微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲
英文名称：
课程编号：
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）
先修课程：数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书：
维恒著，《微分几何初步》，北大
梅向明著，《微分几何》
虞言林著，《微分几何》
一、课程性质、目的和任务
本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。
二、教学基本要求
本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。
三、教学容及要求
第一章预备知识
标架
向量值函数
第二章曲线论
参数曲线
曲线的弧长
曲线的曲率和标架
挠率和公式
曲线论基本定理
曲线在一点的标准展开
平面曲线
重点掌握：曲线的标架及公式
第三章曲面的第一基本形式
曲面的定义
切不面及切向量
曲面的第一基本形式
曲面上正交参数曲面网的存在性
保长对应和保角对应
可展曲面
重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。
第四章曲面的第二基本形式
第二基本形式
法曲率
映射和映射
主方向和主曲率的计算
标形和曲面在一点的近似展开
某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理
自然标架的运动公式
曲面一唯一性定理
曲面论基本议程
曲面的存在定理
定理。
重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线
测地曲率和测地挠率
测地线
测地坐标系
常曲率曲面
向量场的平行移动
公式
重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。
大纲制定者：洪军执笔
大纲审定者：红斌
大纲批准者：胜利
大纲校对者：洪军
“数学分析”课程教学大纲
英文名称：
课程编号：
课程类型：必修课
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生
先修课程：高中数学
使用教材及参考书：
．传璋等，《数学分析》，高等教育。
．筑生主编，《数学分析新讲》，大学，年
．
一、课程性质、目的和任务
本课程是理科数学专业的主要基本课之一，通过本课程的学习了解分析学的概貌，学会分析方法，培养学生的运算能力、抽象思维能力以及处理实际问题的综合应用能力。
二、教学基本要求
要求学生熟练掌握本课程的基本概念、基本理论、基本运算及方法。通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到清晰、推严密、运算准确，并且了解分析学的基本要领及物理、几何意义，学会应用这些基本理论及方法去处理和解决物理、几何等领域中的实际问题。
三、教学容及要求
第一章集合、映射与函数
重点掌握：集合、映射与函数的概念，函数的表示，函数的复合运算。
第二章序列极限
重点掌握：序列极限的定义与性质，敛散性判定的单调有界原理。
了解：区间套定理及柯西收敛准则。
第三章函数极限与连续
重点掌握：函数极限的定义与性质，两个重要极限，函数连续的定义，闭区间上连续函数的性质，无穷小量与无穷大量的定义与性质。
了解：一致连续函数概念，无穷大（小）量阶的概念。
第四章微分、导数
重点掌握：微分与导数的定义、运算及应用，高阶导数与高阶微分。
第五章利用导数研究函数
重点掌握：微分中值定理，洛比达法则，泰勒公式，利用导数作函数图象、分析并作图。了解：平面曲线的曲率，弧长的微分及计算。
第六章不定积分
重点掌握：不定积分的定义及性质，不定积分的计算。
第七章定积分的定义，存在的条件，可积函数，定积分的性质，定积分的计算，定积分的应用。
了解：微分方法概念。
第八章欧氏空间与多元函数
重点掌握：维欧氏空间定义，中点集的拓朴及基本性质，多元函数的概念，多元函数的极限与连续性概念与性质。
了解：连续与紧性，连续与连通性等概念。
第九章多元函数的微分学
重点掌握：偏导与全微分的概念，复合函数偏导数的链式法则，一阶微分形式的不变性，微分运算法则。
了解：高阶偏导数和高阶全微分，泰勒公式。
第十章多元函数微分学的应用
重点掌握：方向导数、梯度的定义与计算，曲线的切线与曲面的切平面议程，极值与条件极值概念与计算。
了解：陷函数的重积分
第十一章多元函数的重积分
重点掌握：重积分的概念与积分的性质，二重积分及三重积分的计算，柱面坐标与球面坐标。了解：重积分在物理上的应用。
第十二章曲线积分与曲面积分
重点掌握：第一类曲线积分与曲面积分的定义及计算，第二类曲线积分与曲面积分的定义及计算。
了解：它们的几何或物理意义及应用。
第十三章：各种积分间的联系
重点掌握：格林公式，曲线积分和路径的无关性，高斯公式，斯托克司公式。
第十四章广义积分
重点掌握：无穷区间上广义积分的概念及收敛性的判别法，无界函数的广义积分的概念及收敛性的判别法。
第十五章数项级数
重点掌握：无穷级数及其收敛性的概念，收敛级数的基本性质，正项级数、任意项级数及其收敛性判别法，绝对收敛级数与条件收敛级数的性质。
了解：广义积分与级数的关系，上极限与下极限概念。
第十六章函数项级数、幂级数
