矩阵的初等行变换与矩阵的秩

矩阵的初等行变换与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换

矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：

1.互换矩阵两行的位置（对换变换）；

2.用非0常数遍乘矩阵的某一行（倍乘变换）；

3.将矩阵的某一行遍乘一个常数k加到另一行（倍加变换）上。

二、阶梯形矩阵

满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵

1.各个非0行（元素不全为0的元素）的第一个非0元素的列标随着行标的递增而严格增大；

2.如果矩阵有0行，0行在矩阵的最下方。

例如

重要定理一

任意一个矩阵经过若干次初等行变换可以化成阶梯形矩阵。

例题

注意：一个矩阵的阶梯形矩阵不唯一例如：

三、矩阵的秩

矩阵A的阶梯形矩阵非0行的行数称为矩阵A的秩，记作秩（A）或r(A) 例如下列矩阵的秩分别为2、3、4

?????

?

?--00

0049201321、????? ??--100980201、???

?

?

?

?

?

?---500

00301000783013002

例题 求矩阵

??????

?

?

?----=35

22

2232111201107033

A 秩及秩(T

A ) 解

???????

?

?----=35

222232111201107033A ()??????

?

?

?----??→?35

2222321107033120

11,②① ???????

?

?--????→?-+-+-+11200112003100012011)

2()

1()3(①④①③①② ?????

??

?

?--???→?-+00000112003100012

011)

1(③④

()?????

?? ?

?--??→?00000310001120012

011,③② 所以，秩(A)=3

???

????? ?

?----=32105327

220021132113A T

???????

? ??????→?-?++32101101220000002113)2(①④①

②

??

??????

?

???→?000

021132200

32101101,,⑤②④

①

??

?

???

??

??--????→?-?+000012102200

3210

11

01

)3(①④

??

?

???

?? ?

?--????→?-?+000

044002200

3210

1101)1(②④

??

?????

?

?

????→??+000

000002200

3210

11012③④

所以，()3A

T

=秩

可以证明：对于任意矩阵A ，

()()T

A A 秩秩=；矩阵的秩是唯一的。

问题：

矩阵：???

???

?? ?

?-----014568

327630

22

1的秩等于4？

对否，为什么？

满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）

设A是n阶矩阵，若秩(A)=n，则称A为满秩矩阵（非奇异矩阵、非退化矩阵）

重要定理二

定理9.2

任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵。

例

()????

? ??-??→???

?

??

??----??→?????? ?

?----=+10012

021*******

21111121

1120

A ,①

③②① 3阶矩阵A 的秩：秩(A)=3，所以A 是满秩矩阵。

??

??

? ?????→?????? ????→?????

?

?????→?????? ??--+?-++100010001100010011100020011100120211)1(21

)2(②①②③①③②

练习P329,练习9.5 4.

设

有最小值

使秩求)A (,01112421A λλ???

?? ??=

解：对A 进行初等行变换，化为阶梯形矩阵

??

??

?

??+---????→???

?

?

? ??----???→???

??

?

?

???→??????

?

?=-+-+-+940041042174041042112011

42101112421A )

4()

2()1(,λλλλ

λ②③①③①②③

② 最小

秩时得令2)A (,4

9

,094===+-λλ