位置关系． 教学过程 一、情境导入： 用准备好的一根线可以围成怎样的图形？学生活动，用课件演示圆的形成过程． 设计意图：通过实际活动激发学生的学习兴趣，学生可以围成三角形，平行四边形，圆形等，引入圆． 二、温故知新： 复习回顾 1．举例说出生活中的圆． 2．结合圆的定义了解圆心和半径． 3．圆的周长公式圆的面积公式S= 三、交流展示： 阅读课本P65—P66找到相关概念． 1．圆的定义： 以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”． 决定圆的位置，决定圆的大小． 2．弦：连接圆上任意两点的叫做弦． 直径：经过圆心的叫做直径． 是圆中最长的弦． 3．弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆． 优弧：半圆的弧叫做优弧．用个点表示，如图中叫做优弧． 劣弧：半圆的弧叫做劣弧．用个点表示，如图中叫做劣弧． 4．等圆：能够的两个圆叫做等圆． 等弧：在同圆或等圆中，能够的弧叫做等弧． 四、提炼新知 点与圆的位置关系． 圆O的半径为r，点到圆心的距离为d． （1）点在圆内，即d 最新北师大版九年级数学上册知识点总结 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.或者三个角都相等的三角形是等边三角形. （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理. （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线. 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. （3）如何用尺规作图法作出角平分线 九年级数学下册教学计划 李艳娟 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又 最新九年级数学下册圆的知识点整理 九年级数学下册《圆》知识点整理 第十章圆 ★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。 ☆内容提要☆ 一、圆的基本性质 1.圆的定义(两种) 2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。 3."三点定圆"定理 4.垂径定理及其推论 5."等对等"定理及其推论 5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理) ⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系) ⑶弦切角定义(弦切角定理) 二、直线和圆的位置关系 1.三种位置及判定与性质： 初中数学复习提纲 2.切线的性质(重点) 3.切线的判定定理(重点)。圆的切线的判定有⑴…⑵… 4.切线长定理 三、圆换圆的位置关系 初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) 2.相切(交)两圆连心线的性质定理 3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质 四、与圆有关的比例线段 初中数学复习提纲1.相交弦定理 2.切割线定理 五、与和正多边形 1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形) 2.三角形的外接圆、内切圆及性质 3.圆的外切四边形、内接四边形的性质 4.正多边形及计算 中心角：初中数学复习提纲 内角的一半：初中数学复习提纲(右图) (解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等) 六、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 初中数学复习提纲4.弧长公式 5.弓形面积的计算方法 6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 七、点的轨迹 六条基本轨迹 八、有关作图 1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧 3.作已知两线段的比例中项 4.等分圆周：4、8;6、3等分 九、基本图形 十、重要辅助线 1.作半径 2.见弦往往作弦心距 P O 苏教版九年级数学《圆》教案 宿城区埠子中学 蔡志慧 教学目标 1、理解圆的定义（圆的描述概念和圆的集合概念）； 2、掌握点和圆的三种位置关系； 3、会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系； 4、初步会运用圆的定义证明四个点在同一个圆上。 教学重点：确定点和圆的三种位置关系以及圆的集合概念的理解 教学难点：点和圆的三种位置关系的理解和应用 教学过程： 一，探究新知 观察图形，议一议：车轮为什么是圆的？能否做成正方形或三角形？ 一切平面图形中，最美的是圆！ ——毕达哥拉斯[古希腊数学家 1、圆的描述定义： 把一条线段OP （用你手边的圆珠笔代替）的一个端点O 固定， 使线段OP 绕点O 在平面内旋转一周，另一个端点P 所形成的图形 是______。其中，定点O 叫______，线段OP 叫______。 以点O 为圆心的圆，记作______，读作______。 O 2、思考： 确定一个圆的两个要素是_______和________，以定点A 为圆心作圆，能作______个圆；以定长r 为半径作圆，能作______个圆；以定点A 为圆心、定长r 为半径作圆，能且只能作_______个圆。 二、观察、思考与小结： 1、请你在圆上任取3个点，分别量出这三个点到圆心的距离，你发现了什么? 小结：（1）圆上各点到圆心（定点）的距离都______定长______； 反之，到圆心的距离等于半径的点都在______上。 （2）满足上述两个条件，我们可以把圆看成是一个集合。 圆的集合定义：圆是________________________________。 2、请你在圆内任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆内的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 小于半径的点都在______。 （2）圆的内部可以看作是____________________________________。 3、请你在圆外任取3个点，你发现了什么? 小结：（1）圆外的点到圆心（定点）的距离都______定长______；反之，到圆心的距离 大于半径的点都在______。 （2）圆的外部可以看作是____________________________________。 如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么 点P 在圆内?_____________； 点P 在圆上?_____________； 点P 在圆外?_____________。 三、尝试与交流 1， 已知⊙O 的面积为25π，判断点P 与⊙O 的位置关系． （1）若PO=5.5，则点P 在 ； （2）若PO=4，则点P 在 ； （3）若PO= ，则点P 在圆上 2画一画 作图说明满足下列要求的图形: 1. 给定一个A 点，请作出到点A 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 2. 再给定一个B 点，使线段AB=3cm ，请作出到点B 的距离等于2cm 的所有点组成的图形. 3. 请作出到点A 和点B 的距离都等于2cm 的所有点组成的图形. 4. 到点A 和点B 的距离都小于2cm 的所有点组成的图形. 5. 到点A 的距离小于等于2cm,且到点B 的距离都大于等于2cm 的所有点组成的图形. 九年级上册数学知识点总结 第一章 证明（二） 一、全等三角形的判定：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL 二、等腰三角形 1、等腰三角形“三线合一”顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 2、等腰三角形：等边对等角，等角对等边。 