最新管理运筹学复习要点
管理运筹学复习
(1)某工厂在计划期内要安排I , n 两种产品的生产.生产单位产品所需的设备台时及 A ,B
两种原材料的消耗以及资源的限制如下表所示
工厂每生产一单位产品I 可获利 50元，每生产一单位产品n 可获利
100元，问工厂应分别
生产多少单位产品I 和产品n 才能使获利最多？ 解：
max z=50X 什100X 2 ; 满足约束条件： X i +X 2< 300
2X i +X 2
W 400 X 2W 250
X i > 0,X 》0。
(2):某锅炉制造厂，要制造一种新型锅炉
10台，需要原材料为/ 63.5 X 4mm 勺锅炉钢管,
库存的原材料的长度只有 5500mm-种规格，问如何下料，才能使总的用料根数最少？需要 多少根原材料？ 解：为了用最少的原材料得到 10台锅炉，需要混合使用 14种下料方案
1 2345 6 7891011121314,
可列出下面的数学模型：
min f = X 1+X 2+X 3+X 4+X 5+X 6+X 7+X 8+X 9+X 10+X 11+X 12+X 13+X 14
满足约束条件： 2X 1 + X 2 + X 3+ X 4 > 80 X 2+ 3X 5+ 2X 6+ 2X 7+ X 8+ X 9+ X 10 呂20 X 3+ X 6+ 2X 8+ X 9+ 3X 11 + X 12+ X 13 >350 X 4+ X 7+ X 9 + 2X 10 + X 12+ 2X 13 + 3X 14 > 10
X1 , X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8 , X9 , X10 , X11 , X12, X13 , X14 > 0
(3)某公司从两个产地A i、A2将物品运往三个销地B i、B2、B3,各产地的产量、各销地
的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：
应如何调运，使得总运输费最小？
解：此运输问题的线性规划的模型如下
min f =6X 11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23
约束条件：X11+X12+X13=200
X21 +X22 +X23=300
X11+X21 =150
X12+X22 = 150
X13+X23 =200
(4)某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运费如下表所示：
ij
应如何组织运输，使得总运输费为最小?
解：这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地B4,得到产销平衡如下表:
(5)某公司从两个产地 A1、A2将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地的每件物品的运输单价如下表所示：
解：这是一个销大于产的运输问题，建立一个假想销地A3，得到产销平衡如下表:
(6)某公司在三个地方有三个分厂，生产同一种产品，其产量分别为300箱、
400箱、500箱。需要供应四个地方的销售，这四地的产品需求分别为400箱、250箱、350箱、200箱。三个分厂到四个销地的单位运价如下表所示：
①应如何安排运输方案，使得总运费为最小？
②如果2分厂的产量从400箱提高到了 600箱，那么应如何安排运输方案，使得总运
费为最小？
③如果销地甲的需求从400箱提高到550箱，而其他情况都同①，那该如何安排运输方案，
使得运费为最小？
解：①此运输问题的线性规划的模型如下
minf=21X ii+17X 12+23X 13+25X 14+IOX21+I5X 22+30X23 + 19 X 24+23X 31+2IX 32+20X 33 +22X 34 约束条件：X11+X 12+X 13 +X 14=300
X21 +X22 +X23 +X24=400
X31 +X32 +X33+X 34 =500
X11+X21+X31 =400
X12+X22 +X32=250
X13+X23+X33=350
X14+X24 +X34=200
X> 0(i=1,23；j=1,2,3,4)
②解：这是一个产大于销的运输问题，建立一个假想销地戊，得到产销平衡如下表:
③
（7）整数规划的图解法
某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表所示：
甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大?
