高一函数大题训练及答案

高中函数大题专练

1、已知关于x 的不等式(kx k 2 4)( x 4) 0,其中k R 。 ⑴试求不等式的解集 A ;

⑵对于不等式的解集 A ，若满足AI Z B (其中Z 为整数集)。试探究集合B 能否为有 限集？若能，求出使得集合

B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合

B ;若不能，请说明理由。

2、对定义在［0, 1］上，并且同时满足以下两个条件的函数

f(x)称为G 函数。 ① 对任意的x ［0, 1］，总有f(x) 0 ； ② 当 x-i 0 ,x 2 0, x-i x 2 1 时，总有 仁为 x 2)

f (x () f (x 2)成立。

已知函数g(x) x 2与h(x) a 2x 1是定义在［0, 1］上的函数。 (1 )试问函数g(x)是否为G 函数？并说明理由； (2)若函数h(x)是G 函数，求实数a 的值；

(3 )在(2)的条件下，讨论方程g(2x 1) h(x) m (m R)解的个数情况。

1

3.已知函数f(x) 2x | | .

2|x|

(1) 若f (x)

2，求x 的值；

(2) 若2t f (2t) mf (t) 0对于t ［2, 3］恒成立，求实数 m 的取值范围

,0)上的解析式? f (x)的大致图像. 当0 a b 时，若f (a) f (b)，求ab 的取值范围? 若关于x 的方程f 2(x) bf (x) c 0有7个不同实数解，求b,c 满足的条件? K

5.已知函数 f (x) a 一 (x 0)。

|x|

(1) 若函数f(x)是(0,)上的增函数，求实数 b 的取值范围；

(2) 当b 2时，若不等式f (x) x 在区间(1,)上恒成立，求实数 a 的取值范围； (3) 对于函数g(x)若存在区间［m,n ］(m n)，使x ［m,n ］时，函数g(x)的值域也是

［m, n ］，则称g(x)是［m, n ］上的闭函数。若函数 f (x)是某区间上的闭函数，试探

4.设函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数?若当x 0时，f(x)

1丄

x 0, x 0.

0；

求f(x)在(

请你作出函数 (1) (2) (3)

(4)

: 2

求a,b应满足的条件。

6、设f(x) ax bx，求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f (x)

的定义域和值域相同。

7.对于函数f (x)，若存在x0 R，使f(x0) x0成立，则称点(X Q,X0)为函数的不动点。

2

(1 )已知函数f (x) ax bx b(a 0)有不动点(1, 1)和(-3 , -3 )求a与b的值；

(2)若对于任意实数b，函数f(x) ax2 bx b(a 0)总有两个相异的不动点，求a的

取值范围；

(3)若定义在实数集R上的奇函数g(x)存在(有限的)n个不动点，求证：n必为奇数。

1

&设函数f(x) X , (x 0)的图象为C1、C1关于点A (2, 1)的对称的图象为C2 ,

x

C2对应的函数为g(x).

(1)求函数y g(x)的解析式；

(2)若直线y b与C2只有一个交点，求b的值并求出交点的坐标.

9. 设定义在(0,)上的函数f(x)满足下面三个条件：

①对于任意正实数a、b，都有f(a b) f (a) f (b) 1 ；

②f(2) 0 ；

③当x 1时，总有f (x) 1.

1

(1 )求f(1)及f ()的值；

2

(2)求证：f(x )在(0,)上是减函数.

1 3

10. 已知函数f (x)是定义在2,2上的奇函数，当x [ 2,0)时，f(x) tx 丄X3(t为

2 常数)。

(1)求函数f (x)的解析式；

(2)当t [2,6]时，求f(x)在2,0上的最小值，及取得最小值时的x，并猜想f (x)

在0,2上的单调递增区间(不必证明)；

(3)当t 9时，证明：函数y f (x)的图象上至少有一个点落在直线y 14上。

: 2

, x 7

11.记函数f x 、2 ----------- 的定义域为 A , g x Ig 2x b ax 1 b 0, a R 的定 义域为B , (1 )求 A :

(2) 若A B ，求a 、b 的取值范围

A 4

12、设 f x

-—- a 0, a 1。

1 a x

(1 )求f x 的反函数Lx : (2)

讨论f 1 x 在1. 上的单调性，并加以证明：

(3) 令g x 1 log a X ，当m, n 1, m n 时，f 1 x 在m,n 上的值域是 g n ,g m ，求a 的取值范

围。

13?集合A 是由具备下列性质的函数

f(x)组成的：

(1) 函数f(x)的定义域是［0,); (2) 函数f(x)的值域是［2,4);

(3) 函数f(x)在［0,)上是增函数?试分别探究下列两小题：

(I)判断函数f 1(x) .x 2(x 0)，及f 2(x) 4 6 (1

)x (x 0)是否属于集合 A ?并简 2 要说明理由.

(n)对于(I )中你认为属于集合 A 的函数f(x)，不等式f(x) f(x 2) 2f (x 1),

是否对于任意的x 0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论.

