电路分析基础各章节小结

“电路分析基础”教材各章小结

第一章小结：

1.电路理论的研究对象是实际电路的理想化模型，它是由理想电路元件组成。理想电路元件是从实际电路器件中抽象出来的，可以用数学公式精确定义。

2.电流和电压是电路中最基本的物理量，分别定义为

电流

t

q

i

d

d

=

，方向为正电荷运动的方向。

电压

q

w

u

d

d

=

，方向为电位降低的方向。

3.参考方向是人为假设的电流或电压数值为正的方向，电路理论中涉及的电流或电压都是对应于假设的参考方向的代数量。当一个元件或一段电路上电流和电压参考方向一致时，称为关联参考方向。

4.功率是电路分析中常用的物理量。当支路电流和电压为关联参考方向时，ui

p=；当

电流和电压为非关联参考方向时，

ui

p-

=。计算结果0

>

p表示支路吸收（消耗）功率；

计算结果

<

p表示支路提供（产生）功率。

5.电路元件可分为有源和无源元件；线性和非线性元件；时变和非时变元件。电路元件的电压-电流关系表明该元件电压和电流必须遵守的规律，又称为元件的约束关系。

（1）线性非时变电阻元件的电压-电流关系满足欧姆定律。当电压和电流为关联参考方向时，表示为u=Ri；当电压和电流为非关联参考方向时，表示为u=－Ri。电阻元件的伏安特性曲线是u-i平面上通过原点的一条直线。特别地，R称为开路；R＝0称为短路。

（2）独立电源有两种

电压源的电压按给定的时间函数u S(t)变化，电流由其外电路确定。特别地，直流电压源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于i轴且u轴坐标为U S的直线。

电流源的电流按给定的时间函数i S(t)变化，电压由其外电路确决定。特别地，直流电流源的伏安特性曲线是u-i平面上平行于u轴且i轴坐标为I S的直线。

（3）受控电源

受控电源不能单独作为电路的激励，又称为非独立电源，受控电源的输出电压或电流受到电路中某部分的电压或电流的控制。有四种类型：VCVS、VCCS、CCVS和CCCS。

6.基尔霍夫定律表明电路中支路电流、支路电压的拓扑约束关系，它与组成支路的元件性质无关。

基尔霍夫电流定律(KCL)：对于任何集总参数电路，在任一时刻，流出任一节点或封闭面的全部支路电流的代数和等于零。

KCL 体现了节点或封闭面的电流连续性或电荷守恒性。数学表达为0=∑i 。

基尔霍夫电压定律(KVL)：对于任何集总参数电路，在任一时刻，沿任一回路或闭合节点序列的各段电压的代数和等于零。

KVL 体现了回路或闭合节点序列的电位单值性或能量守恒性。数学表达为0=∑u 。

7.任何集总参数电路的元件约束(VCR)和拓扑约束(KCL 、KVL)是电路分析的基本依据。

第二章小结：

1.等效是电路分析中一个非常重要的概念。

结构、元件参数可以完全不相同两部分电路，若具有完全相同的外特性(端口电压-电流关系)，则相互称为等效电路。

等效变换就是把电路的一部分电路用其等效电路来代换。电路等效变换的目的是简化电路，方便计算。

值得注意的是，等效变换对外电路来讲是等效的，对变换的内部电路则不一定等效。

2.电阻的串并联公式计算等效电阻、对称电路的等效化简和电阻星形联接与电阻三角形联接的等效互换是等效变换最简单的例子。

3.含独立电源电路的等效互换

（1）电源串并联的等效化简

电压源串联：∑=Sk Seq u u

电压源并联：只有电压相等极性一致的电压源才能并联，且

Sk Seq u u = 电流源并联：∑=Sk Seq i i

电流源串联：只有电流相等流向一致的电流源才能串联，且Sk Seq i i =

电压源和电流源串联等效为电流源；电压源和电流源并联等效为电压源。

（2）实际电源的两种模型及其等效转换

实际电源可以用一个电压源

S u 和一个表征电源损耗的电阻S R 的串联电路来模拟。称为戴维南电路模型。

实际电源也可以用一个电流源S i 和一个表征电源损耗的电导S G 的并联电路来模拟。称

为诺顿电路模型。

两类实际电源等效转换的条件为

S G R 1S =

, S S S i R u = 。

（3）无伴电源的等效转移 无伴电压源可以推过一个节点，无伴电流源可以推过一个回路。

4.含受控电源电路的等效变换

在等效化简过程中，受控电源与独立电源一样对待，只是受控电源的控制量不能过早消失。

有源二端网络等效化简的最终结果是实际电源的两种模型之一。常表示为

B Ai u +=

其中，A 、B 为常数，u 、i 为二端网络端口的电压和电流。

当端口上的电压u 和电流i 参考方向关联时，A 就是戴维南电路模型中的

S R ，B 就是戴维南电路模型中的S u 。

若令有源二端网络中的独立源为零，此时的网络称为无源二端网络，就端口特性而言，等效为一个线性电阻，该电阻称为二端网络的输入电阻或等效电阻。当端口上的电压u 和电流i 参考方向关联时，输入电阻为

