高中数学必修五第一章解三角形知识点总结与练习题
第一章解三角形
1、正弦定理：
在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有：
2sin sin sin a b c
R C
===A B ． 2、正弦定理的变形公式：
①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =
，sin 2b R B =，sin 2c C R
=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 注意：正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
2、已知两角和一边，求其余的量。
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD
当无交点则B 无解、
当有一个交点则B 有一解、
当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a 当bsinAb 时，B 有一解 注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式： 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理： 在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ， 2 2 2 2cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论： 222 cos 2b c a bc +-A =， 222 cos 2a c b ac +-B =， 222 cos 2a b c C ab +-=． (余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状： 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222 a b c +=，则90C =； ②若222 a b c +>，则90C <； ③若222 a b c +<，则90C >． 7、正余弦定理的综合应用： 如图所示：隔河看两目标A 、B, C 、 D 两点， 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O , ∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面)，求两目标A 、B 附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 心：三角形三角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 练习题 一、选择题 1、在△ABC 中，a ＝10，B=60°,C=45°,则c 等于 （ B ） A ．310+ B ．( ) 1310 - C ．13+ D ．310 2、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760x x --=的根，则三角形的另一边长为 A ．52 B ． C ．16 D ．4 3、在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A 0 90 B 0 60 C 0 120 D 0 150 4、在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（D ） A ．b = 10，A = 45°，B = 70°B ．a = 60，c = 48，B = 100° C ．a = 7，b = 5，A = 80° D ．a = 14，b = 16，A = 45° 5、已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( A ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶1 C ． 1：3：2 D ．3：1：2 6、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ C ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 二、填空题（每题5分,共25分） 7、在ABC ?中，已知4:5:6sin :sin :sin =C B A ，则cosA =___________ 8、在△ABC 中，A =60°,b =1,面积为3，则 sin sin sin a b c A B C ++++= 9、在△ABC 中，已知AB=4，AC=7，BC 边的中线2 7 = AD ，那么BC= 10、在ABC △中，已知角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，边72 c =，且60C ? =，又ABC △的 ，则a b +=________________ 三．解答题（2小题，共40分） 13、在?ABC 中，sin()1C A -=, sinB= 1 3 .（I ）求sinA 的值； (II)设?ABC 的面积. 知识点巩固练习（一） 一、选择题 1．在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32- 2．若A 为△ABC 的角，则下列函数中一定取正值的是（ ） A ．A sin B ．A cos C ．A tan D ． A tan 1 3．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A > 则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为0 60， 则底边长为（ ）A ．2 B ． 2 3 C ．3 D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ） A ．0 6030或 B ．0 6045或 C ．0 60120或 D ．0 15030或 6．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．0 150 二、填空题 1．在Rt △ABC 中，0 90C =，则B A sin sin 的最大值是_______________。 2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13，则C =_____________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？ 2．在△ABC 中，求证：)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。 知识点巩固练习（二） 一、选择题 1．在△ABC 中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ） A ．1:2:3 B ．3:2:1 C ．2 D ．2 2．在△ABC 中，若角B 为钝角，则sin sin B A -的值（ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不能确定 3．在△ABC 中，若B A 2=，则a 等于（ ） A ．A b sin 2 B ．A b cos 2 C ．B b sin 2 D ．B b cos 2 4．在△ABC 中，若2lg sin lg cos lg sin lg =--C B A ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 5．在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = () A ．0 90 B ．0 60 C ．0 135 D ．0 150 6．在△ABC 中，若14 13 cos ,8,7= ==C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．8 1- 二、填空题 1．若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ?∠==则 C B A c b a sin sin sin ++++=_______。 2．若,A B 是锐角三角形的两角，则B A tan tan _____1（填>或<）。 3．在△ABC 中，若=+=C B C B A tan tan ,cos cos 2sin 则_________。 4．在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是_________。 5．在△ABC 中，若=+= ==A c b a 则,2 2 6,2,3_________。 三、解答题 1． 在△ABC 中，0120,,ABC A c b a S =>==，求c b ,。 2． 在锐角△ABC 中，求证：1tan tan tan >??C B A 。 3． 在△ABC 中，求证：2 cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++。 4． 在△ABC 中，若0 120=+B A ，则求证：1=+++c a b c b a 。 5． 在△ABC 中，若2 23cos cos 222 C A b a c +=，则求证：2a c b += 知识点巩固练习（三） 一、选择题 1．A 为△ABC 的角，则A A cos sin +的取值围是（ ） A ．)2,2( B ．)2,2(- C ．]2,1(- D ．]2,2[- 2．在△ABC 中，若,900 =C 则三边的比 c b a +等于（ ） A ．2cos 2B A + B ．2cos 2B A - C ．2sin 2B A + D ．2 sin 2B A - 3．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ． 2 21 C ．28 D ．36 4．在△ABC 中，0 90C ∠=，0