14、设函数 f(x)=ax 2

+bx+1 (a,b 为实数),F(x)= (1 )若f(-1)=0 且对任意实数x 均有f(x)

0成立，求F(x)表达式。

(2) 在(1 )的条件下，当x 2,2时,g(x)=f(x)-kx

是单调函数，求实数k 的取值范围。

(3) (理)设 m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。

x

15.函数f(x)=

(a , b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。

ax b

(1) 求a 、b 的值；

(2) 是否存在实常数 m ,使得对定义域中任意的 x , f(x)+f(m -c)=4恒成立？为什么？ (3) 在直角坐标系中，求定点 A( ￡,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

f(x) (x 0) f(x) (x 0)

1

1

函数大题专练答案

1、已知关于x 的不等式(kx k 2 4)( x 4) 0,其中k R 。 ⑴试求不等式的解集 A ；

⑵对于不等式的解集 A ，若满足AI Z B (其中Z 为整数集)。试探究集合B 能否为有 限集？若能，求出使得集合

B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合

B ;若不能，请说明理由。

解：(1 )当k

0时, A ( ,4)；当 k 0且 k 2 时，A 4 (,4)U(k -,)

k

当k 2时, A ( ,4) U(4,)；(不单独分析k Fv

2时的情况不扣分)

当k

0时, A (k 4

,4)。

k

(2)由(1) 知：当 k 0时，

集合B 中的兀素的个数无限；

当k 0时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合 B 为有限集。

4

因为k —

4，当且仅当k 2时取等号，

k

所以当k 2时，集合B 的元素个数最少。

此时 A 4,4，故集合 B 3, 2, 1,0,1,2,3。

2、对定义在［0, 1］上，并且同时满足以下两个条件的函数

f(x)称为G 函数。

① 对任意的x ［0, 1］，总有f(x) 0 ；

② 当 X i 0,X 2 0,为 X 2 1 时，总有 f(x i X 2) f(xj f(X 2)成立。 已知函数g(x) X 2与h(x) a 2X 1是定义在［0, 1］上的函数。

(1 )试问函数g(x)是否为G 函数？并说明理由； (2)若函数h(x)是G 函数，求实数a 的值；

(3 )在(2)的条件下，讨论方程g(2X 1) h(x) m (m R)解的个数情况。 解: (1)当x 0,1时，总有g(x) x 2

0 ,满足①，

当 x 1 0, x 2 0 ,x 1 x 2 1 时，

g(x 1 X 2) X 12 X 22 2x 1X 2 X 12 X 22 g(xj g(X 2)，满足②

(2)若a 1时，h(0) a 1 0 不满足①，所以不是 G 函数；

若a 1时，h(x)在x [0,1]上是增函数，则 h(x) 0 ,满足① 由 h(x 1 x 2) h(x 1) h(x 2)，得 a 2X1 X2 1 a 2X1 1 a 2X2 1 , 即 a[1 (2X1 1)(2X2 1)] 1 ,

因为 x-i 0 ,x 2 0, x-i x 2 1 所以 0

2X1 1 1 0 2X2 1 1 x 1 与 x 2不同时等于

1

0 (2X1 1)(2X1 1) 1

综合上述：a {1}

当x 1

1 (2X1

1)(2X1 1)

X 2

时，(厂

1)(2X1

1))min

(3)根据(2)知：a=1，方程为4X2X m ,

1

1

x

由 02

11

得 x [0,1]

0 x 1

1

1 令 2x t ［1,2］，则 m t

2 t (t )2

2

4

由图形可知：当 m ［0,2］时，有一解； 当m (

,0) (2,)时，方程无解。

［2, 3］恒成立，求实数m 的取值范围 [解](1) 当x 0时, f(x) 0 ； 当x 0时， f(x) 由条件可知 2x

丄2 ,即 ?2x 2 2x

1 0

2x

解得 2x 1

.2 .

2x 0 , x log 2 1

?

、2

.

(2)

当t [1 1,2]时，2t 22t

1 m 2t 1

22t

2t

即m 22t 1

2 >4t 1 .

22t 1 0

m

22t 1 .

Q t [2, 3],

1 22t

[

65, 17]

3 .已知函数f (x) 2x -

4 . 2凶 (1)若f (x) 2，求x 的值； (2)若 2t f (2t) mf (t) 0 对于 t 2x 0

故m 的取值范围是［17,

).

1 2x

4 .设函数f (x)是定义在

R 上的偶函数.若当x 0时，f(x) 1丄

x 0, x 0.

；

(1) (2) (3) (4) 求f(x)在( 请你作出函数 当0 a

若关于x 的方程f 2(x) bf (x)

,0)上的解析式.

f (x)的大致图像.

b 时，若f(a) f(b)，求ab 的取值范围.

一 2 :: ■/： ) c 0有7个不同实数解，求b,c 满足的条件.

［解］(1)当 x (

,0)时, (2) f(x)的大致图像如下:

f(x)

f( x) 1 丄 1

x