重点掌握：函数项级数的概念，一致收敛的定义，一致收敛级数的性质，幂级数概念，收敛半径，幂级数的性质，函数的幂级数展开。
了解：逼近定理。
第十七章傅里叶级数
重点掌握：傅里叶级数的要领及其收敛性判别法，任意周期的傅里叶展开及其复数形式，基本三角函数系，狄利克雷积分，黎曼引理，傅里叶变换。
第十八章实数理论
重点掌握：上、下确界的概念，实数的基本定理及其证明（包括区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有界覆盖定理等），闭区间上连续函数的性质，一致连续性定理及其证明。
第十九章含参变量的积分
重点掌握：含参变量的积分的概念及计算。
第二十章含参量的广义积分
重点掌握：含参变量的广义积分的概念，一致收敛的定义，一致收敛积分的性质及判别法，欧拉积分。
了解：阿贝尔判别法、狄立克莱判别法，Γ函数、β函数，含参变量积分与函数逼近问题。
第二十一章场论初步
重点掌握：场的概念，场的表示法，向量场的通量、散度和高斯公式，向量场的环量和旋度。了解：保守场与势函数。
第二十二章节外微分形式与斯托克司公式
重点掌握：反对称的κ重线性函数，κ次微分形式，外微分，微分形式的变量替换，高斯定理，斯托克司公式。掌握外微分形式与斯托克司公式。
了解：流形与流形上的积分。
四、学时分配
大纲制定者：红斌执笔
大纲审定者：赫孝良
大纲批准者：胜利
大纲校对者：红斌
“复变函数”课程教学大纲
英文名称： { }
课程编号：
课程类型：必修课（双语）
学时：学分：
适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下）先修课程：数学分析、高等代数与几何
使用教材及参考书：
钟玉泉：《复变函数论》，高教。
余家荣：《复变函数论》，高教。
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一、课程性质、目的和任务
本课程是理科数学专业的基础课之一，通过本课程的学习使学生掌握复变函数论的基本理论和容与方法，为工程应用打下基础，也为进一步学习与研究多复变函数、复动力系统、复几何等提供必要的预备知识。
二、教学基本要求
要求学生熟悉掌握本课程的基本概念、基本理论和基本运算、学会应用本课程的基本理论及方法支解决工程实际提出的问题，并通过对英文版教材的教学与阅读，提高学生的专业外语水平。
三、教学容及要求
第一章平面点集与初等函数
重点掌握：复平面上的点集、复变函数概念；复变函数的极限与连续性概念及有关理论；解析函数的概念与柯西一黎曼条件、复变函数的导数与微分、初等解析函数。
了解：复球面与无穷远点，初等多值函数等容。
第二章全纯函数与柯西积分
重点掌握：全纯函数概念，复变函数积分的定义及基本性质、柯西积分定理、柯西积分公式。了解：柯西型积分，解析函数与调合函数的关系，平面向量场一解析函数的应用。
第三章解析函数的幂级数表示法
重点掌握：复级数的基本性质，幂级数及其敛散性，解析函数的泰勒展式及罗朗展式。
了解：解析函数零点孤立性及唯一性定理。
第四章奇点与留数
重点掌握：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质，留数及留数定理与计算实积分。
了解：整函数与亚纯函数概念，平面向量场——解析函数的应用；辐解原理。
第五章共形映射
重点掌握：解析变换的特性，线性变换，某些初等函数所构成的共形映射。
第六章解析延拓
重点掌握：解析延拓与幂级数延拓概念，透弧解析延拓，对称原理。
了解：完全解析函数及黎曼面概念，多角形式域的共形映射。
第七章黎曼定理与正规族
了解：黎曼定理与正规族的概念。
大纲制定者：红斌执笔
大纲审定者：赫孝良
微分几何课程教学大纲
“微分几何”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业本科生（二年级下） 先修课程：数学分析、高等代数与几何 使用教材及参考书： 陈维恒著，《微分几何初步》，北大出版社 梅向明著，《微分几何》 虞言林著，《微分几何》 一、课程性质、目的和任务 本课程主要介绍维芡氏空间中曲线和曲面的经典局部理论，使学生树立正确的几何观念，为进一步学习现代数学和物理提供基础和背景。 二、教学基本要求 本课程要求学生建立正确的几何概念、掌握描述和刻划曲线及曲面形状的方法和手段，会进行初步的曲率计算，并能理解绝妙定理的重要意义。 三、教学内容及要求 第一章预备知识 标架 向量值函数 第二章曲线论 参数曲线 曲线的弧长 曲线的曲率和标架 挠率和公式 曲线论基本定理 曲线在一点的标准展开 平面曲线 重点掌握：曲线的标架及公式 第三章曲面的第一基本形式 曲面的定义 切不面及切向量 曲面的第一基本形式 曲面上正交参数曲面网的存在性 保长对应和保角对应 可展曲面 重点掌握：第一基本形式的定义，计算及作用，可展曲面的三种基本形式。 第四章曲面的第二基本形式 第二基本形式 法曲率 映射和映射 主方向和主曲率的计算 标形和曲面在一点的近似展开 某些特殊曲面。
重点掌握：第二基本形式的定义，法曲率、主曲率、曲率、中曲率的计算。第五章曲面论基本定理 自然标架的运动公式 曲面一唯一性定理 曲面论基本议程 曲面的存在定理 定理。 重点掌握：自然标架的运动公司，曲面基本议程，曲率的内在计算（定理）。第六章测地曲率和测地线 测地曲率和测地挠率 测地线 测地坐标系 常曲率曲面 向量场的平行移动 公式 重点掌握：测地曲率的定义和测地线议程，平行移动和协变微分。 大纲制定者：李洪军执笔 大纲审定者：陈红斌 大纲批准者：张胜利 大纲校对者：李洪军 “数学分析”课程教学大纲 英文名称： 课程编号： 课程类型：必修课 学时：学分： 适用对象：理学院数学各专业一、二年级本科生 先修课程：高中数学 使用教材及参考书： ．陈传璋等，《数学分析》，高等教育出版社。 ．张筑生主编，《数学分析新讲》，北京大学出版社，年