i u

R R i ==S

5.计算含理想运算放大器的两条重要依据是：

（1） 输入电阻∞→i R 。故反相输入和同相输入电流均为零。通常称为“虚断路”。

（2） 开环放大倍数∞→A ，且输出电压为有限值。a 端和b 端等电位。通常称为“虚

短路”。

第三章小结：

1. 对于具有b 条支路和n 个节点的连通网络，有(n －1)个线性无关的独立KCL 方程，(b －n ＋1)个线性无关的独立KVL 方程。

2.根据元件约束(元件的VCR)和网络的拓扑约束(KCL ，KVL)， 支路分析法可分为支路电流法和支路电压法。所需列写的方程数为b 个。用b 个支路电流(电压)作为电路变量，列出 (n －1)个节点的KCL 方程和(b －n ＋1)个回路的KVL 方程，然后代入元件的VCR 。求解这b 个

方程。最后，求解其它响应。支路分析法的优点是直观，物理意义明确。缺点是方程数目多，计算量大。

3.网孔分析法适用于平面电路，以网孔电流为电路变量。需列写(b－n＋1)个网孔的KVL 方程(网孔方程)。

(l)一般网络

选定网孔电流方向，网孔方程列写的规则如下：

本网孔电流×自电阻＋Σ相邻网孔电流×互电阻＝本网孔沿网孔电流方向电压源电压升的代数和。若网孔电流均选为顺时针或均选为逆时针，自电阻恒为正，互电阻恒为负。求解网孔方程得到网孔电流，用KVL检验计算结果。最后求解其它响应。

(2)含电流源的网络

有伴电流源转换为有伴电压源，再列写网孔方程。

无伴电流源如果为某一个网孔所独有，则与其相关的网孔电流为已知。等于该电流源或其负值，该网孔的正规的网孔方程可以省去。

无伴电流源如果为两个网孔所共有，则需多假设一个变量：电流源两端的电压。在列写与电流源相关的网孔方程时，必须考虑电流源两端的电压。再增列一个辅助方程，将无伴电流源的电流用网孔电流表示出来。

(3) 含受控电源的网络

受控源和独立源同样对待，控制量需增列辅助方程。

4.节点分析法适用于任意电路，以节点电压为电路变量。需列写n－1个节点的KCL方程(节点方程)。

(l)一般网络

选定参考节点，节点方程列写规则如下：

本节点电压×自电导＋Σ相邻节点电压×互电导＝流入本节点电流源的代数和。自电导恒为正，互电导恒为负；并注意，与电流源串联的电导不记入自电导或互电导。求解节点方程得到节点电压，用KCL检验计算结果。最后求解其它响应。

(2)含电压源的网络

有伴电压源转换为有伴电流源，再列写节点方程。

选择无伴电压源的一端为参考节点，则另一端节点电压为已知。等于该电压源或其负值，该节点的正规的节点方程可以省去。否则，则需多假设一个变量：流经电压源的电流。在列写与电压源相关的节点方程时，必须考虑流经电压源的电流。再增列一个辅助方程，将无伴电压源的电压用节点电压表示出来。

(3) 含受控电源的网络

受控源和独立源同样对待，控制量需增列辅助方程。

5.网络图论基本概念

网孔电流和节点电压都是求解任意线性网络的独立、完备的电路变量。运用网络图论的基本概念，还可以找到其它的独立、完备的电路变量。

(l) 基本概念：将网络中的每一条支路抽象为一根线段，这样，可以得到一个与原网络结构相同的几何图形，该图形称为原网络的线图，简称图。图G由边(支路)和点(节点)组成。如果网络中的每一条支路的电压和电流取关联参考方向，则可在对应的图的边上用箭头表示出该参考方向。这样就得到了有向图。任意两节点之间至少存在一条由支路构成的路径的图称为连通图。由图G的部分支路和节点组成的图称为图G的子图。

(2)树：若连通图G的一个子图满足：①是连通的；②包含图G的全部节点；③无回路，则该子图称为图G的一个树。图的一个树选定后，构成树的支路称为树支，其余的支路称为连支。全部树支组成的集合称为树，而全部连支组成的集合称为余树或补树。对于具有n 个节点、b条支路的连通图，线图可能有多种不同的树，但任一个树的树支数是相同的，为n－1。任一个补树的连支数为b－n＋1。