解：设X i,X2分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学模型如下所示:
max z=2X 1 +3X2
约束条件：195X 什273X 2 < 1365，
4X i +40X 2 < 140，
X i w 4，
X1, X2> 0，
X1, X2为整数。
（8）指派问题
有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表
解：弓I入0— 1变量X ij，并令
1 .，当指派第i人去完成第j项工作时；
X ij =
-0,当不指派第i人去完成第j项工作时；
此整数规划的数学模型为：
min z=15X11+18X 12+21X13+24X14+19X21+23X22+22X23+
18 X 24+26X 31+17X32 + 16X 33 + 19X 34 +19X41 +21X42+23X43 + 17X44
约束条件：X11+X12+X13 +X14 = 1 （甲只能干一项工作）
X21 +X22+X23+X24 = 1 （乙只能干一项工作）
X31 +X32+X33+X34 = 1 （丙只能干一项工作）
X41 +X 42 +X43 +X 44 = 1 （丁只能干一项工作）
X11+X21+X31 +X41=1 （A工作只能一个人干）
X12+X22+X32+X42 = 1 （ B工作只能一个人干）
X13+X23+X33+X43 = 1 （ C工作只能一个人干）
X14+X24+X34+X44 = 1 （ D工作只能一个人干）
X ij 为 0— 1 变量，（i=1,2,3，4;j=1,2,3,4）
（9）有优先权的目标规划的图解法
一位投资商有一笔资金准备购买股票， 资金总额为90000元，目前可选的股票有
A 、
B 两种（可以同时投资于两种股票），其价格以及年收益率和风险系数 如下表所示：
股票 价格/元 年收益/ （兀/年） 风险系数 A 20 3 0.5 B 50 4 0.2
从表可知： 股票A 的收益率为（3/20 ）X 100%=15%殳票B 的收益率为（4/50 ）X 100%=8%,
A 的收益率比
B 大，但同时A 的风险也比B 大，这符合高风险高收益的规律。
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于 700,且投资收益不低于10000元 解：设X i 、X 2分别表示投资商所购买的股票
1.针对优先权最高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下：
min d 1 +
约束条件：20X 1+50X 2三90000
+ -
0.5X 什0.2X 2-d 1 +d 1 =700
+ -
3X 1+4X 2-d 2 +d 2 =10000
X 1 , X 2 , d 1+
, d 2-
三 0
2.针对优先权次高的目标建立线性规划 建立线性规划模型如下：
min d 2
约束条件：
20X 1+50X 2三90000
+ -
0.5X 1+0.2X 2-d 1 +d 1 =700
+ -
3X 1 +4X 2-d 2 +d 2 =10000 d 1+
=0
X 1 ， X 2 ， d 1+
， d 1-， d 2+
， d 2-
= 0
对于两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解， 为方便，把他们用一个 模型来表达：
+ -
min P 1（d 1 ）+P 2（d 2）
约束条件： 20X 1+50X 2 三 90000 ，
+ -
0.5X 1+0.2X 2-d 1 +d 1 =700，
+ -
3X 1+4X 2-d 2 +d 2 =10000，
X 1 ， X 2 ， d 1+
， d 1-，
d 2+
，
d 2-
= 0。 I
(10)某工厂试对产品A 、B 进行生产，市场需求并不是很稳定，因此对每种产
3.目标规划模型的标准化
A 和股票 X 2
B 的数量。
品分别预测了在销售良好和销售较差时的预期利润，这两种产品都经过甲、乙两
台设备加工，已知产品A和B分别在甲和乙设备上的单位加工时间，甲、乙设备的可用加工时间以及预期利润如表所示，要求首先是保证在销售较差时，预期利润不少于5千
i2
+ -
min P i(d i )+P2(d2)
约束条件：
4X 什3X2 三 45，
2X 什5X2 三 30
+ —
5X 什5X2-d i +d i =50，
+ —
8X什6X2-d2 +d2 =i00，
+ —
X i ， X2 ， d i ， d i — 0.i=i,2
(ii)动态规划
石油输送管道铺设最优方案的选择问题：如图所示，其中A为出发点，E为目的地，B、C、D分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的 B i、B2、B3；C i、 C2、C3；D i、D2分别为可供选择的各站站点。图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字为铺设管线所需要的费用，问如何铺设管道才使总费用最小？
第四阶段：D i — E 3; D2 — E 4;
第三阶段：C i— D i — E 5;C2 — D2— E 8;C3— D i — E 8; C3—D2—E 8 ;