【精品】第1章高等数学规划预备知识
第1章预备知识 §1。1基本概念与术语 1。1.1数学规划问题举例 例1食谱（配食）问题 假设市场上有n 种不同的食物，第j 种食物每个单位的销售价为),,2,1(n j c j =。 人体在正常生命活动过程中需要m 种基本的营养成分。为了保证人体的健康，一个人每天至少需要摄入第i 种营养成分),,2,1(m i b i =个单位。 第j 种食物的每个单位包含第i 种营养成分ij a 个单位. 食谱（配食)问题就是要求在满足人体基本营养需求的前提下,寻找最经济的配食方案（食谱)。 建立食谱的数学模型 引入决策变量i x ：食谱中第i 种食物的单位数量
i n i i x c ∑=1 min s 。t.m i b x a i j n j ij ,,2,1 ,1 =≥∑= n j x j ,,2,1 ,0 =≥ 例2选址与运输问题 ● 假设某大型建筑公司有m 个项目在不同的地点同时开工建设。记工地的位置分别为 m i b a P i i i ,,2,1 ),,( ==. ● 第i 个工地对某种建筑材料的日用量是已知的（比如水泥的日用量(单位:t ）为i D ）． ● 该公司准备分别在),(111y x T =和),(222y x T =两个地点建造临时料场，并且保证临时料 场对材料的日储量（单位:t ）分别为1M 和2M ． 如何为该公司确定临时料场的位置，并且制订每天的材料供应计划，使建筑材料的总体运输负担最小？ 建立选址与运输问题的数学模型 引入决策变量：位置变量),(k k y x ，从临时料场向各工地运送的材料数量 ),,2,1 ;2,1(m i k z ki ==. ∑∑-+-==211 22)()(min k m i i k i k ki b y a x z s 。t 。2 ,1 ,1 =≤∑=k M z k m i ki
大学物理物理知识点总结!!!!!!word版本
B r ? A r B r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动
高斯曲率的意义与作用
高斯曲率的意义与作用 1引言 在曲面论中,应用较多的是高斯曲率．高斯曲率是微分几何学发展的里程碑，开创了微分几何学的一个新纪元．正是高斯这一伟大发现启发我们对于抽象的曲面进行研究，也就是对于只给定第一基本形式的曲面研究其几何性质．同时高斯定理说明，曲面的度量性质本身蕴含着一定的弯曲性质，这是曲线所不具有的特点． 2 预备知识 2.1 主曲率 2.1.1 主曲率的定义 [1](99) p 曲面上一点处主方向上的法曲率称为曲面在此点的主曲率. 由于曲面上一点处的主方向是过此点的曲率线的方向，因此主曲率也就是曲面上一点处沿曲率线方向的法曲率． 2.1.2 主曲率的计算公式 主曲率满足 0N N N N L k E M k F M k F N k G --=-- 即 222()(2)()N N EG F K LG MF NE K LN M ---++-=[1](102)0p 2.1.3 有关主曲率的一个命题 [1](102) p 曲面上的一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率的最大值和最小值. 2.2 高斯映射（球面表示） 设σ是曲面S ：(,)r r u v =r r 上一块不大的区域，另外再做一个单位球面．现在建立σ中的点和 单位球面的点的对应关系如下：σ中任取一点(,)P u v =，作曲面在P 点处的单位法向量 (,)n n u v =r r ，然后把n r 的始端平移到单位球的中心，则n r 的另一端点就在单位球面上，设该点为P '，这样对于曲面的小区域σ中的每一点(,)r u v r ，(,)u v σ∈与球面上向径为(,)n u v r 的点对应．因此， 曲面上所给出的小区域σ表示到单位球面的对应区域* σ上．也就是说，建立了曲面的小区域σ到单位球面上区域* σ的对应.我们把曲面上的点与球面上的点的这种对应称为曲面的球面表示，也称
《高等数学》读书笔记
类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文 知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分 二.知识层次分解2.3说明： 函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念 集合： 元素 2>绝对值及其基本性质
>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立 极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点 一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则
基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用 微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值 一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用