(3)割集：连通图中的支路集合满足：①若移去该集合中的所有支路，连通图将被分为两个独立的部分；②若少移去集合中的任意一条支路线图仍然是连通的。

(4)只包含一条树支的割集称为基本割集，或单树支割集。显然，基本割集的数目为n－1。树支的方向是基本割集的方向。

只包含一条连支的回路称为基本回路，或称单连支回路。显然，基本回路的数目为b－n＋1。连支的方向是基本回路的方向。

6.回路分析法

(l)b－n＋1个连支电流是线性网络独立、完备的电流变量。回路分析法是以连支电流为电路变量。列写基本回路KVL方程，先求解连支电流进而求得电路响应的网络分析方法。回路分析法是网孔分析法的推广，网孔分析法是回路分析法的特例。

(2)分析步骤

①画出电路的有向线图，选定树。为了减少变量个数，尽量把电流源支路、响应支路和受控源控制量支路选为连支。

②以连支电流为变量列写基本回路KVL方程。规则如下：

本回路电流×自电阻＋Σ相邻回路电流×互电阻＝本回路沿连支电流方向电压源电压升的代数和。自电阻恒为正，互电阻可正可负。当通过互电阻的两回路电流方向相同时取正，相反时取负。求解回路电流，用K C L检验计算结果。最后求解其它响应。

7.割集分析法

(l)n－1个树支电压是线性网络独立、完备的电压变量。割集分析法是以树支电压为电路变量。列写基本割集KCL方程，先求解树支电压进而求得电路响应的网络分析方法。割集分析法是节点分析法的推广，节点分析法是割集分析法的特例。

(2)分析步骤

①画出电路的有向线图，选定树。为了减少变量个数，尽量把电压源支路、响应支路和受控源控制量支路选为树支。

②以树支电压为变量列写基本回路KCL方程。规则如下：

本割集树支电压×自电导＋Σ相邻割集树支电压×互电导＝与本割集方向相反的所含电流源的代数和。自电导恒为正，互电导可正可负。当本割集和相邻割集公共支路上切割方向一致时取正，相反时取负；并注意，与电流源串联的电导不记入自电导或互电导。求解割集电压，用K V L检验计算结果。最后求解其它响应。

8.电路的对偶特性

电路中许多变量、元件结构和定律都成对出现，且存在明显的一一对应关系，这种关系称为电路的对偶关系。对偶表达式数学意义相同。物理意义不同。显然，对偶和等效是完全不同的概念。

9.对偶电路

互为对偶的电路相互之间元件对偶，结构也对偶。

平面电路才有对偶电路。

对偶电路的画法常用打点法。

第四章小结：

1.叠加定理：在线性电路中，任一支路电压或电流都是电路中各独立电源单独作用时在该支路上电压或电流的代数和。

应用叠加定理应注意：

(l)叠加定理只适用于线性电路，非线性电路一般不适应。

(2)某独立电源单独作用时，其余独立源置零。置零电压源是短路，置零电流源是开路。电源的内阻以及电路其他部分结构参数应保持不变。

(3)叠加定理只适应于任一支路电压或电流。任一支路的功率或能量是电压或电流的二次函数，不能直接用叠加定理来计算。

(4)受控源为非独立电源，应保留不变。

(5)响应叠加是代数和，应注意响应的参考方向。

2.替代定理：在具有唯一解的集总参数电路中，若已知某支路k 的电压u k 或电流i k ,且支路k 与其它支路无耦合，那么，该支路可以用一个电压为u k 的电压源，或用一个电流为i k 的电流源替代。所得电路仍具有唯一解，替代前后电路中各支路的电压和电流保持不变。

应用替代定理应注意：

(l)替代定理适应于任意集总参数电路，但替代前后必须保证电路具有唯一解的条件。

(2)所替代支路与其它支路无耦合。

(3)“替代”与“等效变换”是两个不同的概念。

(4)若支路k 是电源，也可以用电阻R k =u k /i k 来替代。

3.等效电源定理

(l)戴维南定理：任一线性有源二端网络N ，就其两个输出端而言，总可以用一个独立电压源和一个电阻的串联电路来等效，其中，独立电压源的电压等于该二端网络N 输出端的开路电压u OC ，串联电阻R o 等于将该二端网络N 内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。

(2)诺顿定理：任一线性有源二端网络N ，就其两个输出端而言，总可以用一个独立电流源和一个电阻的并联电路来等效，其中，独立电流源的电流等于该二端网络N 输出端的短路电流i SC ，并联电阻R o 等于将该二端网络N 内所有独立源置零时从输出端看入的等效电阻。 应用戴维南定理和诺顿定理应注意：

①只要求有源二端网络N 是线性的，而对该网络所接外电路没有限制，但有源二端网络N 与外电路不能有耦合关系。②戴维南定理和诺顿定理互为对偶。当

0o ≠R 且∞≠o R 时，

有源二端网络N 既有戴维南等效电路也有诺顿等效电路，有 SC OC o o OC SC SC

o OC i u R R u i i R u ===

(3)最大功率传输 有源二端网络N 与一个可变负载电阻R L 相接，当R L ＝R o 时负载获得最大功率，称负载与有源二端网络N 匹配，最大功率为

o 2OC Lmax 4R u P =

4.特勒根定理

(l)特勒根第一定理：对于n 个节点，b 条支路的集总参数网络，设支路电压为u k ，支路电流为i k ， b k ,,2,1Λ=，各支路电压和电流取关联参考方向，在任一时刻t ，有

