课时跟踪检测 (三十八) 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
课时跟踪检测 （三十八） 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
层级(一) “四基”落实练
1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数
D ．非奇非偶函数
解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x
2
B ．y ＝cos x
2
C ．y ＝cos x
D ．y ＝cos 2x
解析：选D A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求． 3．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )
解析：选D 因为函数y ＝－x cos x 是奇函数，图象关于原点对称，所以排除A 、C ；当x ∈???
?0，π
2时，y ＝－x cos x ＜0，故排除B ，选D. 4．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ????π4＝1，则f ????7π4的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0
D ．2
解析：选B 由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ????7π4＝f ????7π4－2π＝f ????－π4＝－f ???
?π
4＝－1. 5．函数y ＝cos ????
k 4x ＋π3(k >0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A ．10 B ．11 C ．12
D ．13
解析：选D ∵T ＝2πk 4
＝8π
k ≤2，∴k ≥4π，
又k ∈Z ，∴正整数k 的最小值为13.
6．已知函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，且f (1)＝－2 020，则f (5)＝________.
解析：因为函数f (x )是定义在R 上周期为6的奇函数，所以f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)＝－(－2 020)＝2 020.
答案：2 020
7．函数f (x )＝3cos ????ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为2π
3，则f (π)＝________. 解析：由已知2πω＝2π
3
得ω＝3，
∴f (x )＝3cos ????3x －π3，∴f (π)＝3cos ????3π－π3 ＝3cos ????π－π3＝－3cos π3＝－32. 答案：－3
2
8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________． 解析：x ＜0时，－x ＞0，
f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数，
所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x . 答案：f (x )＝－cos x －sin x 9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ????π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x . 解：(1)x ∈R ，
f (x )＝cos ????π
2＋2x cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x . ∵f (－x )＝sin(－2x )cos(－x ) ＝－sin 2x cos x ＝－f (x )， ∴该函数是奇函数．
(2)对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，
∴1＋sin x ≥0,1－sin x ≥0. ∴f (x )＝1＋sin x ＋
1－sin x 的定义域为R .
∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋
1－sin (－x )
＝
1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，
∴该函数是偶函数．
10．已知函数f (x )＝12sin x ＋1
2|sin x |.
(1)画出函数f (x )的简图；
(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 解：(1)f (x )＝12sin x ＋1
2
|sin x |
＝?
????
sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z )，
0，x ∈[2k π－π，2k π](k ∈Z )，图象如图所示．
(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π. 层级(二) 素养提升练
1．设函数f (x )＝sin π
3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( )
A.32
B ．－
32
C ．0
D ． 3
解析：选D ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2π
π
3
＝6，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝336sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 5
3π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)
＋f (336×6＋3)＝336×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 2
3
π＋sin π＝ 3.
2．设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13.若f (1)＝2，则f (99)＝________. 解析：因为f (x )·f (x ＋2)＝13，
所以f (x ＋2)＝13
f (x )，
所以f (x ＋4)＝
13f (x ＋2)＝13
13
f (x )
＝f (x )， 所以函数f (x )是周期为4的周期函数， 所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝13f (1)＝13
2.
答案：
132
3．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈????0，π2时，f (x )＝1－sin x ，当x ∈????5π
2，3π时，求f (x )的解析式．
解：x ∈????5π2，3π时，3π－x ∈????0，π2，因为x ∈????0，π
2时，f (x )＝1－sin x ，所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x ．又f (x )是以π为周期的偶函数，所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈???
?5π
2，3π. 4．已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1
f (x )
(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－
1
f (x )
， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝－1
－1f (x )＝f (x )，
∴函数f (x )是周期函数，4就是它的一个周期． (2)∵4是f (x )的一个周期， ∴f (5)＝f (1)＝－5，
∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1
f (－1＋2)＝－1f (1)＝1
5
.
5．已知函数f (x )＝cos ????2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈????－π2，π
2时，g (x )＝f ????x 2，求关于x 的方程g (x )＝3
2
的解集．
解：当x ∈????－π2，π
2时， g (x )＝f ????x 2＝cos ????x ＋π3. 因为x ＋π
3∈????－π6，5π6， 所以由g (x )＝
32
， 解得x ＋π3＝－π6或π
6，
即x ＝－π2或－π
6
.
又因为g (x )的最小正周期为π， 所以g (x )＝
3
2
的解集为 ??????x ??
x ＝k π－π2或x ＝k π－π
6，k ∈Z .
