计数原理试题汇总

计数原理

常考要点与核心问题

排列组合

解排列组合题的基本思路：

将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步

对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；

是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；

解排列组合题的基本方法：

优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；

位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉．分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏．

分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步．

插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．

穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题．

解决计数(查数)问题的核心思想

1数(shǔ)

2乘法，加法原理

3容斥原理(加法原理的推广)

4找对应

命题规律排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等．二项式定理

要求掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题．对二项式定理的考查主要有以下两种题型：

1．求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；

2．求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；

命题规律历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法．为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解．

*我们在证明二项式展开式时用到了一个有关多项式的结论，希望大家注意：

几个多项式相乘得到一个多项式，在合并同类项前，所得的多项式中的每一项是从每个因子多项式中取出一项后所作的乘积

即要生成多项式中的一项，只需要从每个因子多项式中取出一项，再将所得项作乘积.

基础篇

10全国 I (6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

A ．30种

B ．35种

C ．42种

D ．48种

考点：分类计数原理、组合知识

规律方法：分类讨论

解析：可分以下2种情况：(1)A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有2

413C C 种不同的选法；(2)A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有1423C C 种不同的选法.所以不同的

选法共有14232413C C C C +301218=+=种. 答案：A

(09 北京理)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )

A ．324

B ．328

C ．360

D ．648

考点：排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.

规律方法：先考虑有限制的元素和位置，分类讨论或者采用间接法求解

解析：法1：首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有728929=?=A (个)，

当0不排在末位时，有256884181814=??=??A A A (个)，

于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有32825672=+(个).

法2：采用间接法，三个数字没有重复组成偶数为360895181915=??=??A A A ，再考

虑首位是零的情况，32841814=?=?A A ，360-32=328.

答案：B

10 全国II (6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

A ．12种

B ．18种

C ．36种

D ．54种

考点：排列组合知识.

解析：标号1，2的卡片放入同一封信有1

3C 种方法；其他四卡片放入两个信封，每个信封两个有222224A A C 种方法，13C 1824=?C ，共有18种． 答案：B

10 北京 4，8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法总数为

A ．2988A A

B ．2988

C A C ．2788A A

D ．2

788C A 考点：排列组合

规律方法：插空法

解析：基本的插空法解决的排列组合问题，将所有学生先排列，有88A 种排法，然后将

两位老师插入9个空中，共有29A 种排法，因此一共有2

988A A 种排法．

答案：B

10 湖北8现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A ．152

B ．126

C ．90

D ．54

考点：分类记数原理

规律方法：特殊位置优先考虑，打捆法

解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有183323=?A C ；若有1人从事司机

工作，则方案有108332413=??A C C 种，所以共有18＋108＝126种 答案：B

10 全国 I (5)()()533121x x -+的展开式中x 的系数是（答案有错）

A ．－4

B ．－2

C ．2

D ．4

考点：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

解析：()()533121x

x -+()()53181261x x x x x -+++= 故()()533121x x -+的展开式中含x 的项为()33351x C -?＋0512C x ?x 10-=x 12+=x 2，所以x 的系数为2.

答案：C

10全国 II (14)若9??? ?

?-x a x 的展开式中3x 的系数是－84，则=a _________．

考点：本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.

解析：该二项展开式的通项公式为99()r r r a C x

x --，即929()r r r C x a --，所以展开式中3x 的系数是()84843339-=-=-a a C ，1=∴a .

答案：1

10湖北 11．在()2043y x +展开式中，系数为有理数的项共有_______________项.

考点：二项展开式的通项公式和求指定项系数方法的灵活运用 解析：二项式展开式的通

项公式为()()r r r r r r r r y x C y x C T --+==204

2042020133()200≤≤r 要使系数为有理数，则r 必为4的倍

数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.

答案：6

10江西6．()8

2x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2

考点：二项式定理和二项展开式的性质，考查实践意识和创新能力

规律方法：赋值法

解析：正难则反．4x 项是最高项，其系数为1；采用赋值法，令x ＝1得：系数和为1，

减去4x 项系数()1128

088=-C 即为所求，答案为0 答案：B .

10四川 (13)6312??? ?