1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分 注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握 黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次 的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂
大学物理知识点
A r r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确 r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?= ? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+
大学物理物理知识点总结
y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
第四版微分几何期末复习总结
( )2 211 22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u 求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2 ={}{ }{ }1212223123322112212222 ).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ), =b /(a τθθθταβγθθτ?=?==-?=?=?=-?=?=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{ }{ }{}1 2 1 1 12121 112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0. αθθγαβ θθβθθ=??=?=-????=-切向量, 主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθ?θ?θψ??ψ??ψ?ψ?ψ =>?? ??== ?=? ?-?=?=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(?ψ???????????==? ====-+==?==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..?+----=== -==- ==]. 题2 求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======?=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率” 4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ?? ?? ? ? ≡≡=≡+≡???证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。
自考笔记 00020 高等数学(一) 完整免费版
自考笔记 00020 高等数学（一）完整免费版小薇笔记免费提供各科自考笔记，完整版请访问https://www.360docs.net/doc/996489925.html, 前言《高等数学一》共6章第一章函数 1.主要是对高中知识的复习; 2. 为今后知识打下良好的基础; 3.本章知识在历年考题中所占的分值并不多，一般是 5分左右. 第二章极限和连续主要是学习极限与连续的概念，是后面章节的基础; 本章内容在历年考题中所占分值为20左右. 第三章导数与微分主要是学习函数 的导数和微分，这是高数的核心概念. 本章内容在历年考题中所占分值为15分左右. 第四章微分中值定理和导数的应用主要是掌握微分中值定理的应用，这一章容易出大题、难题; 本章在历年考题中所占分值为20分左右. 第五章一元函数积分学主要学习不定积分和定积分，这又是高数的核心概念; 本章内容在历年考题 中所占分值为25分左右. 第六章多元函数微积分主要是学习多元函数的微积分 的计算; 本章内容在历年考试题中所占分值为15分左右. 第一章函数1.1 预备 知识 1.1.1 初等代数的几个问题 1.一元二次方程 2关于x的方程ax，bx， c,0(a?0)，称为一元二次方程，称为此方程的判别式. (1)求根公式: 当?,0时，方程有两个不同的实根: 当?,0时，方程有一个二重实根: 当?,0时，方程有一对共轭复根: (2)根与系数的关系(韦达定理): 2(3)一元二次函数(抛物线):y,ax，bx，c(a?0)，当a,0时，开口向上，当 a,0时，开口向下. 对称轴 顶点坐标 322例1.若x，x，ax，b能被x,3x，2整除，则a、b是多少, 结论:多项式f(x)，g(x).若f(x)能被g(x)整除，则g(x),0的根均为f(x),0的根. 2解:令x,3x，2,0，解得x,1或2，代入被除式得
大学物理知识点汇总