第二阶段：B i —C i —D i —E ii; B i —C2—D2 —E ii; B2 —C i —D i —E 8; B3—C i — D i — E 9 ; B3—C2 — D2— E 9;
第一阶段：A— B i—C i — D i — E i4; A—B i—C2— D2 — E i4 ;
A—B2—C i —D i —E i3 ; A—B3—C i —D i —E i3; A —B3—C2—D2—E
i3 ;
最优解：A— B2— C i — D i — E ; A—B3—C i — D i — E ; A— B3—C2—D2 — E 最优值：i3
(12 )最小生成树问题
某大学准备对其所属的 7个学院办公室计算机联网，这个网络的可能联通的途径如图所示，图中V1 ,……，V7表示7个学院办公室，图中的边为可能联网的途径，边上的所赋权数为这条路线的长度，单位为百米。请
设计一个网络能联通 7个学院办公室，并使总的线路长度为最短。
解：①在G中找到一个圈(V i, V7, V e, V i),并知在此圈上边［V i, V e］的权
数10为最大，在G中去掉边［V i, V e］得图G i，如上图所示
②在G i中找到一个圈(V3 , V4, V5 , V7, V3),去掉其中权数最大的边［V4 , V5］,
得图G2，如上图所示
③在G2中找到一个圈(V2, V3, V5, V7, V2),去掉其中权数最大的边
［V5 , V7］，得图G3 ,如上图所示
V6 4 V5LG
[V5 , V6]，得图G4，如上图所示
⑤在G4中找到一个圈（V2, V3, , V2 ）,去掉其中权数最大的边
[V3，V7]，得图G5，如上图所示
⑥在G5中已找不到任何一个圈了，可知 G5即为图G的最小生成树。这个最小生成树
的所有边的总权数为 3+3+3+1+2+7=19
（13）某一个配送中心要给一个快餐店送快餐原料，应按照什么路线送货才能使送货时间最短。下图给出了配送中心到快餐店的交通图，图中V1，……，V7表示7个地名，其中V1表示配送中
心，V7表示快餐店，点之间的联线表示两地之间的道路，边所赋的权数表示开车送原料通过这段
V7 （27,5）
（快餐店）
解：①给起始点V i标号为（0，S）
②l={V i},J={ V2, V3，V4, V5，V6 ,V7}，边的集合{[V i，V j] I V i，V j 两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V1, V2], [ V1, V3]},并有
S12=L1 +C12=0+4=4 S13=L1+C 13=0+18=18
min （S 12,S13）= S12 =4
给边[V1, V2]中的未标号的点V2标以（4, 1）,表示从V1到V2的距离为4,并且在 V1到V2的最短路径上V2的前面的点为V1.
③这时 I={V1 , V2},J={V3, V4, V5, V6 ,V7},边的集合{[V i, V j] I V i, V j 两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V1, V3], [ V2, V3], [ V2, V4]},并有
S23=L2+C23=4+12=16 ; S24=L2+C24=4+16=20 ; min (S 23,S24 , S13)= S 23 =16 给边[V2, V3]中的未标号的点V3标以(16, 2)
④这时I={V1 , V2 , V3},J={V4, V5, V6 ,V7},边的集合{[V i, V j] I V i, V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V2, V4], [ V3, V4], [ V3, V5]},并有
S34=L3+C34 = 16+2=18 ； S35 = L3+C 35=16+6=22 ；S24 = L2+C24=4+16=20
min (S 34,S35,S24)= S34 =18
给边[V3, V4]中的未标号的点V4标以(18, 3)
⑤这时 I={V1 , V2 , V3 , V4},J={V5, V6 ,V7},边的集合{[V i, V j] I V i, V j两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V4, V6], [ V4 , V5], [ V3, V5]},并有
S46=L4+C46=18+7=25 ; S45=L4+C45=18+8=26 ; min (S 46,S45 ,S35)= S35 =24 给边[V3, V5]中的未标号的点V5标以(24, 3)
⑥这时 I={V1 , V2 , V3 , V4 , V5 },J={ V6 , V7},边的集合{[V i, V j] I V i, V j
两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V5, V7], [ V4 , V6] },并有
S57=L5+C57=22+5=27 ; min (S57,S46)= S46 =25
给边[V4, V6]中的未标号的点V6标以(25, 4)
