2017年成都市高三三诊考试(理)

10 1 1 911 0 2 5 5 612 6 813 7

14 2

8 19 3 62017年成都市高三三诊考试数学试题（理）

（1）设集合{0,1}A =，{|(2)(1)<0,}B x x x x =+-∈Z ，则A B =

（A ）{2,1,0,1

}-- （B ）{1,0,1}- （C ） {0,1} （D ）{0} （2）已知复数126i z =+，22i z =-.若12z z ，在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C

对应的复数为z ，则z

=

（A

（B ）5 （C

）（D

）（3）在等比数列{}n a 中，1=2a ，公比2q =.若1234m a a a a a =（*m ∈N ），则m =

（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8 （4）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值 越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大 于100时称空气质量为“优良”. 如图是某地 4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中 点A 表示4月1日的AQI 指数值为201.则下列 叙述不正确的是

（A ）这12天中有6天空气质量为“优良” （B ）这12

天中空气质量最好的是4月9日 （C ）这12天的AQI 指数值的中位数是90 （D ）从4日到9日，空气质量越来越好

（5）、已知双曲线22

22:1(0x y C a a b

-=>，0)b >，直线l ：22y x =-.若直线l 平行于双曲线C

的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C （A ）1 （B ）2 （C （D ）4（6）、高三某班15名学生一次模拟考试 成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若 输入的(1,2,,15)i a i

=分别为这15名学生的考试成绩，

则输出的结果为

（A ）6 （B ）7

（C ）8 （D ）9

图1 （7）已知2

2={(,)|+A x y x

y ≤2}π，B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域.若向区域内随机

投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为 （） （A ）

2π （B ）4π （C ）32

π （D ）

3

4

π

（8）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角 形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且 AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为

A

B

D

15,,a A

日期

AQI 指数值

6

4

3

3

（A ）

12

（B ）12- （C

（D

）（9）已知抛物线2

:(0)C y mx m =>的焦点为F

，点(0,A .若射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点D ，且 :1:2FM MD =，则点M 的纵坐标为

（A ）13-

（B

）（C ）23- （D

）（10）已知函数

2()2cos 22f x x =-.给出下列命题：①β?∈R ，()f x β+为奇函数；②

3(0,

)4

απ

?∈，()(2)f x f x α=+对x ∈R 恒成立；③12,x x ?∈R ，若12()()2f x f x -=，则

12min 4

x x π

-=；④12,x x ?∈R ，若12()=()=0f x f x ，则12=x x k -π（k ∈Z ）.其中的真命

题有

（A ）①②

（B ）③④

（C ）②③ （D ）①④

（11）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 C

（A ）27π （B ）48π （C ）64π （D ）81π （12）设等差数列

{}n a 的前n 项和为n S ，若113m S -=，

0m S =，+115m S =-，其中*m ∈N 且m ≥2.则数列

11n n a a +??????

的前n 项和的最大值为 D （A ）1143 （B ）24143 （C ）2413 （D ）613

（13

）6

的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） （14）若变量x 、y 满足约束条件0+3003x y x y x +≥??

-≥??≤≤?

，则3z x y =-的最小值为__________.3-

（15）从甲、乙等8名志愿者中选５人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_________．（用数字作答） （16）如图，计划将一块半径为2的半圆形纸板切割成 等腰梯形的形状，下底

AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在

半圆上，则所得梯形的最大面积为________．

（17）（本小题满分12分） ABC ?的内角

,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=.

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若b ，求a c +的最大值．

A

（18）（本小题满分12分）

如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =．M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE .

（Ⅰ）求BM 的长； 1

（Ⅱ）求二面角A DM B --的余弦值的大小.

1

4

（19）（本小题满分12分）

几个月前，成都街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题．比如，乱停乱放或将共享单车占为“私有”等．

为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人

（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表；能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系？ 没有关系

（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．

参考公式：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，

其中n a b c d =+++.

（20）（本小题满分12分）

已知圆C ：2

2(1)

8x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ．

（Ⅰ）求曲线E 的方程；

F

B

C

E E A

D M

（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，

求MON ?面积的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数

()ln 1a

f x x x

=+

-，. （Ⅰ）若关于x 的不等式()f x ≤1

12

x -在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；

（Ⅱ）设函数()()f x g x x

=，若()g x 在2

[1,e ]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.