正弦、余弦函数的奇偶性
一、 课堂目标： 掌握函数奇偶性的定义，会判断正弦、余弦函数及其它简单函数的奇偶性 二、 要点回顾： 奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于______________对称 偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于______________对称 正弦函数是______________，余弦函数是______________ 若某个函数是奇函数（或偶函数），则其定义域必须是________________ 三、 目标训练： 1、 判断下列函数的奇偶性： （1）y=x sin -_______________ (2) y=x sin ______________ (3) y=3cosx+1_______________ (4) y=sinx - 1 ________________ (5) y=xsin(n π+x) (n ∈Z) (6)y=x x sin 1sin 1lg -+ (7)y=x x x cos 1sin + (8)y=x x x sin 1cos sin 12+-+ （9）y=)2 17sin( x x -?π (10)y=sin(cosx) 2、下列命题中正确的是 ( ) A.y= - sinx 为偶函数 B.y=x sin -是非奇非偶 C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx 1-为奇函数 3、下列既是（0，2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 ( ) A.y=x 2 B.y=x sin C.y=cos2x D.y=e sin2x 4、函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，则sin ?? ? ?? ?+ ?2)5(ππf 的值为 ( )
《函数的奇偶性与周期性》教案
教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数
二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用
三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．
考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 .
函数的奇偶性与周期性练习题
函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ．
正、余弦函数图像和性质(奇偶性,单调性)
正弦函数、余弦函数的性质（奇偶性，单调性） 三维目标 1.通过创设情境,如单摆运动、波浪、四季变化等,让学生感知周期现象;理解周期函数的概念;能熟练地求出简单三角函数的周期,并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用. 2.通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好数学的信心,学会运用联系的观点认识事物. 重点难点 教学重点:正弦、余弦、正切函数的主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深入研究函数性质的思想方法. 教学难点:正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换,以及周期函数概念的理解,最小正周期的意义及简单的应用. 教学过程： 复习导入： 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R 〔或(-∞,+∞)〕. 正弦函数、余弦函数的值域都是［-1,1］.对于正弦函数y=sinx(x∈R ), (1)当且仅当x= 2π +2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=-2π +2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 对于余弦函数y=cosx(x∈R ), (1)当且仅当x=2kπ,k∈Z 时,取得最大值1. (2)当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.
正弦函数，余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π. 新课探究： 正弦、余弦函数的奇偶性 正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称.在R 上,y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数.教师要恰时恰点地引导,怎样用学过的知识方法给予证明? 由诱导公式:∵sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx, ∴y=sinx 为奇函数,y=cosx 为偶函数. 例、判断下列函数奇函性： 正弦、余弦函数的单调性： 通过学生充分讨论后确定,选图象上的［- 2π,2 3π］(如图4)这段.教师还要强调为什么选这段,而不选[0,2π]的道理,其他类似. 图3 图4 这个变化情况也可从下表中显示出来 : (1)sin 3() (2)sin cos ()(3)1sin () y x x R y x x x R y x x R =-∈=+∈=+∈
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1
2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域，
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1．函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )?f (－x )－f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝1?f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝－1?f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、常用结论 1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2) |x －2|－2 ； (4)f (x )＝? ??? ? x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0. [解] (1)由f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3，可知????? 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0?????? －6≤x ≤6， x ≠0且x ≠－6， 故函数f (x )的定 义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．
2017高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性
第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义． 知识点一函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称． 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． [自测练习] 1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( )
正余弦函数的奇偶性单调性
§1.4.2 正、余弦函数的奇偶性、单调性 学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用. 2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题. 学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性. 学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值. 学习过程： 一、情境设置 在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？ 二、探究研究 问题1.在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质 问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴. 三、教学精讲 例1：求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3 cos x y = (2)x y 2sin 2-= 变式训练：（1）若)3 cos(x y - =呢？ 变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？ 例2:判断下列函数奇偶性 （1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx 变式训练：3、判断下列函数的奇偶性： ⑴x x x f cos |sin |)(?=： ； ⑵x x x f +=3tan )(： ⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)3 2sin(π+ =x y 的单调增区间 变式训练：（1）求)3 2cos(π+ =x y 的单调增区间 （2）求)3 2sin(π+-=x y 的单调增区间 （3）求)6 2cos()3 2sin(ππ - ++ =x x y 的单调增区间 例4.求下列函数的值域 （1）x y 2sin 23-= （2）x x y sin |sin |+= （3）2sin 2cos 2-+=x x y （4）x x x y sin 1cos sin 22+= （5）?? ??? ?-∈+=6,6 ),3 2sin(2πππx x y 变式训练：1.已知 b x a x f +- =)3 2sin(2)(π的定义域为[0， 2 π]，函数的最大 值为1，最小值为-5，求a,b 的值.