大学物理I期末复习知识点汇总 （2011-5-12） 第一章：质点运动学 1、参考系坐标系质点 2、位置矢量位移速度加速度 3、角量和线量的关系（角量：角坐标角速度角加速度） 4、运动方程和轨迹方程 5、相对运动绝对=牵连+相对 第二章：牛顿运动定律 1、牛顿运动定律（牛顿第一定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律） 2、常见的三种力（万有引力、弹性力、摩擦力） 第三章：动量守恒定律和能量守恒定律 1、动量冲量质点和质点系的动量定理以及动量守恒定律 2、功保守力和非保守力的功势能 常见的保守力：重力弹性力万有引力 势能：引力势能重力势能弹性势能 3、质点和质点系的动能定理 4、系统的功能原理 5、机械能守恒定律 6、质心质心运动定理 第四章：刚体 1、刚体刚体的运动 2、刚体的定轴转动 3、力矩转动惯量转动定律 4、质点的角动量质点的角动量定理质点的角动量守恒定律 5、刚体定轴转动角动量 6、刚体定轴转动的角动量定理 7、刚体定轴转动的角动量守恒定律 8、刚体定轴转动时力矩做功 9、刚体定轴转动的动能定理 第五章：静电场
1、点电荷电荷守恒定律库伦定律 2、电场强度电场叠加原理 3、电势电势叠加原理 4、静电场的高斯定理 5、静电场的环路定理 6、电场强度和电势梯度之间的关系 7、求场强的三种方法： （1）已知空间电荷分布，用场强叠加原理求场强 （2）已知电荷分布，电荷分布具有高度对称性，高斯定律求场强（3）已知电势分布，可利用电势梯度来计算电场强度 第六章：静电场中的导体与电介质 1、静电场中的导体 （1）均匀导体静电平衡的条件：导体内部电场强度处处为零。 （2）根据均匀导体的静电平衡条件，可以得到以下推论： （a）导体为等势体，其表面为等势面 （b）导体表面上任意一点的电场强度的方向都垂直于该处表面 （c）当带点导体处于静电平衡时，导体内部处处没有净电荷存在，电荷只能分布在导体表面 （d）导体表面附近的电场强度大小与该处电荷的面密度成正比。即（e）孤立带电导体表面各处电荷密度的大小与该处表面的曲率半径有关，曲率半径越大的地方，电荷面密度越小。 （3）静电屏蔽 在静电平衡条件下： （a）外电场不可能对空腔内部空间发生任何影响 （b）接地封闭导体腔外电场不受腔内电荷的影响 2、静电场中的电介质 （1）电介质的极化外电场作用下，电介质表面出现束缚电荷的现象（2）电极化强度矢量 P （3）电位移矢量D P、D、E之间的关系 （4）有电介质时的高斯定理 3、电容器电容 （1）电容的定义 （2）串联和并联的等效电容 4、静电能 （1）电场的能量密度
高等数学考研大总结系列之一预备知识
第一章 预备知识 一， 函数 1 函数的定义：?传统定义：如果在某变化过程中的两个变量x ,y 并且对于x 在某个范围内的每一个．．．确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数。 ?近代定义：函数就是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。记： ()y x f x f →=:（X ∈A ）其中x 称为自变量，y 称为因变量。()x f 表示函数f 在点x 处 的值，A 称为函数的定义域，记为：()f D ；()(){} B A x x f A f ?∈=称为函数的值域，记为：()f R 。 解析：两变量之间是否构成函数关系，不在于一个变量引起另一个变量的变化，而在于是否存在对应法则（对函数变量的作用模式）使一个变量在其取值范围内任取一值时，另一个变量总有确定的值与之对应。函数的本质就是对应关系。 2 函数的三要素：定义域，值域，对应法则。 解析：?常见函数定义域的求法：①分式函数分母不能为0。②)(*2N n x y n ∈=定义域{}0≥x x 。 ③)(N n x y n ∈=-定义域{}0≠x x 。④x a y l o g =（ａ>O ，ａ≠1）定义域{}0>x x 。⑤x y tan =定义域? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π。⑥x y cot =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑦x y ar csin =定义域{}11≤≤-x x 。⑧x y arccos =定义域{}11≤≤-x x 。⑨x y sec =定 义域? ?? ? ??∈+ ≠Z k k x x ,2π π。⑩x y csc =定义域{}Z k k x x ∈≠,π。⑴某些实际问题要注意函数的实际意义。⑵求复杂函数的定义域时要综合考虑取各部分的交集。 ?在研究函数时要树立定义域优先的原则。 ?注意定义域与定义区间的区别：对于初等函数定义区间即为它的连续区间，但须小心定义域与定义区间是不同的例如：1cos -= x y 的定义域由)(2Z k k x ∈=π这些孤立的点组成 而无定义区间。（结合幂级数的收敛域和收敛区间） ?函数值域的常见求法：①配方法（类二次函数）②判别式法（要求X R ∈）③反函数法（即互换法）。④均值定理法。⑤函数的单调性法（一般方法）⑥换元法：㈠代数换元法㈡三角换元法。⑦复数法（利用复数的模）⑧构造法（构造函数，向量（内积与模积的关系），绝对值不等式（利用其性质，两点间距离公式等。）