微分几何

深圳大学数学与计算科学学院课程教学大纲（2006年10月重印版）

课程编号

课程名称微分几何

课程类别综合选修

教材名称微分几何

制订人陈冬梅

审核人杨和平

2005年4月修订

一、课程设计的指导思想

二、教学内容

三、课时分配及其它

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面 r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u cos v ,u 0sin v ,bv }=｛0,0，bv 0｝＋u {0 cos v , sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={ 0u v cos , 0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面 r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,2 v } 表示过点{ a v , b 0v ,0}以{a,b,2 v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （ u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,2 u } 表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面 r =} sin ,sin cos ,sin cos {a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面222 2 1x y a b 在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b 的参数方程为x = cos , y = asin , z = t , } 0,cos ,sin {b a r , } 1,0,0{t r 。所以切平面方程为： 1 0cos sin sin cos b a t z b y a x ，即x bcos + y asin － a b = 0 此方程与t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面} , ,{3 uv a v u r 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 } , 0,1{23 v u a r u ，} , 1,0{2 3uv a r v 。切平面方程为： 3 3 z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V 是常数。

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

第四版微分几何第二章课后习题答案

第二章曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例, 如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做 , , ,或例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为

记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为

微分几何第二章矩阵和坐标变换

二、矩阵和坐标变换 2.1 矩阵及矩阵的运算由m n ?个数排列形成的一个矩形数阵，称为m 行n 列矩阵。如1111 n m m n a a A a a ?? ? = ? ??? ,其中ij a 称为矩阵元素。若两个矩阵A 、B 的行数和列数都相同，并且对应元素相等，则两个矩阵相等，记为A B = 。矩阵的加(减)法两个矩阵A 、B ，它们的行数和列数分别相等，把它们的对应元素相加减，得到一个新矩阵C ,则称为A 与B 之和（差），记为C A B =± 。矩阵加法适合交换律：A B B A +=+ 矩阵加法适合结合律：()()A B C A B C ++=++ 数乘矩阵用数λ和矩阵A 相乘，则将A 中的每一个元素都乘以λ，称为λ与A 之积，记为A λ 或A λ 。数乘矩阵适合结合律：()()A A λμλμ= 数乘矩阵适合分配率：()A B A B λλλ+=+ 矩阵乘法两个矩阵A 、B ，它们相乘得到一个新矩阵C ，记为C AB = 。矩阵A 和B 的乘积C 的第i 行和第j 列的元素等于第一个矩阵A 的第i 行与第二个矩阵B 的第j 列的对应元素乘积之和。即 11221 n ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++= ∑ 注意：只有第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相等时，才能相乘。矩阵乘法适合结合律：()()A B C A B C = 矩阵乘法适合分配率：()A B C AC BC +=+ 矩阵乘法不适合交换律：AB BA ≠

2.2坐标变换空间中不同坐标系下，同一点有不同的坐标，同一矢量有不同的分量。由于运算时要在同一坐标系下进行，为此，要考察两个坐标系之间的相互关系，就要用坐标变换的方式。 2.2.1底失的变换给出两个直角坐标系[]123;,,O e e e σ= ，123;,,O e e e σ??'''''=? ? ，其中σ称为旧坐标系， σ'称为新坐标系。下面研究σ和σ'两个坐标系之间的关系。首先把新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 看成在旧坐标系σ里的一个径失。则新坐标系σ'的底失123,,e e e ''' 在旧坐标系σ里的表达式可写成： 111112213322112222333 311322333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ?'=++??'=++??'=++?? 这就是σ变换到σ'的底失变换公式。反之，又可推导出由新坐标系σ'到旧坐标系σ的底失变换公式。 111121231332121222323131232333e a e a e a e e a e a e a e e a e a e a e ? '''=++? ?'''=++??'''=++? ? 由上面两式不难看出，将九个系数按其原来位置排列成方阵： 11121321 222331 32 33a a a A a a a a a a ?? ?= ? ??? A 表示了底失变换关系，称为由σσ'→的底失系数变换矩阵。用矩阵乘法的形式表示为： 1 111112132212223223132 33333e e e a a a e a a a e A e a a a e e e ??' ???? ???? ??? ????'== ??????? ??????'??????? ?? 2.2.2矢量的坐标变换设一矢量r 在坐标系σ和σ'里的分量依次是(),,x y z 和(),,x y z '''，则： 123r xe ye ze =++ 又 123 r x e y e z e ''''''=++