函数的奇偶性与周期性试题(答案)
函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性 一、选择题 1．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝cos x 2 C ．y ＝cos x D ．y ＝cos 2x D [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 2．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是 ( ) B [由f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称． 由f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2.故选B.] 3．函数f (x )＝sin ? ? ???ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) 【有知识题：84352090】 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π 5，又ω＞0， 所以2πω＝π 5，ω＝10.] 4．函数y ＝|cos x |－1的最小正周期为( ) A ．π2 B ．π C ．2π D ．4π B [因为函数y ＝|cos x |－1的周期同函数y ＝|cos x |的周期一致，由函数y ＝ |cos x |的图象(略)知其最小正周期为π，所以y ＝|cos x |－1的最小正周期也为π.] 5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ? ????π4＝1，则f ? ?? ?? 3π4的值为 ( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )， 所以f ? ????3π4＝f ? ????3π4－π＝f ? ????－π4＝－f ? ???? π4＝－1.] 二、填空题 6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数． 其中错误的是________(填序号). 【有知识题：84352091】 ①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π 2时，f (x )＝cos x 是偶函数．] 7．若函数f (x )＝2cos ? ? ???ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,4)，则正整数ω 的最大值为________． 6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π 2＜ω＜2π， ∴ω的最大值是6.] 8．若f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝cos x －sin x ，当x ＜0时，f (x )的解析式为________． f (x )＝－cos x －sin x [x ＜0时，－x ＞0， f (－x )＝cos(－x )－sin(－x )＝cos x ＋sin x ， 因为f (x )为奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－cos x －sin x ， 即x ＜0时，f (x )＝－cos x －sin x ．] 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0, 1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0, 1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 《 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:), (x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f §4.8正弦、余弦函数的奇偶性 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 掌握函数奇偶性的定义，会判断正弦、余弦函数及其它简单函数的奇偶性 二、 要点回顾： 奇函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的奇函数，奇函数的图象关于______________对称 偶函数定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的________________ ,都有____________ 成立， 则称f(x)为这一定义域内的偶函数，偶函数的图象关于______________对称 正弦函数是______________，余弦函数是______________ 若某个函数是奇函数（或偶函数），则其定义域必须是________________ 三、 目标训练： 1、 判断下列函数的奇偶性： （1）y=x sin -_______________ (2) y=x sin ______________ (3) y=3cosx+1_______________ (4) y=sinx - 1 ________________ (5) y=xsin(n π+x) (n ∈Z) (6)y=x x sin 1sin 1lg -+ (7)y=x x x cos 1sin + (8)y=x x x sin 1cos sin 12+-+ （9）y=)2 17sin( x x -?π (10)y=sin(cosx) 2、下列命题中正确的是 ( ) A.y= - sinx 为偶函数 B.y=x sin -是非奇非偶 C.y=3cosx+1为偶函数 D.y=sinx 1-为奇函数 3、下列既是（0，2 π ）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 ( ) A.y=x 2 B.y=x sin C.y=cos2x D.y=e sin2x 4、函数f(x)是以4为周期的奇函数，且f(-1)=1，则sin ??? ?? ?+?2)5(ππf 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1/2 D.1 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性 提高精讲 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝ 2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.1 2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1 2(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ???? 12，b ＝f (2)， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) 高中数学：函数的奇偶性与周期性练习 (时间:30分钟) 1.(云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C ) x| (B)y=x3 (A)y=|log 3 (C)y=e|x| (D)y=cos |x| 解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C. 2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B ) (A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98 解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数, f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1). 由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B. 3.(石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞) x,则f(-)+f(4)等于( D ) 时,f(x)=log 2 (A)-+2 (B)1 (C)3 (D)+2 4=2,所以f(-)+f(4)= 解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log 2 +2. 4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D ) (A)|f(x)|是偶函数 (B)-f(x)是奇函数 (C)f(x)·|f(x)|是奇函数 (D)f(|x|)·f(x)是偶函数 正弦、余弦函数的性质（奇偶性、单调性） 教学目的： 知识目标：理解三角函数的奇、偶性和单调性； 能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性，并能根据正、余弦函数的单调性解题 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养学生勇于探究创新的精神。 教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入：(学生小组选派学生回答)定义域、值域、周期性？偶函数、奇函数的定义？ 图像有什么特征呢？ 设计意图：回顾三角函数的周期性，为引入三角函数的其他性质做准备。 二、讲解新课： 1． 奇偶性 观察正弦曲线和余弦曲线，你还能发现它们具有什么好的性质？如图象的对称性，你能证明吗？ 设计意图：让学生从直观发现对称，进而反映到代数性质上，发现正弦函数，余弦函数的奇偶性，使学生能从“形”与“数”两个方面来理解它们的奇偶性。 师生活动：师生——引导学生观察，不难发现各种对称性，进一步引导学生思考，这些对称性反映了函数什么特征？（奇偶性）从代数角度如何具体证明它们的奇偶性呢？共同归纳总结正弦函数，余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。考虑到学生的基础，打算先带领学生回顾函数奇偶性的概念。 (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如：f(-3π)=21,f(3π)=21 ,即f(-3π)=f(3 π)；…… cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y )也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。 2. 单调性 函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2(c b a + 对称 第3讲 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1.(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2015·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数， 又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.(2017·赣中南五校联考)已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为( ) A.5 B.1 C.－1 D.－3 解析 ∵y ＝f (x )是奇函数，且f (3)＝6.∴f (－3)＝－6，则9－3a ＝－6，解得a ＝5. 答案 A 4.已知函数f (x )＝x ? ????e x －1e x ，若f (x 1) A.x 1>x 2 B.x 1＋x 2＝0 C.x 1正弦、余弦函数的周期性与奇偶性
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