⑨形如)0(>+ =k x k x y 的对号函数（图象命名）在不能用重要不等式的情况下（等号不成立）可考虑用函数的单调性当x >O 时，单减区间为(]k ,0，单增区间为[)+∞,k 其分界点为( ) k k 2,至于x y 第一章 质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r 高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念： 0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 3、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 22 22 =++c z b y a x o x B r ? A r B r y A r ? s ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 22r r x y ==+ 运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，22r x y =?+?△ 路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 复旦大学数学学院 学生选课指南 (自2015年新生开始) Version 1：2015/7/3 选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。 大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不应超过18个课时。 A．数学学院毕业学分要求：共143学分 1. 通识课程：40学分。 2. 大类基础课：18 学分 数学分析AI，数学分析AII，大学物理B（上), 大学物理B (下)。 ** 学生也可以选大学物理A系列8个学分。 3. 专业必修课: 28学分 课程: 24学分. 数学分析III，高等代数I, 高等代数II，解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). ** 对于转专业学生，高等数学A(上、下)再加数学分析原理可以代替数学分析AI,AII,III. 毕业论文: 4学分. 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩. 4. 限定必修课：27学分 从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程, 复变函数, 实变函数, 泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何, 基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 数学模型，微分方程数值解. 5. 专业选修课: 15 学分, 从培养方案所列选修课程中选(信息与计算专业有课程要求), 通常是5门课程. 包括限定必修课中的课程. 6. 任意选修课: 15学分, 可选全校任意课程(包括数学学院专业选修课程). B．学生选课指导： 数学学院的学生需要修的数学课总数大约是：4门大类课程+6门专业必修+9门 高等数学（下）知识点 高等数学下册知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ， ),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两 点 间 的 距 离 公式： 212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角 γβα,, 4） 方 向 余 弦 ： r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 高等数学（下）知识点 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 （二） 数量积，向量积 1、 数量积：θ cos b a b a =? 1）2a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规 则 1）0 =?a a 2）b a //?0 =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S 2、 旋转曲面： B r ? A r B r y r ? 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r 称为位矢 位矢r xi yj =+,大小 2r r x y ==+运动方程 ()r r t = 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?△，2r x =?+△路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?(速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x +=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=??? ??+??? ??== ds dr dt dt = 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=? 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?