三、等边三角形 （1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）“三线合一” 四、直角三角形 1、直角三角形的两个锐角互余 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、常用关系式： 由三角形面积公式可得：两直角边的积=斜边与斜边上的高的积 五、角的平分线及其性质与判定 1、角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 2、角的平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （如图1所示，AO=BO=CO ） 3、角的平分线的判定定理： 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 六、线段垂直平分线的性质与判定 1、线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 3、定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 (如图2所示，OD=OE=OF) 线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 A C B O 图1 图2 O A C B D E F 2020新版北师大版数学九年级下册教案(全) 第1课时 §1.1.1 锐角三角函数 教学目标 1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程 2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义;并能够举例说明 3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4、 能够根据直角三角形中的边角关系;进行简单的计算 教学重点和难点 重点：理解正切函数的定义 难点：理解正切函数的定义 教学过程设计 ? 从学生原有的认知结构提出问题 直角三角形是特殊的三角形;无论是边;还是角;它都有其它三角形所没有的性质。这一章;我们继续学习直角三角形的边角关系。 ? 师生共同研究形成概念 1、 梯子的倾斜程度 在很多建筑物里;为了达到美观等目的;往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中;人们无法测得倾斜角;这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度;这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。 1） （重点讲解）如果梯子的长度不变;那么墙高与地面的比值越大;则梯子越陡； 2） 如果墙的高度不变;那么底边与梯子的长度的比值越小;则梯子越陡； 3） 如果底边的长度相同;那么墙的高与梯子的高的比值越大;则梯子越陡； 通过对以上问题的讨论;引导学生总结刻画梯子倾斜程度的几种方法;以便为后面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基础。 2、 想一想（比值不变） ☆ 想一想 书本P 2 想一想 通过对前面的问题的讨论;学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。当倾斜角确定时;其对边与邻边的比值随之确定。这一比值只与倾斜角的大小有关;而与直角三角形的大小无关。 3、 正切函数 （1） 明确各边的名称 （2） 的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan （3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与 ∠A 的邻边的比值。 ☆ 巩固练习 a 、 如图;在△ACB 中;∠C = 90°; 1） tanA = ；tanB = ； 2） 若AC = 4;BC = 3;则tanA = ；tanB = ； 3） 若AC = 8;AB = 10;则tanA = ；tanB = ； b 、 如图;在△ACB 中;tanA = 。（不是直角三角形） （4） tanA 的值越大;梯子越陡 4、 讲解例题 A B C A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边 A B C 圆 教学目标： 【知识与技能】 掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理,公式解决具体问题. 【过程与方法】 通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及的数形结合思想,分类讨论思想的过程,加深对本章知识的理解. 【情感态度】 在运用本章知识解决具体问题过程中,进一步体会数学与生活的密切联系,增强数学应用意识,感受数学的应用价值,激发学生兴趣. 【教学重点】 回顾本章知识点,构建知识体系. 【教学难点】 利用圆的相关知识解决具体问题. 教学过程： 一、知识框图，整体把握 【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构框图，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回顾边建立结构框图. 二、释疑解惑，加深理解 1.垂径定理及推论的应用 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 拓展:①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 说明:由垂径定理及其推论,可知对于一个圆和一条直线.如果具备下列五个性质中的两个,那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为:①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧. 特别注意:此处被平分的弦不能是直径,因为在圆中,任意两条直径总是互相平分的. 2.三角形内切圆的半径r,周长l与面积S之间的关系.与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.所以,三角形的内心到三角形三边的距离相等,并且一定在三角形内,三角形有唯一的一个内切圆,而圆有无数 九（上）数学知识点答案 第一章证明（一） 1、你能证明它吗？ （1）三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 （2）等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。 判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 （4）含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 3、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 4、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 （2）三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 （3）如何用尺规作图法作出角平分线 九年级数学下册教学计划 一、学情分析： 本学期我仍担任初三年级的数学教学工作，经过上一学期的努力，很多学生在学习风气上有了较大的改变，学习积极性有所提高，也有不少学生自知能力较差，特别是到了最后一学期，有些学生对自己要求不严，甚至自暴自弃，这些都需要针对不同情况采取相应的措施，耐心教育，此外，面临中考阶段对学生要有总体的掌握，使之考出好成绩。 二、教材分析 本学期的内容只剩两章，：圆与统计与概率。 圆这一章的主要内容是圆的定义和性质，点、直线、圆与圆的位置关系，圆的切线，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图。本章设涉及的概念、定理较多，应弄清来龙去脉，准确理解和掌握概念和定理。垂径定理及推论、圆的切线的判定定理和性质定理是本章的重点。垂径定理、圆周角定理的证明、运用与圆有关的性质解决实际问题，是本章的难点。 统计与概率这章有总体与样本、用样本估计这两节内容。统计是统计理论和应用的一项重要内容，其基本思想是通过部分估计全体。