∑==b k k k i

u 10

特勒根第一定理反映电路功率守恒，又称功率守恒定理。

(2)特勒根第二定理：两个具有相同有向线图的n 个节点，b 条支路的集总参数网络N 和N ’，设支路电压分别为k u 和k 'u ，支路电流分别为k i 和k 'i ，b k ,,2,1Λ=，各支路电压和电流取关联参考方向，在任一时刻t ，有

∑==b k k k i u 10'

和 ∑==b k k k

i u 10'

特勒根第二定理虽然具有功率的量纲，但并不表示支路的功率，因此特勒根第二定理又称似功率守恒定理。

应用特勒根定理应注意：

①证明特勒根定理成立只用到了KCL 和KVL ，所以适应于任意集总参数电路。

②定理在实际应用中，注意各支路电压和电流取关联参考方向。

5.互易定理：一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，在单一激励的情况下，激励与响应互换位置，其比值保持不变。

互易定理有三种形式

①一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电压源与另一端口响应电流互换位置，其响应电流不变。

②一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电流源与另一端口响应电压互换位置，其响应电压不变。

③一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，一端口电压源与另一端口响应电压，若互换成数值相同的电流源与响应电流，其响应电流在数值上与原响应电压相等。

应用互易定理应注意：

①只能用于一个仅有线性电阻组成的无独立源无受控源二端口网络，单一激励的情况。 ②特勒根定理可以证明互易定理成立，对于互易定理的前两种形式，互易前后激励响应参考方向一致(都相同或都相反)；互易定理的第三种形式则不然，参考方向一边相同另一边相反。

第五章小结：

可以用一阶微分方程来描述的电路称为一阶电路。

1.电容元件

一个在任一时刻t ，所积聚电荷q (t )与端电压u (t )可以用q -u 平面上的一条曲线来描述的二端元件称为电容。

线性非时变电容元件：)()(t Cu t q =

电压、电流取关联参考方向时：

微分形式VCR ： t t u C

t i d )(d )(=

上式表明电容是一种双向、动态、惯性元件，一般情况下电容电压不能跳变。

积分形式VCR ： 00-0d )(1)(d )(1)(t t i C t u i C t u t t t ≥+==??∞ξξξξ

上式表明电容是一种有记忆元件，实际运算中必须已知)(0t u (初始值)，电容是一种储能元件。储存电场能为)(21)(2C t Cu t w =。

2.电感元件一个在任一时刻t ，所交链的磁链)(t ?与电流i (t )可以用i -?平面上的一条曲线来描述的二端元件称为电感。

线性非时变电感元件：)()(t Li t =?

电压、电流取关联参考方向时：

微分形式VCR ： t t i L

t u d )(d )(=

上式表明电感是一种双向、动态、惯性元件，一般情况下电感电流不能跳变。

积分形式VCR ： 00-0d )(1)(d )(1)(t t u L t i i L t i t t t ≥+==??∞ξξξξ

上式表明电感是一种有记忆元件，实际运算中必须已知)(0t i (初始值)，电感是一种储能元件。储存磁场能为)(21)(2L t Li t w =。

3.换路和换路定则换路：电路的结构或元件参数突然改变称为换路。若设00=t 时刻换

路，则换路前一瞬间记为-=0t ，换路后一瞬间记为+=0t 。换路定则：若换路瞬间电容电

流为有限值，即换路不形成C u -S 或C C -构成的全电容回路，则有

)0()0(C C +-=u u ，或

)0()0(C C +-=q q ；对偶地，若换路瞬间电感电压为有限值，即换路后不形成L i -S 或L L -构成的全电感割集，则有 )0()0(L L +-=i i ，或)0()0(L L

+-=??。4.初始值计算 初始值：电路变量在+=0t 时刻的值。初始值计算步骤：(1)求换路前的初始状态

)0(C -u 或

)0(L -i 。若换路前为直流激励且开关动作已经很久，可将C 看成开路，L 看成短路。得到-=0t 时刻的等效图，这是一个-=0t 时刻特殊的电阻电路，简称-0图。求解电容两端的