?-x 的展开式中的第四项是_________ 考点：二项式定二项展开式的通项公式和求指定项的求法 解析：x x C T 16012333

3

64-=??? ??-= 答案：—x

160（负号没念） 提高篇

10江西 14．将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_______种(用数字作答)．

考点：分类计数原理平均分组分配问题

规律方法：归转化和应用知识

解析：先分组，考虑到有2个是平均分组，得两个两人组22

2426A C C 两个一人组221112A C C ，再全排列得：22

2426A C C 221112A C C ?44A ?＝1080． 答案：1080

10广东 8．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是

A ．1205秒

B ．1200秒

C ．1195秒

D ．1190秒

考点：排列组合基本排列公式与计数方法。

解析：需要的时间至少，即每一种闪烁没有重复的灯，一共有5

5A =5!共120种闪烁.每次闪烁时间5秒，共5×120＝600s ，每两次闪烁之间的间隔为5s ，共5×(120－1)＝595s ．总共就有600＋595＝1195s ．

答案：C

10浙江 (17)有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人.则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).

考点：本题主要考察了排列与组合的相关知识点

规律方法：分类讨论思想和数学思维能力，属较难题

解析：方法1：上午测试安排有4

4A 种方法，下午测试分为(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测“握力”，则有13C 种，其余三位同学选一人测“握力”，有13C 种方法，则共有9种方法，因此测试方法共有()2649244=+?A 种，当然，利用容斥原理可以给出更简洁的计算方法

方法2：容斥原理：设k A ，k ＝1，2，…，n 为n 个有限集合，|A |表示集合A 的元素个数则这n 个集合的并集满足：

()k n k k j i n k j i j i j i n k k k n k A A A A A A A A 11111=<<->==∑∑∑-+++-=I ΛI I I Y 其中，当n ＝2时，上一公式就是B A B A B A I Y -+=

当n ＝3时，上一公式就是：

()

C B A C B C A B A C B A C B A I I I I I Y Y +++-++=

解释一下：这一公式的意思就是

n 个集合并的元素个数＝n 个集合元素个数之和(这时肯定算多了，要减一下)－n 个集合中两两交集的个数和(这时又减多了，要加一下)＋n 个集合中三三相交的所有交集元素个数之和……(仿此继续，知道所有集合的交集)

如果不理解，可以先看n ＝2和n ＝3时的特殊情形.

如右图，将测试项目标号为1，2，3，4，5.对于甲乙丙丁四位同学，上下午不能测试相同的项目上午测试项目安排好后(共有44A 种方法)，安排下午的测试.此时，可以设上午甲测试1，乙测试2，丙测试3，丁测试4下午测试安排的方法种数为x ，(这里要求下午甲不测试1.乙不测试2，丙不测试3)x ＝44A (下午测试项目的全排)－33A (下午甲测试1的安排法数)－33A (下午测试2的安排法数)－33A (下午丙测试3的安排法数)＋2

2A (下午甲测试1且乙测试2的安排法数)＋22A (下午甲测试1且丙测试3的安排法数)＋22A (下午乙测试2

且丙测试3的安排法数)－1(下午甲测试1，乙测试2，丙测试3的安排法数)＝11

从而总共有2641144=?A 种

答案：264

(北京20) 已知集合{}k a a a A ,,,21Λ=()2≥k ，其中()k i Z a i ,,2,1Λ=∈，由A 中的元素构成两个相应的集合：

(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,．其中()b a ,是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和n ．

若对于任意的A a ∈，总有A a ?-，则称集合A 具有性质P ．

(I )检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；

(II )对任何具有性质P 的集合A ，证明：()2

1-≤k k n ； (III )判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．

考点：排列组合、集合

解析：(I )解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ．

集合{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合S 和T 是()(){}1,3,3,1--=S ，()(){}3,2,1,2-=T ．

(II )证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()

j i a a ,共有2k 个． 因为A ?0，所以()T a a j i ∈,()k i ,,2,1Λ=；

又因为当A a ∈时，A a ?-时，A a ?-，所以当()T a a j i ∈,时，()T a a i

j ?,()k i ,,2,1Λ=． 从而，集合T 中元素的个数最多为

()

()21212-=-k k k k ， 即()2

1-≤k k n ． (III )解：n m =，证明如下： (1)对于()S b a ∈,，根据定义，A a ∈，A b ∈，且A b a ∈+，从而()T b b a ∈+,． 如果()b a ,与()d c ,是S 的不同元素，那么c a =与d b =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与d b =中也至少有一个不成立．

故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 的不同元素．

可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即n m ≤，

(2)对于()T b a ∈,，根据定义，A a ∈，A b ∈，且A b a ∈-，从而()S b b a ∈-,．如果()b a ,与()d c ,是T 的不同元素，那么c a =与d b =中至少有一个不成立，从而d c b a -=-与d b =中也不至少有一个不成立，

故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 的不同元素．

可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即m n ≤，

由(1)(2)可知，n m =．