微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。解椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条

微分几何陈维桓习题答案

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。证明：设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数），其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ，其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。证明易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -，而1sin cos dv ds a u θθ ==，故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-，其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-，并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。证明设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

第一章曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2 'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。证若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ+μ'r ①

偏导数的几何意义教学内容

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率,以二元函数= 为例,如果只有自变量变化,而自变量y固定(即看作常量),这时它就是的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z对于的偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点的某一邻域内有定义,当y固定在,而在处有增量时,相应的函数有增量 - , 如果 (1) 存在,则称此极限为函数= 在点处对的偏导数,记做

, , ,或例如,极限(1)可以表为 = 类似的,函数z= 在点处对的偏导数定义为记做, , 或如果函数= 在区域D内每一点( )处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或类似的,可以定义函数= 对自变量的偏导函数,记做 , , ,或

由偏导数的概念可知, 在点处对的偏导数显然就是偏导函数在点处的函数值,就像一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求= 的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另外一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题,求时,只要把暂时看作常量而对求导;求时,则只要把暂时看作是常量,而对求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数,例如三元函数在点( )处对的偏导数定义为 = 其中( )是函数的定义域的内点,它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求的偏导数解= , = 二偏导数的几何意义

微分几何陈维桓新编习题答案

习题答案 2 p. 58 习题3.1 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++，并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，2 22u v Op =+，0Op ON '?=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++??，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3) 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知

微分几何第四版答案

微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间 1.1 向量空间 1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论 2.1 曲线的概念 2.2 平面曲线 2.3 E的曲线 2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论 3.1 曲面的概念 3.2 曲面的第一基本形式 3.3 曲面的第二基本形式 3.4 法曲率与weingarten变换 3.5 主曲率与Gauss曲率 3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理 4.1 活动标架 4.2 自然标架的运动方程 4.3 曲面的结构方程 4.4 曲面的存在惟一性定理 4.5 正交活动标架 4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学 5.1 曲面的等距变换 5.2 曲面的协变微分 5.3 测地曲率与测地线 5.4 测地坐标系 5.5 Gauss-Bonnet公式 5.6 曲面的Laplace算子 5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质 6.1 平面的闭曲线 6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质 7.1 曲面的整体描述 7.2 整体的Gauss-Bonnet公式 7.3 紧致曲面的Gauss映射 7.4 凸曲面 7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面

8.1 常正Gauss曲率曲面 8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理 8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面 9.1 Hopf微分与Hopf定理 9.2 Alexsandrov惟一性定理 9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面 10.1 极小图 10.2 极小曲面的weierstrass表示 10.3 极小曲面的Gauss映射 10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?=0． 3．已知{}4 2 r()d =1,2,3t t -? ，{}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 ()()a r t dt+b a r t dt=???{}3,9,5-. 452 6.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___ 7.曲率恒等于零的曲线是_________________. 8. 9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________. 19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角. 21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

偏导数的几何意义

偏导数得几何意义 ?实验目得：通过实验加深学生对偏导数定义得理解掌握偏导数得几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等得条件?背景知识: 一偏导数得定义在研究一元函数时、我们从研究函数得变化率引入了导数概念、对于多元函数同样需要讨论它得变化率、但多元函数得变化量不只一个,因变量与自变量得关系要比一元函数复杂得多、所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量得变化率，以二元函数= 为例，如果只有自变量变化,而自变量y固定(即瞧作常量），这时它就就是得一元函数,这函数对x 得导数，就称为二元函数ｚ对于得偏导数,即有如下定义定义设函数z= 在点得某一邻域内有定义，当y固定在，而在处有增量时,相应得函数有增量 - ，如果（1) 存在，则称此极限为函数＝在点处对得偏导数，记做 , ，,或例如，极限(1)可以表为 = 类似得,函数z＝在点处对得偏导数定义为记做，，或如果函数= 在区域D内每一点( )处对得偏导数都存在，那么这个偏导数就就是得函数,它就称为函数= 对自变量得偏导函数,记做 , ，,或类似得,可以定义函数= 对自变量得偏导函数,记做，，，或由偏导数得概念可知，在点处对得偏导数显然就就是偏导函数在点处得函数值，就像一元函数得导函数一样，以后在不至于混淆得地方也把偏导函数简称为偏导数、