电压)0(C -u ，流过电感的电流

)0(L -i 。 (2)在不形成全电容回路，不形成全电感割集的情况下，换路定则成立，即

)0()0(C C +-=u u 或)0()0(L L +-=i i 。

(3)作+=0t 时刻的等效图，根据替代定理，电容用电压为

)0(C +u 的电压源替代；电感用电流为)0(L +i 的电流源替代，从而得到时刻+=0t 时的另一个特殊的电阻电路，简称+0图。

计算需求电压或电流的值即为初始值。

5.一阶电路的零输入响应

激励为零，仅由动态元件初始储能引起的响应称为零输入响应。

一阶电路的零输入响应的一般公式：

0e )0()(zi zi >=-+t r t r t

τ

式中，)(zi t r 为一阶电路任意需求的零输入响应。

)0(zi +r 为仅由动态元件初始储能引起的响应的初始值。τ为时间常数；含电容的一阶电路RC =τ，含电感的一阶电路

R L GL ==τ。

上述R 为动态元件两端看进去的等效电阻。 若此时将动态元件初始储能看成是内电源，显然动态元件初始储能即内电源与零输入响应成正比关系，通常称为零输入线性。

6.一阶电路的零状态响应

动态元件初始状态为零，即0)0(C =-u 或

0)0(L =-i ，仅由激励引起的响应称为零状

态响应。对于电容电压和电感电流的零状态响应可表示为：

0)

e 1)(()(C Czs ≥-∞=-t u t u t τ 0)

e 1)(()(L Lzs ≥-∞=-t i t i t τ 式中，，)(Czs t u )(Lzs t i 分别为电容电压和电感电流的零状态响应。)(C ∞u ,)(L ∞i 分别为电容电压和电感电流的稳态值，τ为时间常数。

激励与零状态响应之间存在线性关系，通常称为零状态线性。

7.一阶电路的全响应

全响应：由动态元件初始储能和外界激励共同引起的响应。

全响应＝零输入响应＋零状态响应

＝固有响应(自然响应)＋强制响应

＝瞬态响应(暂态响应)＋稳态响应

8.一阶电路的三要素法

三要素：响应的初始值)0(+

r ；响应的稳态值)(∞r 和时间常数τ。

一阶电路的三要素式公式： 0e )]()0([)()(>∞-+∞=-+t r r r t r t

τ

式中，响应的初始值

)0(+r 求法见4.；时间常数τ的求法见5.；响应的稳态值)(∞r 求法：对于换路后的电路，电容用开路替代，电感用短路替代，从而得到∞=t 时刻的等效图，又是另一个特殊的电阻电路，简称终了图。计算需求电压或电流的稳态值。

一阶电路的三要素式公式不仅可以计算全响应，也可以计算零输入响应和零状态响应。

当然，一阶电路的零状态响应的也有一般公式：

0e )]()0([)()(zs zs >∞-+∞=-+t r r r t r t

τ

式中，)(zs t r 一阶电路任意需求的零状态响应。

)0(zs +r 为仅由外激励引起响应的初始值。理解是方便的：

)0()0()0(zs zi ++++=r r r 。+0时刻初始值由内激励(初始储能)和外激励共同作用的结果，是满足叠加定理的。

9.一阶电路的特殊情况

(1) 动态元件两端看进去的等效电阻R ＝0或R ＝∞时，可以应用极限的办法来求取。

(2) 换路后形成全电容回路或全电感割集，换路定则失效。解决的方法：

全电容回路依据电荷守恒，即

)0()0(C C +-=q q ； 全电感割集依据磁链守恒，即

)0()0(L L +-=??。 最后可以归结为动态元件的等效电路的方法。

(3)换路后形成全电容割集或全电感回路，换路定则仍然成立，但稳态值的求解仍可应用动态元件的等效电路的方法。

必须指出，即使是一阶电路的特殊情况，一阶电路的三要素式公式仍然成立。

10.阶跃函数和阶跃响应

单位阶跃函数又称切函数。定义为

???><=0100)(t t t ε

一阶电路的单位阶跃响应：在单位阶跃信号激励下的零状态响应，记为)(t s 。)(t s 的计算同样应用三要素式公式即可。阶跃响应表征了一阶电路的特性，应用它可以方便地计算任意波形信号激励下的零状态响应。

11.脉冲序列作用下的一阶电路

这里主要讨论脉冲持续时间T 与脉冲间隔时间T 相同的方波序列，一阶电路为RC 电路。

(1) 当τ4≥T 时，由三要素式公式，得

?????≤≤≤≤-=--T t T U T t U t u T t 2e 0)e 1()()(S t -S C ττ ， ?????<<-<<=--T t T U T t U t u T t 2e 0e )()(S t -S R ττ

特别地，当τ非常小(如τ4>>T )时，t t u RC t u d )