⑦这时 I={V i , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 },J={
V7},边的集合{[V i , V j] I V i , V j
两点中一点属于I,而另一点属于J}={[ V5 , V7] , [ V6 , V7] },并有
S67=L6+C67=25+6=31 ; min (S57,S67)= S57 =27
给边[V5 , V7]中的未标号的点V7标以(27 , 5)
⑧此时 I={V i , V2 , V3 , V4 , V5 , V6 ,
V7},J=空集,边集合{[V i , V j] I V i ,
V j两点中一点属于I,而另一点属于J}=空集,计算结束。
⑨得到最短路。从V7的标号可知从V i到V7的最短时间为27分钟。
即：配送路线为： V i — V2 — V3 — V5 — V7
(14) 最小生成树问题
某电力公司要沿道路为8个居民点架设输电网络，连接8个居民点的道路图如图所示，其中V1,……,V8表示8个居民点，图中的边表示可架设输电网络的道路，边上的赋权数为这条道路的长度，单位为公里，请设计一个输电网络，联通这 8个居民点，并使总的输电线路长度为最短。
①在图中找到一个圈(V1 , V2 , V5 , V3),并知在此圈上边[V1, V2]和
[V3 , V5]的权数4为最大，在图中去掉边[V1, V2]；
②在图中找到一个圈(V3 , V4 , V8 , V5 , V3, V1 ),去掉其中权数最大的边 [V4 , V8]；
③在图中找到一个圈(V3 , V4 , V5 , V3),去掉其中权数最大的边[V4 , V5]；
④在图中找到一个圈(V5 , V2 , V6 , V7 , V5),去掉其中权数最大的边
[V2 , V6]；
⑤在图中找到一个圈(V5 , V7 , V8 , V5),去掉其中权数最大的边[V5 , V8]。
⑥在图中已找不到任何一个圈了，可知此即为图G的最小生成树。
这个最小生成树的所有边的总权数为 2+2+4+2+3+3+2=18
(15) 最大流问题
某地区的公路网如图所示，图中 V1 ,……,V6为地点，边为公路，边上所赋的
权数为该段公路的流量（单位为千辆
/小时），请求出V1到V6的最大流量。
解：第一次迭代：
选择路为V i f V3 f V6。弧（V3 , V6）的顺流流量为5,决定了 p f=5，改进的网络流量图如图
所示：
第二次迭代：
选择路为V i f V2 f V5 f V6。弧（V i , V2）的顺流流量为6，决定了 p f=6，改进的网络流量图如图所示：
第一次迭代
后的总流量
f 5
第三次迭代：选择路为V i—V4 T V6。弧（V1 , V4）的顺流流量为6,
第四次迭代：选择路为V i —V3T V4 T V2T V5T V6。弧（V2，V5）的顺流流量为2，决定了p f=2，改进的网络流量图如图所示：
第五次迭代：选择路为V i—V3T V4—V5T V6。弧（V i , V3）的顺流流量为3, 决定了 P f=3，改进的网络流量图如图所示：
在通过第五次迭代后在图中已找不到从发点到收点的一条路上的每一条弧顺流
容量都大于零，运算停止。我们已得到此网络的从V i到V6的最大流量，最大
流量为22，也就是公路的最大流量为每小时通过 22千辆车。
(16) 最小费用最大流问题
请求下面网路图中的最小费用最大流,图中弧(V i , V j)的赋权(C ij , b ij)，其中C ij为从V i 到V j的流量，b ij为V i到V j的单位流量的费用。
(17) 一台机器、n个零件的排序问题
某车间只有一台高精度的磨床，常常出现很多零件同时要求这台磨床加工的情况, 现有六
我们应该按照什么样的加工顺序来加工这六个零件，才能使得这六个零件在车间里停留的平均时间为最少？
解：对于一台机器n个零件的排序问题，我们按照加工时间从少到多排出加工零件的顺序就能使各个零件的平均停留时间为最少。
(18)两台机器、n个零件
某工厂根据合同定做一些零件，这些零件要求先在车床上车削，然后再在磨床上加工，每
应该如何安排这五个零件的先后加工顺序才能使完成这五个零件的总的加工时间为最少？
解：我们应该一方面把在车床上加工时间越短的零件，越早加工，减少磨床等待的时间，另一方面把在磨床上加工时间越短的零件，越晚加工，也就是说把在磨床上加工时间越长的零件，越早加工，以便充分利用前面的时间，这样我们得到了使完成全部零件加工任务所需总时间最少的零件排序方法。
(19)在一台车床上要加工7个零件，下表列出它们的加工时间，请确定其加工顺序，以使各零件在车间里停留的平均时间最短。
解：各零件的平均停留时间为:
6P1 5P2 4P3 3P4 2P5 P6
6
由此公式可知，要让停留的平均时间最短，应该让让加工时间越少的零件排在越前面，加工时间越多的零件排在后面。
所以，此题的加工顺序为：3，7, 6, 4，1, 2，5
(20)有7个零件，先要在钻床上钻孔，然后在磨床上加工，下表列出了各个零件的加工时间，确定各零件加工顺序，以使总加工时间最短。
解：此题为两台机器，n个零件模型，这种模型加工思路为：钻床上加工时间越短的零件越早加工，同时把在磨床上加工时间越短的零件越晚加工。根据以上思路，则加工顺序为：2，3，7，5，1，6，4。
解:
V3 c V4