△ a 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x 2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x 二.抛体运动 微分几何教学大纲 (Differential Geometry ) 课程代码318.022.1编写时间 课程名称微分几何 英文名称Differential Geometry 学分数3周学时3+1任课教师傅吉祥开课院系数学学院 预修课程 课程性质： 本课程是数学系基础数学与应用数学专业（相对于复旦大学）的必修 课。 基本要求和教学目的： 通过本课程的学习，学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何概 念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几 何学打好基础；另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能 力。 课程基本内容简介： 本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有： 曲线论，内容包括：曲线的切向量与弧长；主法向量与从法向量； 曲率与扰率； Frenet 标架与 Frenet 公式；曲线的局部结构；曲线论的基 本定理；平面曲线的一些整体性质，如切线的旋转指标定理，凸曲线的几 何性质，等周不等式，四顶点定理与 Cauchy-Crofton公式；空间曲线的一 些整体性质，如球面的Crofton公式，Fenchel定理与Fary-Milnor定理。 曲面的局部理论，内容包括：曲面的表示、切向量、法向量；旋转 曲面、直纹面与可展曲面；曲面的第一基本形式与内蕴量；曲面的第二基 本形式；曲面上的活动标架与基本公式； Weingarten 变换与曲面的渐近线、 共扼线；法曲率；主方向、主曲率与曲率线；Gauss 曲率和平均曲率；曲 面的局部结构；Gauss映照与第三基本形式；全脐曲面、极小曲面与常 Gauss 曲率曲面；曲面论的基本定理；测地曲率与测地线；向量的平行移动。 曲面的整体性质初步，内容包括：曲面的整体表述；曲面上的Gauss-Bonnet 公式；向量场与孤立奇点的指标；球面的刚性；极小曲面中 的 Bernstein 定理；完备曲面与 Hopf-Rinow 定理。 教学方式 : 课堂授课 +习题课 教材和教学参考资料 龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/996489925.html, 由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题 作者：吴禹谋 来源：《科技风》2018年第34期 摘要：几何学有着悠久的历史，至今仍然是最重要的数学学科之一。微分几何是几何学中一个以无穷小分析方法为特征的分支。著名的数学家高斯、黎曼、嘉当等人，都对微分几何学的发展做出过重大的贡献。另一方面，微分几何学也是现代物理学思想的重要源泉。曲率是微分几何学中的一个重要概念，在这篇论文中，我们尝试从数学与物理学两个角度，对这个概念做初步的探讨。 关键词：《三体》曲率驱动；曲率问题 1 曲率的数学直观认知 微分几何学是利用微积分的理论研究欧氏空间的几何性质的一个几何学分支。古典微分几何着重研究三维欧氏空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的欧氏空间——流形。微分几何学与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。 在这篇论文中，我们主要尝试从数学与物理学两个不同的角度，对微分几何学中的一个非常重要的概念——曲率，尝试做一个初步的探讨。我们的论文的结构如下，在这一节中，我们将主要从数学的角度去理解曲率这个概念。因为严格定义曲率，需要相当篇幅的多元微积分的预备知识作为基础，所以这里我们更强调的是一种数学的直观定义，这也反映出微分几何学这个学科——对图形直观性地强调——本身所蕴含的特性。关于曲率最严格准确的定义，我们推荐感兴趣的读者参看参考文献[1]。在下一节中，我们将会从物理学与工程技术的不同的应用 场景的角度，去探讨曲率这个概念，在其中所发挥的作用。从物理学的角度，我们尤其强调的是它在现代宇宙学中的作用，而在工程技术的角度，我们会去探讨它在地球物理勘探中的应用。最后的一节中，我们将基于前两节所讨论的曲率的理论层面的知识，来给出一个有趣的实验。 欧氏空间中的一个曲面上有两个重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何学里，一个中心的问题便是要探讨怎样判定曲面上的一条特定的曲线是这个曲面的一条测地线，此外也还需要讨论测地线的其他几何性质。另一方面，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。大学物理学习知识重点(全)
高数下册常用常见知识点
大学物理知识点总结
选课指南(2015级)
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大学物理物理知识点总结!!!!!!
2019年复旦大学微分几何教学大纲.doc
由《三体》曲率驱动联想到的曲率问题