(d )(R ≈。电阻上的响应电压近似等

于激励电压的微分，常称时间常数非常小的RC 电路为微分电路。

(2) 当τ4

?????≤≤≤≤-+=--T t T U T t U U U t u T t 2e 0e )()()(A t -S B S Cp ττ

取T t =和T t 2=，可以求得A U 和B U ，且A S B

U U U -=。

特别地，当τ非常大(如T >>τ)时，?≈t

u RC t u 0S C d )(1)(ξξ。电容上的响应电压近似

等于激励电压的积分，常称时间常数非常大的RC 电路为积分电路。

12.指数函数与正弦函数激励下的一阶电路

任意信号作用下一阶电路的全响应公式： 0)]e (0)0([)()(p p >-+=-++t r r t r t r t

τ

类似地，三个要素可以确定任意信号作用下一阶电路的全响应：特解)(p t r 、初始值)0(+r 和时间常数τ。

第六章小结：

可以用二阶微分方程来描述的电路称为二阶电路。

串联电路的零输入响应

RLC 串联电路的二阶微分方程为

S C C 2C 2)(d )(d d )(d U t u t t u RC t t u LC =++

零输入响应是当激励U S ＝0时的情况。由齐次微分方程及特征方程，可得特征根为

LC L R L R S 1222

1,2-??? ??±-= (1) 当C L R 2

>时，特征根为两个不相同的负实数，属于过阻尼情况。

(2) 当C L

R 2=时，特征根为两个相同的负实数，属于临界阻尼情况。

(3)当

C L

R 2<时，特征根为两个具有负实部的共轭复数，属于欠阻尼情况。响应是衰减振荡波形。特殊地，R ＝0时，特征根的实部为零，响应是等幅振荡。

与分析零输入响应类似，RLC 串联电路的零状态响应和全响应同样可分为三种情况。 根据对偶原理可得到GCL 并联电路的相应的结果。

特别要说明的是，同类动态元件组成的二阶电路不可能出现特征根为共轭复根的情况， 即衰减振荡的过程。

第七章小结：

1.正弦量

(1) 正弦量的时域表示 )cos(2)cos()(m φωφω+=+=t F t F t f

式中，m F ：振幅,F ：有效值,且F F 2m =

； ω：角频率，单位rad/s ，ωπ2=f 为频率，f T 1=为周期；

φ ：初相，要求πφ≤；(φω+t ):相位。

m F (或F )， ω(或f 或T )和φ称为正弦量的三要素。

(2) 正弦量的相位差

两个同频正弦量分别为)cos()(1m 11φω+=t F t f 和)cos()(2m 22φω+=t F t f ，它们之

间的相位差为212112)()(φφφωφωθ-=+-+=t t ，要求πθ≤12。若012>θ，称)(1t f 超

前)(2t f ；若012<θ，称)(1t f 滞后)(2t f ；若012=θ，称)(1t f 和)(2t f 同相；若

212πθ±=，

称)(1t f 和)(2t f 正交；若πθ±=12，称)(1t f 和)(2t f 反相。

2.正弦量的相量表示

相量法的基础是用相量(复常数)表示正弦量的振幅值(或有效值)和初相。 φφω∠=?+=m m m )cos()(F F t F t f & 振幅相量

或 φφω∠=?+=F F t F t f &)cos(2)( 有效值相量

3.元件VCR 的相量表示(电压、电流取关联参考方向)

时域表示 相量表示

电阻元件 )()(t i R t u = I R U &&=

电感元件 t t i L

t u d )(d )(= I L U &&ωj =

电容元件

t t u C t i d )(d )(= U C I &&ωj = 或 I C U &&ωj 1= 从元件VCR 的相量形式可以清楚地看出：在正弦稳态电路中，电阻上的电压和电流同

相；电感上的电压超前电流90；电容上的滞后电流90。定义感抗L X ω=L ，容抗C X ω1

C =。 由此得到欧姆定律的相量形式：m m I U I U Z &&&&==，Z 为阻抗；m m U I U I Y &&&&==，Y 为导纳。 其中，

)(i u Z φφθ-∠=∠=I U Z Z ，)(u i Y φφθ-∠=∠=U I Y Y 。 4.基尔霍夫定理的相量表示

时域表示 相量表示

KCL

0=∑i 0=∑I & 或 0m =∑I & KVL 0=∑u 0=∑U & 或 0m =∑U &

5.相量分析法

在分析正弦稳态电路时，由于响应的ω不变，所以正弦量和它的相量之间存在一一对应关系。我们做了如下准备：(1)正弦电压和电流用相量表示；(2)元件VCR 用相量表示；(3)基尔霍夫定理用相量表示。可见，相量分析法则是电阻电路分析的推广。从数学意义上说，从一维空间(电阻电路)的计算推广到了二维空间(正弦稳态电路)的计算。

相量分析法的步骤：

(1) 作出与时域电路相对应的相量模型；

(2) 用分析电阻电路的各种定理、公式和方法乃至技巧推广运用到正弦稳态电路中；

(3) 将求得的响应变换成相应时域正弦函数的形式。

6.正弦稳态电路的功率

若二端网络端口电压

u φ∠=U U &、电流i φ∠=I I &为关联参考方向，则此二端网络的 平均功率(有功功率) )cos(i u φφ-=UI P (单位:W)