本章在介绍总体、个体、样本、样本容量的概念后，先后以百分比、平均数和方差为例，介绍了用样本估计总体的统计思想方法。 除了这两章，还要复习初中数学教材其他的内容。 三、教学目标： 1、知识与技能：理解点、直线、圆与圆的位置关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图，掌握圆的切线及与圆有关的角等概念和计算。教育学生掌握基础知识与基本技能，培养学生的逻辑思维能力、运算能力、空间观念和解决简单实际问题的能力，使学生逐步学会正确、合理的进行运算，逐步学会观察分析、综合、抽象、概括。会用归纳演绎、类比进行简单的推理，提高学生学习数学的兴趣，逐步培养学生具有良好的学习习惯，实事求是的态度，掌握初中数学教材、数学学科“基本要求”的知识点。 2、过程与方法：经历探索过程，让学生进一步体会数学来源与实践，又反应用于实践，通过探索、学习，使学生逐步学会正确、合理的进行运算， 圆 1．圆的认识 （1）当一条线段OA绕着它的一个端点O在平面内旋转一周时，它的另一个端点A的轨迹叫做圆。或到一个定点的距离等于定长的点的集合。这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。 （2）线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径。 （3）连结圆上任意两点之间的线段叫做弦如线段AB、BC、AC都是圆O中的弦。 （4）圆上任意两点间的部分叫做弧。如曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记作BC、BAC其中像弧BC这样小于半圆周的圆叫做劣弧。像弧BAC，这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。 （3）圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。 2．圆的对称性 （1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。 ~ 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （2）圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。 3．垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦。4．圆周角 （1）圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。 （2）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。 90°的圆周角所对的弦是圆的直径。 （3）同圆或等圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。 " （4）同弧（或等弧）所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。 5．点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点圆心O的距离为d，则 > （1）点在圆外?d r = （2）点在圆上?d r < （3）点在圆内?d r 6．（1）过一点可以画无数个圆； 过两点可以画无数个圆，圆心在两点连线的垂直平分线上； 过不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆。 （2）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。这个三角形叫做这个圆的内接三角形。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点。 ' （3）一个三角形的外接圆是唯一的。 7．直线与圆的位置关系 （1）如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离。 （2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切。此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点． （3）如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，此时这条直线叫做圆的割线． 第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 ※教学目标※ 【知识与技能】 探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别. 【过程与方法】 1.体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系． 2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力． 【情感态度】 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性． 【教学重点】 圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题． 【教学难点】 圆的集合定义方法． ※教学过程※ 一、情境导入 （课件展示图片）观察下列图形，从中找出共同特点． 学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形． 二、探索新知 1.圆的定义 （课件展示）观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？ 在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作界定： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心 的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 同时从圆的定义中归纳： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 于是得到圆的第二定义：所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 思考为什么车轮是圆的？ 把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与地面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车 的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理． 2.圆的有关概念 弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦. 直径：经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径． 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A，B为端点的弧 记作?AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”． 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧：大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的?AB）叫做优弧. 劣弧：小于半圆的弧（如图中的?AB）叫做劣弧. 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等. 等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧. 三、巩固练习 1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由. 2.你见过树木的年轮吗?从树木的年轮,可以很清楚地看出树木生长的年龄,如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm,这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 3.