（22）（本小题满分10分） 已知曲线C 的极坐标方程为2ρ

=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面

直角坐标系xOy 中，直线l

的参数方程为2x t y ?=

????=+??（t 为参数）. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1:2x x

y y

??'=???'=?得到曲线C '，若(,)

M x y 为曲

线C '上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．

（23）（本小题满分10分）

已知

()f x x a =-，a ∈R ．

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()25f x x +-≥6的解集；

（Ⅱ）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -?，求a 的取值范围．

a ∈R

成都市高2014级三诊考试数学试题答案理科

（理科）

1.B ；

2.A ；

3. B ；

4.C ；

5.B ；

6. D ；

7.D ；

8.A ；

9.D ； 10.C ； 11.C ； 12.D.

13. 160-； 14. 3-； 15.5040; 16.

（理科）

17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.…………………2分

∵180()C

A B =-+，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=.

化简，得sin (2cos 1)0A B ?-=. …………………4分

∵sin 0A ≠，∴1

cos 2

B =

. ∵0B <<π，∴3

B π

=

. …………………6分 （Ⅱ）由已知及余弦定理，得2

212a c ac +-=. …………………8分

即2

()

312a c ac +-=. …………………9分

∵0,0a c >> ，

∴2

2

()

3(

)2

a c a c ++-≤12，即2()a c +≤48. …………………11分

∴a c +≤a c == .

∴a c +的最大值为…………………12分

（理科） 18.解：（I ）底面

ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=?，

∴AC BD ⊥，且AC =2BD =. ················1分

四边形BDEF 是矩形，∴DE

BD ⊥.

平面BDEF ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，

∴DE ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面BDEF . ·

··················3分 记AC BD O =.取EF 中点H ，则OH DE .

OH

∴⊥平面ABCD .

如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OH 的方向为

x 轴，y

轴，

z

轴的正方向建立坐标系

Oxyz . ·················4分

由题意，得(1,0,0)B

，C ，(1,0,0)D -，

(0,A ，(1,0,2)E -，(1,0,2)F .

AC ∴=

，(1AE =-.

M

为BF 上一点，设(1,0,)(0M t ≤t ≤2).

···················5分 (2,0,)DM t ∴=.

DM ⊥平面ACE ，DM AE ⊥.

∴2020.

DM

AE t ?=-++=

解得1t =.

(1,0,1)M ∴.

1BM ∴=. ··················7分 （II ）由（I ），可知AC ⊥平面BDEF .AC ∴⊥平面DMB .

(1AD =-

，(1AM =.

设平面ADM 的法向量为(,,)x y z =n .

由00

AD x AM x z ??=-=???=+=??n n ，取1y =

，则,=-n . ······9分

∵1

cos ,4

||||4AC AC

AC ?<>=

==?n n n ，

∴二面角A DM B --的余弦值为

1

4

. ············12分 19.解：（I

22?

…………………………2分 根据22?列联表中的数据，得到2

K 的观测值为

()

()()()()

2

503051052382706301055305105k ..?-?=≈<++++. ……………5分

∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，年龄与是否支持发展共享单车没有关系.

z

O

……………6分 （II ）由题意，年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在

[20,25)的6个受访人中，有5人支持发展共享单车.

∴随机变量

X

的所有可能取值为2,3,4. ………………7分

∵114522562(2)15C C P X C C ===，1221454522

567(3)15C C C C P X C C +===，6

(4)15P X ==， ∴随机变量

X

的分布列为

…………………10分

∴随机变量X

的数学期望()27649234

15151515E

X =?

+?+?=.

……………12分 20.解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =.

又

CP CQ QP =+=2CQ QR CA +=>=.

………………2分

∴曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A 为焦点，长轴长为.

…………………3分

设曲线E 的方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>.

∵1c

=，a =2211b =-=. …………………4分

∴曲线E 的方程为2

212

x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .

联立22

12

y kx m x y =+???+=?? 消去y ，得222(12)4220k x kmx m +++-=.

此时有2216880k m ?

=-+>.

由一元二次方程根与系数的关系，得122

412km

x x k -+=

+, 2122

22

12m x x k -=+. …………6分

∴||MN ==. ………7分

∵原点O 到直线l 的距离

d

=

， …………………………………8分

∴ 1||2

MON

S MN d ?=

?= 由0?>，得22210k m -+>.又∵0m ≠，∴据基本不等式，得

MON S ?≤2222

+(21)122m k m k -+?+=2

当且仅当22

21

=2

k m +时，不等式取等号. ………………………………………11分

∴MON ?面积的最大值为2

． …………………………………12分

21.解：（Ⅰ）由

()f x ≤

112x -，得ln 1a

x x +-≤112

x -..

即a ≤2

1ln 2

x x x -+在[1,)+∞上恒成立. ……………… 1分 设函数2

1()ln 2

m x x x x =-+，x ≥1.