至于求=得偏导数,并不需要用新得方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外一个自变量瞧作就是固定得,所以仍旧就是一元函数得微分法问题,求时,只要把暂时瞧作常量而对求导;求时，则只要把暂时瞧作就是常量，而对求导数、偏导数得概念还可以推广导二元以上得函数，例如三元函数在点（)处对得偏导数定义为= 其中（)就是函数得定义域得内点，它们得求法也仍旧就是一元函数得微分法问题例求得偏导数解= ， = 二偏导数得几何意义二元函数= 在点得偏导数得几何意义设为曲面= 上得一点,过点作平面,截此曲面得一曲线，此曲线在平面上得方程为= ,则导数，即偏导数，就就是这曲线在点处得切线对轴得斜率、同样,偏导数得几何意义就是曲面被平面所截得得曲线在点处得切线对得斜率三偏导数得几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续，但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续、这就是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴得方向趋于P 时，函数值趋于，但不能保证点Ｐ按任何方式趋于P 时,函数值都趋于、例如，函数 = =｛在点（０，0）对得偏导数为同样有但就是我们在前面得学习中知道这函数在点（０，0)并不连续四二阶混合偏导数设函数= 在区域D内具有偏导数 =, =

偏导数的几何意义.doc

Ax 偏导数的儿何意义实验目的:通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一无函数吐我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变最的关系要比一元函数复杂的多. 所以我们首先考虑多元函数关于其中一-个自变量的变化率，以二元函数z= /(了疗)为例，如果只有自变量工变化，而自变量y 固定(即看作常量)，这时它就是X 的一元函数,这函数对X 的导数，就称为二元函数Z 对于才的偏导数,即有如下定义定义设函数z= *')在点的某一?邻域内有定义，当y 固定在V 。，而工在工。处有增量? A*时，相应的函数有增量 /(x 0 4-Ax,^) _ /(x 0,^0) f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) lim --------------------------------- 如果 Ax (1) 存在，则称此极限为函数z=在点”°疗°)处对汗的偏导数，记做例如，极限(1)可以表为 f(x 0 +Ax,y 0)-f(x 0,y 0) hgy°)蚣。类似的，函数z= ,(兀、)在点(冲疗°)处对歹的偏导数定义为尚栈尚九(％必) dz

lim 敏T O Rxo，Vo +Ay）?地， dz 记做分5 X■命如果函数2= 了3疗）在区域D内每一点（&'）处对工的偏导数都存在,那么这个偏导数就是工溜的函数,它就称为函数Z = /（工1）对自变量式的偏导函数，记做 & 堂凯瓦，气或九（"）类似的，可以定义函数z= /（兀力对自变量W的偏导函数，记做dz 山偏导数的概念可知，/3'力在点（如儿）处对工的偏导数九成。/）显然就是偏导函数九3',）在点成°疗°）处的函数值,就像-?元函数的导函数-?样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数. 至于求z=的偏导数,并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外 dz 一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题，求欲时,只要把*暂时看作常最而对工求导;求莎时，则只要把式智时看作是常量，而对V求导数. 偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数，例如三元函数〃 = /（兀MZ）在点（、,yz）处对式的偏导数定义为岫Rx +Ax, y ,z）?Rx ,y ,z）九（X'V’z） = A XT O A X 其中（X'W'Z）是函数〃 = /3，V，z）的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求z = / sin 2y的偏导数 dz

微分几何

第四版微分几何第二章课后习题答案

微分几何第四版习题答案解析梅向明

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

第四版 微分几何 第二章课后习题答案

偏导数的几何意义

微分几何第二章 矩阵和坐标变换

微分几何第四版习题答案梅向明

微分几何 陈维桓 习题答案

最新微分几何答案

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

偏导数的几何意义教学内容

微分几何陈维桓新编习题答案

微分几何第四版答案

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

偏导数的几何意义

偏导数的几何意义.doc

第四版微分几何第二章课后习题答案

微分几何第二章矩阵和坐标变换

微分几何陈维桓习题答案