(22) 对21题，通过调查与研究对完成每个活动的时间作了 3种统计，如表所示, 请求出每个活动的最早开始时间，最晚开始时间，最早完成时间，最晚完成时间；找出关键工序；找出关键路线；并求出完成此工程项目所需平均时间；如果要求我们以98%的概率来保证工作如期完成，我们应该在多少天以前就开始这项工作。
解：显然这三种完成活动所需时间都具有一定概率，根据经验，我们可以假定
这些时间的概率分布近似服从B 分布，这样我们可用如下公式计算出完成活动所
需的平均时间：丁=十
以及方差：s 2
=（罟）2
活动 T （平均时间） S 2
（方差）
活动 T （平均时间） S 2
（方差） a 2.08 0.07 e 3.08 0.07 b 4.17 0.26 f 2.17 0.26
c P
4.92 0.18 g
3.83
0.26
d
4.08
0.18
工序安排:
工序 最早开始时间
最迟开始时间 最早完成时间 最迟完成时间
时差
是否关键工序
a
0 0 2.08 2.08 2.08
b 0 0 4.17 4.17 0 V
c 4.17「 5 「9.08
9.92 0.83 d 4.17 4.17 8.25 8.25 0
V
e 4.17 5.17 7.25 8.25 1
f 9.08「 9.92 —11.25
12.08 0.83
g
8.25
8.25
12.08
12.08
V
本冋题关键路径是：B--D — G;本工程完成时间是：12.08 这个正态分布的均值 E （T ） =12 .08
其方差为： / =cb +cd 2
+c g 2
=0.70 贝 U （T = 0.84
当以98%的概率来保证工作如期完成时，即： ? （u ） = 0.98，所以u=2.05
此时提前开始工作的时间T 满足：T
—
12.08
=2.05
0.84
所以T= 13.8?14
（23）矩阵对策的最优纯策略
甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的 阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局， 规定每局胜者得1分，输者得-1分，可知三赛三胜得3分，三赛二胜得1分，三 赛一胜得-1分，三赛三负得-3分。甲队的策略集为S 1={ a ，a ，a s }，乙队的策略 集为S 1={B 1,
血，由}，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为 A ，如下: 1 1 -1 -3
-1 3
丿
试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。 解：甲队的a ，a ，a 三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵A 中每行的最小元 素分别为： 1，-3，-1，
1 1 3
在这些最少赢得中最好的结果是 1，即甲队应采取策略 a，无论对手采用什么
策略，甲队至少得1分。而对乙队来说，策略 3i,伍,册可能带来的最少赢得，即矩阵A中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越少），分别为： 3，1， 3,
其中乙队最好的结果为甲队得1分，这时乙队采取伍策略，不管甲队采用什么策略甲队的得分不会超过1分（即乙队的失分不会超过1）。这样可知甲队应采用 a i策略，乙队应米取3 2策略。把这种最优策略a和俊分别称为局中人甲队、乙队的最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵 A= （a j）中等式
max min a ij = min max a j
i j j i
成立时，局中人才有最优纯策略，并把（a1，3。称为对策G在纯策略下的解, 又称（a，32。为对策G的鞍点。
（24）矩阵对策的混合策略
5 9
A=
8 6
解：首先设甲使用a的概率为X1‘，使用a的概率为X2‘，并设在最坏的情况下（即乙出对其最有利的策略情况下），甲的赢得的平均值等于V。这样我们建立以下的数学关系：1. 甲使用a的概率X1和使用a的概率X2‘的和为1，并知概率值具有非负性，即X1‘+ X2'1，且有 X1‘三 0，X2‘三 0.
2. 当乙使用31策略时，甲的平均赢得为：5X1'8X2'此平均赢得应大于等于V，即5X1'+8X2 '三 V
3. 当乙使用32策略时，甲的平均赢得为：9X1 + 6X2’，此平均赢得应大于等于 V，即 9X1 + 6X2 '三 V
第二步，我们来考虑V的值，V的值与赢得矩阵A的各因素的值是有关的，如果A的各元素的值都大于零，即不管甲采用什么策略，乙采用什么策略，甲的赢得都是正的。这时的V值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正的。因为A的所有元素都取正值，所以可知V> 0.
第三步，作变量替换，令X i =牛1=1，2）
考虑到V> 0，这样把以上5个数量关系式变为：
1
X1 + X2 = ，X1 = 0，X2= 0，
5X1+ 8X2 三 1
9X1+ 6X2 三 1
对甲来说，他希望V值越大越好，也就是希望1的值越小越好，最后，我们就
建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下：
min X1 + X2