非经典热传导问题多尺度分析方法研究

张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究

非经典热传导问题多尺度分析方法研究古

张洪武张盛郭旭

大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，工程力学系．大连１１６０２４

摘要根据时空间尺度的高阶均匀化理论．建立分析尉期性结构中非傅立叶热传导问题的时间一空

训多尺度分析方法，通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，研究了由空间非均匀性引起的非傅立叶

热传导的波动效应和非局部效应，得到具有非局部效应的四阶微分方程，对高阶非局部热传导方程进

行修正．使问题的求解避免了对有限元离散的Ｃ—ｌ连续性要求。给出三种不同材料参数情况的计算

结果．验证方法正确性的同时，对存在的问题进行了讨沦。

关键词非傅立叶热传导；多尺度方法；均匀化方法：非局部模型

１引言

传统的傅立叶（Ｆｏｕｒｉｅｒ）导热定律是导热现象规律性的经验总结，它是建立在大量常规传热实验的基础上的。傅立叶导热定律不涉及热传导时间项，定律本身隐含了热传播速度为无限大的假设。但对极端热传导条件下的非稳态传热过程，如激光表面热处理、脉冲干燥及微时间或微空间尺度条件下的传热问题等，热传播速度的有限性却必须考虑，此时会出现一些不同于常规传热过程的物理现象．这种热传导效应称为非傅立叶（ｎｏｎ．Ｆｏｕｒｉｅｒ）热传导效应。传统傅立叶导热定律的本构方程描述了热流量和温度空间梯度分布之间的关系，其数学表达式为抛物线型偏微分方程。而非傅立叶导热定律还考虑了热波的时间迟滞，其数学表达式为双曲线型偏微分方程。

热传导问题多尺度分析方法的研究具有极大的学术探讨价值和广泛的工程应用领域“’…。本文主要目的是根据非傅立叶导热定律本构方程，研究不同材料组成的多相结构中热传导问题的时间．空间多尺度分析方法ｈ５１ｏ在非均匀介质的分界面上存在的反射和折射作用影响了脉冲激励的传播，在宏观上出现了勃、散，衰减等现象。为了解决这一勃、散效应，本文采用了多时间一空间尺度的高阶均匀化理论对问题进行分析。通过引入放大空间尺度和缩小时间尺度，从数学上获得不同阶次的时间一空间问题的均匀化方程，对这些具有不同阶次的均匀化方程进行合并整理，最终得到用于结构宏观多尺度分析的高阶均匀化方程。

２时间一空间多尺度渐进分析的基本方法

如图ｌ所示，假设宏观的特征尺寸￡远大于非均匀性尺寸，。在空间上引入两个尺度：一个是宏观或整体空间尺度ｘ，另一个是微观或局部放大空间尺度ｙ，且Ｙ＝Ｉ／ｓ，其中ｓ＜＜１。在时间上引入一个一般时间尺度，即ｔｏ＝ｒ，同时还引入一个缩小时间尺度：ｔｌ＝８２ｆ，以进行时间域的多尺度分析。因为瞬态温度场≯与ｘ、Ｙ、ｔｏ、ｔ１相关，对≯采取近似多尺度渐进展开，得

ｄ（ｘ，Ｙ，ｆ）＝如（ｘ，Ｙ，ｔｏ，＾）＋印【（ｘ，Ｙ，ｔｏ，ｒ１）＋占２≯２（ｘ，ｙ，ｆｏ，‘１）＋－…??（１）

黝材料＝

Ｉ鼻＾ｌｅ：＾

图ｌ一维杆和单元结构

所研究的结构右侧施加热源加），其余表面绝热，其特征长度为ｆ（在ｘ尺度上）和盎（在ｙ尺度上）＋幽家自然科学基金５０１７８０１６、杰出青年科学基金１０２２５２１２资助项目