则 ()ln 1m x x x '=-+-. ………………2分

设()ln 1n x x x =-+-.

则1

()1n x x

'=-

+，易知当x ≥1时，()n x '≥0. ∴()n x 在[1,)+∞上单调递增，且()n x ≥(1)0n =. 即()m x '≥(1)0m '=对[1,)x ∈+∞恒成立. ∴()m x 在[1,)+∞上单调递增. ∴当[1,)x ∈+∞时，()m x ≥min 1()(1)2

m x m ==

. ∴a ≤

12

，即a 的取值范围是1]2

∞(-，. …………… 4分

（Ⅱ）2ln 1

()x a g x x x x

=

+-，2[1,e ].x ∈

∴2233

1ln 122ln 2()

.x a x x x a

g x x x x x ---'=

+-= 设()2ln 2h x x x x a =--，则()2(1ln )1ln .h x x x '=-+=- 由()0h x '=，得e x =.

当1≤e x <时，()0h x '>；当e x <≤2e 时，()0h x '<.

∴()h x 在[1,e)上单调递增，在

(2

e,e

??上单调递减.

且(1)22h a =-，(e)e 2h a =-，2

(e )2h a =-. ………………5分

显然 2

(1)(e

)h h >.

结合函数图象可知，若()g x 在2

[1,e ]上存在极值，

则(e)0(1)0h h >??

(1)0

(e )0

h h ≥??

h h >??

12a <<时，

则必定2

12,[1,e

]x x ?∈，使得12()()0h x h x ==，且2121e e .x x <<<<

当x 变化时，(),(),()h x g x g x '的变化情况如下表：

∴当e 12

a <

<

时，()g x 在2

[1,e ]上的极值为1()g x ，2()g x ，且12()()g x g x <. ∵11111221111ln ln 1().x x x x a

a g x x x x x -+=

+-= 设()ln x x x x a ?=

-+，其中e

12

a <<

，1≤ e.x < ∵()ln 0x x ?'=>，∴()x ?在(1,e)上单调递增，()x ?≥(1)10a ?=->，当且仅当

1x =时取等号.

∵11e x <

<，∴1()0g x >.

∴当e 12

a <<

时，()g x 在2

[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>. ………………10分 （ⅱ）当2

(1)0

(e )0

h h ≥??

3(1,e

)x ?∈，使得3()0.h x =

易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在

()23

,e x 上单调递减.

此时，()g x 在2

[1,e ]上的极大值是3()g x ，且2

2

34

e ()(e )0e a g x g +>=>.

∴当0a <

≤1时，()g x 在2[1,e ]上的极值为正数. ………………12分

综上所述：当e 02a ??∈ ??

?

，时，()g x 在2

[1,e ]上存在极值，且极值都为正数.

注：也可由()

0g x '=，得22ln a x x x =-.设函数()2ln h x x x x =-后再研究()g x 在

2[1,e ]上的极值问题.

22.解：

（Ⅰ）由22

x y ?=

????=??消去参数t

，得到y x =+ 即直线l

的普通方程为0x y -+=. ……………………………………2分

∵cos ,sin x

y ρθρθ==，∴2224x y ρ+==.

即曲线C 的直角坐标方程为2

24x y +=. ……………………………………5分

（Ⅱ）由1

2x x

y y

?'=???'=?，得2x x y y '=??

'=?. 代入方程2

2

4x y +=，得2

2

14

y x ''+=. ……………………………7分 已知(,)M x y 为曲线C '上任意一点，故可设(cos ,2sin ),M αα其中α为参数. 则点M 到直线l 的距离

d =

=

，其中tan 2.β=

∴点M 到直线l

=……………………………10分

23.解：（Ⅰ）当1a

=时，不等式即为125x x -+-≥6.

当x ≤1时，不等式可化为()()125x x ----≥6，∴x ≤0； ………………1分 当5

12

x <

<

时，不等式可化为

()()125x x ---≥6， x ∴∈?； ………………2分

当x ≥

52

时，不等式可化为

()()125x x -+-≥6，∴x ≥4. .………………3分

综上所述：原不等式的解集为{|x x ≤0或x ≥4}. ………………5分

（Ⅱ）∵()33f x x x a x --=---≤

3=3x a x a ----（），

∴

()333,3f x x x a x a a --=---∈?---???.

∴函数()g x 的值域

=3,3A a a ?---???. ………………7分

[1,2]A -?，31

32

a a ?--≤-?∴?-≥??. ………………8分 解得

a ≤1或a ≥5.

∴a 的取值范围是(][),15,-∞+∞． ………………10分