无功功率 )sin(i u φφ-=UI Q (单位:Var)

功率因数

)cos(i u φφ-=pf (当i u φφ>，感性时标明“滞后”，反之标“超前”) 视在功率 UI S = (单位:VA)

复功率

)(~i u 22φφ-∠=+====**S Q P U Y ZI I U S & (单位:VA)

最后指出，正弦稳态电路复功率守恒，依此，可得正弦稳态电路有功功率守恒，无功功率守恒，但视在功率不守恒。

7.最大功率传输

有源二端网络N 与一个可变负载阻抗Z L 相接，当o L *

=Z Z 时负载获得最大功率，称负载与有源二端网络N 共轭匹配，负载获得最大功率为

o 2OC Lmax 4R U P = 若负载阻抗Z L 的阻抗角不能改变，也就是仅阻抗的模L Z 可变，此时，当o L Z Z =时，负载获得最大功率，称为模匹配。当然上述最大功率的公式不再成立。

8.三相电路

(1)三相电路是指有三相电源、三相线路和三相负载组成的电路的总称。对称三相电路是三相电源的电压的振幅、频率相等，相位彼此相差120，三相线路和三相负载完全相同的情况。

(2)对称三相电路中的三相电源和三相负载有星形和三角形两种连接方式。

设对称三相电源是星形连接的，为

?∠=0p U U A & ，?-∠=120p U U B & ，?∠=120p U U C &

为了方便，有时也可以把它看成是三角形连接的，它们之间的关系为

?∠=-=303p U U U U B A AB &&&，

?-∠=-=903p U U U U C B BC &&& ?∠=-=1503p

U U U U A C CA &&& 当对称三相电路中三相负载是星形连接时：

p I I l = 负载端线电流与相电流相同

p

3U U l = 负载端线电压与相电压相差3倍，且线电压超前相电压30 当对称三相电路中三相负载是三角形连接时：

p U U l = 负载端线电压与相电压相同

p

3I I l = 负载端线电流与相电流相差3倍，且线电流滞后相电流30 对称三相电路三相负载的平均功率：

Z Z p p cos 3cos 3θθl l I U I U P ==

(3)不对称三相电路

通常，不对称三相电路主要是三相负载是不对称的，而三相电源和三相线路一般是对称的。不对称三相电路没有上述特点，不能采用单相电路来进行计算。一般情况下，不对称三相电路可以看成复杂正弦稳态电路，可用一般复杂正弦稳态电路的方法来分析计算。在Y-Y 连接的不对称三相四线制电路中，由于负载不对称，各相相电流并不对称，其中线电流不再为零。这是规定中线上不准安装开关或保险丝的原因。

三相四线制电路常采用三个功率表分别测定三相功率。三相三线制电路可只用两个功率表测量三相功率。

9.非正弦周期电路的稳态分析

(1)由傅里叶级数理论，一般的周期信号能够展开成无限多个正弦信号之和。应用叠加定理，非正弦周期信号)(t f 激励下的稳态响应等于其直流分量和各此谐波分量作用的叠加。

(2)非正弦周期电压或电流的有效值等于其直流分量和各次谐波分量有效值的平方之和的平方根。

(3)非正弦周期电路的平均功率等于其直流分量和各次谐波分量各自平均功率之和。

第八章小结：

1.耦合电感的VCR

耦合电感是具有磁耦合的多个线圈的电路模型，以两个线圈为例，由L 1、L 2和M 三个参数来表征理想化耦合电感。设两线圈电压、电流分别取关联参考方向，则有

???????+±=±=t t i L t t i M t u t t i M t t i L t u d )

(d d )(d )(d )(d d )(d )(22112111

其相量形式为

?????+±=±=22122111j j j j I L I M U I M I L U &&&&&&ωωωω

上面两式中，线圈电压、电流取关联参考方向，则自感电压取正，当两个线圈电流产生的磁通相互增强时互感电压取正，否则取负。

2.耦合电感的同名端

同名端：最简单的理解是两线圈绕法相同的一对端子称为同名端，或所起作用相同的

一对端子称为同名端。进一步的理解为，若两电流分别流入这对端子，使线圈中的磁通相互增强的一对端子，或线圈产生互感电压与自感电压方向相同的一对端子称为同名端。

3.耦合电感的连接及去耦等效

(1) 耦合电感的串联

应用耦合电感的VCR ，其等效电感为

M L L L 221eq ±+=

式中，顺串时取正，反串时取负。

(2) 耦合电感的并联

应用耦合电感的VCR ，其等效电感为

M L L M L L L 2212

21eq μ+-+=

式中，同侧并联(顺并)时取负，异侧并联(反并)时取正。

(3) 耦合电感的三端连接

三端连接的耦合电感可等效为三个无耦合的电感构成的T 型电路，设耦合电感同名端连接在一起时，等效为：与此端连接的电感为M ，其余两个电感分别为L 1－M 和L 2－M 。否则，改变上述三个电感M 前的符号。