堡兰查兰！！！丝苎垫竺兰望兰兰墨垦坌堑三堡翌墨——————————————型且盎：，／ｓ。并认为热流量的温度空间梯度项ｑ’＝々（ｘ）屯在壶上有周期性。

瞬杰非傅立叶热传导微分方程

＾（√ｓ）扛∽ｓ礁。＋九｝一诲∽ｓ谚，Ｉ，＝０（２）

宏观边界上的边界条件，

舳）－ｏ，织（“）＝音鼯

≯－，ｏ）＝，０），畦，ｘ，ｏ）＝ｇｂ）

其中：≯（，，：／。，ｆ）表示瞬态温度场；＾Ｇ／ｓ）表示单位体积物质的比热：ｒｂ肛）表示驰豫时间：女ｂ肛）表示热传导系数（々∽ｓ）、ｒ（∥ｓ）和ｚ∽ｓ）具有局部周期性）；Ｆ表示横截面积；Ｑ０）表示热源密度；（１，和（１，分别表示空间和时间的导数。

为建立均匀化模型．定义平均算子（．）：１卅－１ｆ．ｄＹ。利用链式法则，空间和时间导数表示为

畦：＝破，＋ｓ一‘九．≯＝谚ｂ＋ｓ２哆＾，≯＝谚协＋２ｅ２谚＾ｂ＋ｓ４声ｖ。

热流量温度空间梯度Ｉ贝为

ｑ’＝ｔ（九十ｓ。幻）（３）式（２）热传导微分方程变为

州“杀＋ｓ２毒ｘ誉“２静＋（翌ｃ３ｔｏｗ２丝Ｏｔ。）Ｊ＿瞰＋ｓ－ｌｑｊＪ

Ａ?【（哦０ｆ０＋虬）＋ｓ２（２嘛＾＋移＾）＋ｓ４嗍＾】－眈＋ｓ。ｑ：ｙ】（４）

把≯（ｘ，Ｙ，ｆ）的渐进展开式（１）代入式（４）左边，得

（４）左边２Ａ?【（砒，。０ｆｏ＋九山）＋ｄ确，，。～＋Ａ，‰）＋ｓ‘（晚，。ｍ＋如，ｆ０）＋……＋

ｏｅ２（２ｒ耐ｏ＾ｆＩ＋如，ｆ．）＋ｓ３（２硝Ｊ以＋氟＾）＋占４（２确山ｆ．＋晚．ｆ．）＋’?…’＋

４确＾ｆＩ＋Ｆ５吮ｖ１＋ｓ６确，¨＋…‘＿】

把≯（ｘ，Ｙ，ｔ）的渐进展开式（Ｉ）代入式（３）ｔ得

ｑ’＝七｛【九一＋ｓ一１九∥】＋【渐．，＋卉∥】＋【占２如，，＋锄∥１＋‘‘‘‘。｝

＝七ｐ－１≯¨＋【九。＋蛾，，１＋４＃ｈＦ＋如，，】＋¨…）

＝Ｆ一１ｑ：ｌ＋蕊＋叼：＋ｃＺｑ；＋……（５）其中ｑ！ｌ＝ｋ‰∥ｑ：＝ｋ【丸．，＋≯¨，ｙ１，ｓ＝ｏ，ｌ，２……（６）把ｑ’的渐进展开（５）代入式（４）右边，得

（４）右边＝ｓ＿ｑ！ｔ．ｊ＋酶，，＋唧ｉｄ＋……＋声－２口！ｔ，，＋ｓ叫ｑ；，ｙ＋ｑ０＋……

＝ｓ一２ｑ！ｌ，，＋ｓ一１（ｑ；∥＋ｇ！１．Ｊ）＋（ｑｉ，，＋口；，，）＋‘????＿

根据式（４）两边比较（相同的∥项对应系数相等），得到以下各阶传热方程

“ｓ“）：目！１．。＝０

０（ｓ一‘）．ｑ如＋ｇ：ｌＪ＝ｏ