如图,一根5m长的绳子,一端拴在柱子上,另一端拴着一只羊,请画出羊的活动区域. 答案：1.首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆. 2.23÷2÷20=0.575(cm) ,故这棵红衫树的半径每年增加0.575cm. 3. 课时教学设计首页 授课时间2016年月日 授课时间2016年月日 教师行为学生行为 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧 形）队形比较公平？ 二、冋题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程, 你能 根据自己的理解试着给圆下个 定义吗？课堂变化及处理主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣? 1、如图3-1 一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开, 这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？学生积极思考把自己带入游戏的快乐中， 并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么排成 圆形（或圆弧形）队形比较公平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 引导学生发现：每一人 到玩具的距离相等时才 公平.为抽象出“平面上 到定点的距离等于定长 的所有点组成的图形叫 做圆”的概念做准备. 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗? 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线 段OA的长度叫作这个圆的半径. 圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记 作“O O”，读作“圆O”通过游戏引出圆的概念教学时要对学生合理的想法给予肯定并引导完善 学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现圆可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形； 授课时间2016年月日教师行为学生行为 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？ (1 )圆心的距离都等于定长 (2)到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素： 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小. 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题. 弦：直径： 弧、弧的表示方法: 半圆：等圆：等弧： 优弧：劣弧: 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点，这点可能 在圆的什么地方？ 2、如图3-3所示，O O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的 距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位 置特征吗? 小组讨论，组内互相交流协商、组内 统一意见?各组派代表表述本组讨论 结果? 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结? 学生通过自己阅读课文，与同伴交 流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答： 这点可能在圆外、在圆上、或在圆 内。 学生口答并完成课文66页想一想。 点P在圆外，？ d> r; 点P在圆上，？ d= r; 点P在圆内，？ d v r. 课堂变化及处理 主要环节的效果学 生发言踊跃，思维得到 了有效的激发，多数学 生能抓住到定点的距离 相等的条件，只是表达 还不够准确、完善? 对还有疑虑的问题, 教师可以作引导性讲 解生回答教师引导 通过此问题的探究，使 学生理解点与圆的位置 关系，并体会定性分析 与定量分析的关系? 课时教学设计首页 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 一、创设问题情境，激发学生兴趣. 1、如图3-1一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈 目标都是图中的花瓶。如果他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人都公平吗？你认为他们应当什么样的队形才公平？ 2、请你说一说为什么上述游戏中排成圆形（或圆弧形）队形比较公平? 二、问题引申，探究圆的定义. 1、观察下列画圆的过程， 你能根据自己的理解试着 给圆下个定义吗？ 2、你能在图中找到圆心，半径，并会表示这个圆吗？学生积极思考把自己带入游戏的 快乐中，并举手回答： 如果单纯考虑队形因素，即只考虑 “距离”对投圈结果的影响，那么 排成圆形（或圆弧形）队形比较公 平。 学生抢答： 因为圆上的点道圆心的距离相等 学生小组合作、分组讨论，通过动 画演示，发现圆可以看成是平面上 到定点的距离等于定长的所有点 组成的图形； 学生通过阅读课文独立回答 圆心：固定的端点叫作圆心； 半径：线段OA的长度叫作这个圆 的半径． 圆的表示方法：以点O为圆心的 圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 引导学生发现：每一 人到玩具的距离相 等时才公平.为抽象 出“平面上到定点的 距离等于定长的所 有点组成的图形叫 做圆”的概念做准 备. 通过游戏引出圆的 概念教学时要对学 生合理的想法给予 肯定并引导完善 A O 教师行为学生行为课堂变化及处理 主要环节的效果 4、请你说一说圆上各点、定点、定长有何关系呢？（1）圆心的距离都等于定长 （2）到定点的距离等于定长的点 5、那么确定一个圆要几个要素: 一是圆心，圆心确定其位置， 二是半径，半径确定其大小． 三、进一步探究圆的相关概念，培养学生的自学探究精神。 请同学们结合图3-2小组交流讨论解决以下问题．弦：直径： 弧、弧的表示方法： 半圆：等圆： 等弧：优弧：劣弧： 四、问题深入，探究点和圆的关系 1、在平面上任取一点， 这点可能在圆的什么地方? 2、如图3-3所示，⊙O是 一个半径为r的圆，圆上分别取一点，点到圆心的距离为d，你能用r与d的大小关系刻画它们的位置特征吗？小组讨论, 组互相交流协商、组 统一意见.各组派代表表述本组 讨论结果. 学生根据自己的理解口头作答， 最后由一名学生小结. 学生通过自己阅读课文，与同伴 交流完成圆的相关概念的认识。 学生抢答: 这点可能在圆外、在圆上、或在 圆。 学生口答并完成课文66页想一 想。 点P在圆外，?d＞r； 点P在圆上，?d＝r； 点P在圆，?d＜r. 学生发言踊跃，思维 得到了有效的激发， 多数学生能抓住到 定点的距离相等的 条件，只是表达还不 够准确、完善. 对还有疑虑的问题， 教师可以作引导性 讲解生回答教师引 导 通过此问题的探究， 使学生理解点与圆 的位置关系，并体会 定性分析与定量分 析的关系. 2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版） （八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形 ．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成 的线段叫做它的对角线 ．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形 ．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。北师大版九年级数学上册知识点总结
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