3.空芯变压器电路

变压器是利用耦合线圈间的磁耦合来实现传递能量或信号的器件。

一般地，变压器线圈绕在铁芯上，耦合系数接近1，习惯称为铁芯变压器；变压器线圈绕在非铁磁材料的芯子上，线圈的耦合系数比较小，习惯称为空芯变压器。

空芯变压器电路分析依据是耦合电感的VCR 。分析方法除了上述耦合电感的三端连接去耦等效方法外，还有

(1)列方程法

含空芯变压器电路最终等效为与电源相接的初级回路和与负载相接的次级回路。列两个回路方程，即可得到结果。这是最基本的分析方法。

(2)反映阻抗法

当初次级之间再无其它耦合(如受控源)时，以列方程法为基础，归结为：第一步：求电源端的输入阻抗，为

f111222

11i )(Z Z Z M Z Z +=+=ω

式中，11Z 为初级回路的阻抗，22Z 为次级回路的阻抗，f1Z 为次级回路对初级回路的反映阻抗或引入阻抗；第二步：初级回路的电流为

i S

1Z U I &&=；第三步：根据空芯变压器电路的受控源等效电路，次级回路的受控电压源电压为1j I M &ω±，根据同名端判定取正还是取负。次级回路电流为

2212j Z I M I &&ω±=；第四步：求需求支路的电压或电流。 (3)戴维南定理法

其实质仍然是以列方程法为基础，首先求取负载端的戴维南等效电路：

11S 0OC j j Z U M I M U &&&ωω±=±= 式中，0I &次级开路时初级回路的电流，11Z 为初级回路的阻抗，根据空芯变压器电路的受控源等效电路的同名端判定取正还是取负。

f222112

22o ')('Z Z Z M Z Z +=+=ω

式中，'22Z 为去掉负载后的次级回路的阻抗，11Z 为初级回路的阻抗，f2Z 为初级回路对次级回路的反映阻抗或引入阻抗。

当求负载获最大功率的情况，应用戴维南电路是方便的。

4.含理想变压器电路

(1) 理想变压器的VCR

当耦合电感满足：①线圈无损耗；②耦合系数k ＝1；③L 1、L 2和M 均为无限大，且保持 21

21N N n L L ==(匝比)的条件。此元件模型称为理想变压器。理想变压器只有一个参数：匝比n 。由于同名端的不同，理想变压器有两个VCR 。但可以统一：若假设理想变压器两线圈标同名端处均取为电压正极，且匝比标有n 侧的初级电压为nu 2，匝比标有1侧的次级电压为u 2；流入同名端初级电流为i 1；流出同名端次级电流为ni 1。

由于理想变压器的VCR 是代数关系，因而它是不储能、不耗能的即时元件，是一种无记忆元件。

(2) 含理想变压器的全耦合变压器的VCR

当一个实际变压器满足前两个条件为全耦合变压器。等效电路也很简单：即在理想变

压器电路初级并接初级电感，或次级并接次级电感。全耦合变压器有两个参数：n 和L 1；或n 和L 2。

(3) 含理想变压器电路分析方法

①依据是理想变压器的VCR ，利用变压、变流和变阻抗是理想变压器的三个重要特性。 阻抗、电压源和电流源可以在理想变压器的初、次级之间来回搬移，使之简化为无理想变压器的电路来计算。

②列方程法

这是求解含理想变压器电路的一般分析方法。

③戴维南定理法

同样，当求负载获最大功率的情况，应用戴维南电路是方便的。

第九章小结：

1.电路的频率特性与网络函数

当电路含有动态元件时由于容抗和感抗都是频率的函数，不同频率的正弦信号作用于电路时，即使激励的振幅和初相不变，响应的振幅和初相也将随着频率的改变而改变。电路响应随激励频率变化而变化的特性称为电路的频率特性。

在电路分析中，电路的频率特性用正弦稳态电路的网络函数来描述，定义为

激励相量响应相量

=)j (ωH

网络函数)j (ωH 一般是ω的复函数，可写成模和幅角的形式

)()j (e )j ()j ()(j ωθωωωωθ∠==H H H 式中，)j (ωH 是ω的实函数，表征了电路响应与激励的幅值之比(即振幅比或有效值比)随角频率ω变化的特性，称为电路的幅频特性；)(ωθ表征电路响应与激励的相位差(相移)随角频率ω变化的特性，称为电路的相频特性。幅频特性和相频特性总称电路的频率特性。

网络函数有六种具体的表现形式。

电路的频率特性

用RC 元件按照各种方式组成的电路能起到不同的选频或滤波的作用。有RC 低通、高通、带通、带阻和全通网络。

串联谐振和GCL 并联谐振

电路中总电压与总电流同相，电路呈现电阻性，称为谐振。RLC 串联谐振和GCL 并联谐