Ｏ（ｅｏＪ．２－（砒Ｊｍ＋氏．‰）＝叱＋叱

ｏ（ｅ。）．２（硝ｍ＋Ａ，ｆ０）＝吐，＋ｇｉ．，

ｏ（ｓ２）：＾（砸２如ｂ＋≯２，～＋２哦山＾＋‰）２ｑ；，ｙ＋ｑ！．，

（７）（８）（９）（１０）（Ｌ１１

４８２张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究

３对不同阶问题的解

１）ｏ（ｓ一２）问题

由传热方程（７），ｇ：¨＝０，两边同乘以九，在单胞域ｒ上分步积分，得

ｆ４）ｏｑ＇－ｔ，ｙｄＹ＝Ｉ≯ｏｑ＇－－ｒｉｄｓ一卜（粕，，）２ｄｙ＝ｏ

ｒｄｖｒ

由于以Ｙ为周期的单胞边界ａｒ上边界积分项为零，那么式（１２）第一项Ｉ≯ｏｑ＇－。ｒｉｄｓ

‘

且ｌｔ（九）２ｄ，，＝ｏ，推出

ｒ

九，，＝０ｊ‰＝中ｏ（ｘ，ｔｏ，ｔ１）

ｑ＇ｔ＝ｔ如。＝０

（ｔ２）０。因为ｋ是止数

ｎ３）

ｆ１４１

２１ｏ（ｅ１）ｆ司题

由传热方程（８），孤，＋ｑ：Ｌ，。＝０，由式（１４）ｑ！Ｉ＝０得ｑ：Ｌ．。＝０，并把式（６）和（１３）代／２（８），得

吐ｙ＋ｑ＇－Ｉ．，＝畹ｙ＝【ｋ（Ｏｏ，。＋Ａ，ｙ）】．，＝０（１５）可以观察到Ａ是关于中¨的线性函数，那么可假设

办（ｘ，Ｙ，ｔｏ，ｔｔ）＝Ｏｔ（ｘ，ｔｏ，ｔｔ）＋Ａ（ｙ）（ｂｏ．，（１６）把式（１６）代入（１５）、（６）得

［ｔ（１＋“，ｙ）】．，＝０（１７）

“＝ｍＯ，ｘｋ０＋Ａ，ｙ）（１８）考虑图中的单胞结构。单胞域是由Ａ１和Ａ２微结构子域组成，如

Ａ‘”＝圳０＜Ｙ＜蕊】；∥＝叫蕊‘Ｙ＜囱

其中：０≤口≤ｌ是单胞的体积分率

方程（１７）和０８）在整个单胞可表示为

ｋｊ（１＋Ａｊ，ｙ）＝口Ｊ；甜”＝ｏｏ，，ｋｊ（１＋Ａｊ∥）（Ｊ＝ｔ，２）（１９）其中：ａ；为常数

由解在单胞上的周期性、界面处的连续性以及均匀化条件可解出Ａｊ，（，）

圳２丽（１－ａ）（ｋ２－ｋ０旷，争圳＝百轰瓮护坐竽】（２０）

ｋ＝（州坞））２瓦鬟意（２１）３）０（ｓｏ）问题

由传热方程（９），２－（哦山ｆｏ＋ｑ）Ｏ，ｔｏ）＝乱ｙ＋酰，＝ｔ【哦，，＋如，ｙ】，，＋ｔ【南，，＋Ａ，，】，，根据周期函数的导数在一个周期域上积分值为零和平均算子定义可知（ｑｉ．，）＝０。把式（１３）代入传热方程（９），并对传热方程两边取平均算子。为了进一步推导，取驰豫时间ｆ＝“

＾一（面ｏ．ｒ幽＋ｍｏ山）一（ｑｏ．，）＝０（２２）其中

厶＝《五）＝瑾＾＋（１一口）如，“＝（ｆ）＝口１＋（１一ａ）ｒ２

把式（１８）代２ｋ（２２）得到宏观传热方程

Ｚ一（种。山ｆ０＋Ｏｏ．ｆ０）一ｋＨ＜ｂｏ，。＝０（２３）ｍ式（２３）得

ｔｏｏ，ｆ。，。＋ｍｏ，ｔ。＝石１ｋ月巾ｏ，肼

张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究

代入传热方程（９）ｑｌ。＝ｐ（ｙ）ｋ…Ｏｏ—ｑ；，，ｆｌ（Ｙ）＝２（ｙ）／２．

ｆ２４１把式（１６）代／ｋ（２４）左边，得左边＝ｑｉ．ｙ＝【七（Ａ．，＋如，ｙ）】，ｙ＝｛七［≯２，ｒ＋ｍｌ，，＋４００．“】｝，ｙ

把式（１６）４ｔＡ．（２４）右边，得

右边２ｆｌ（ｙ）ｋ。ｍｏ，。一（中０，ｘｔ（１＋Ａ．，））．，＝西ｏ．。［ｆｌ（ｙ）ｋ。一ｋ（１＋Ａ．，）】方程变为

｛七【疵．，＋中Ｉ．，＋４中ｏ．“】｝．ｐ＝ｏｏ．“【卢（ｙ）一１）】七。

（２５）可以观察到也是关于西１．，和ｍｏ。的线性函数，那么可假设

≯２（ｘ，ｙ，ｔ０，ｔ１）＝ｑ）２（ｘ，ｔＯ，ｔｉ）＋４（ｙ）ｏＩ，＋Ｂ（ｙ）Ｏｏ“（２６）

把（２６）代入（２５）、（６）可知｛ｋ［Ａ＋只，】｝．，＝【ｆｌ（Ｙ）一Ｉｌｋ。

（２７）“＝ｋ（Ｌ＋Ａ．ｙ）ｍｌ一＋ｋ（Ａ＋量Ｐ）ｍｏ．“

（２８）

同理可解口（，），得州加ｔ鼍ｃ扣一赛辫等，ｙ２＋ｔ一鲁ｃ扣＋篆鬻警岩加

｛一些毪害盟（扣。ａ（１－ⅥａＸ旷ｌ－…２ａ）．ｆｉ２唰（ｋ２－ｋ１）｝２ｋｋ（２９ａ）、

ｌ，，、＾。’Ｌ川ｌＩ一口ＩＥ．＋触，ｌ、’圳＝ｔ象ｃ砉叫＋而ｏｔ（而ｋ２－ｋ面ｔ）旷斗与警ｃ砉叫＋桨舞笔者¨卜畦堑型１蒙２ｋｋ生幽监（和＋坐１业２［（１－ａ丝）ｋ警≯｝（２９ｎ）、ｌ２、九７

ｌ＋础２】’……

由（２９）可以得到

（２，４）＝０（３０）

（ｔ（Ａ＋彤））２０

（３１）４）ｏ（ｅ‘）问题

由传热方程（１０），Ａ?（硝州。＋Ａ，～）＝ｑ；．ｙ＋ｑｉ，＝【女（戎．，＋如．，）】，，＋【々（Ａ，，＋如，，）】，，，根据周期函数的导数在一个周期域上积分值为零和平均算子定义可知（吐，）＝０。把式（１６）代入传热方程（１０），并对传热方程两边取平均算子

兄一（ｄｌｌｔＪ０ｆ０＋中ＩＪｏ）＋（＾彳Ｘｒ（ｏｏ，，），，讹＋（ｍｏ．，）ｔｆｏｌ＝（ｇ：，，）

（３２）

把式（２８）代ｆｌ，（３２）得＾（椰’¨山＋ｍ‰）＋（＾一Ｘｆ（巾吣）．ｒ山＋（ｏ吣）．ｂｌ＝（七（１＋Ａ，ｙ））ｏＩ．“＋（七（Ａ＋置，））巾ｏ，埘

（３３）把式（２１）、（３０）和（３１）代入（３３）得到宏观传热方程

＾。（ａＩｈ，‘＾＋中ｌ，～）一‘ｍｌ，。＝０

（３４）

把式（１６）、（２６）和（２３）、（３４）代入传热方程（１０）得（ｔ（丸，，＋ｔ１）２，，＋爿中ｌ，。＋脚Ｉｏ．一）｝，ｙ＝ｔ。（卢一ｌ冲ｔ，。＋［ｔ。肛－ｋ（Ａ＋钆）归ｏ．一

（３５）可以观察到九是中２∥母１．。和ｍｏ．一的线性函数，那么可假设

鸡（ｘ，Ｙ，ｔＯ，ｔｔ）＝０３（ｘ，ｔｏ，ｔｉ）＋爿（ｙ）ｍ２，，＋Ｂ（ｙ）ｍ１．“＋Ｃ（ｙ）ｍｏ．脚

（３６）

把式（３６）代入（３５）、（６）得【ｋ（Ｂ＋Ｃ，）ｂ＝ｔ。肛一ｋ（Ａ＋只ｙ）（３７）

醴＝七。西２．，十七（彳＋量ｙ）巾Ｉ．盯＋七（口＋ｃｙ）中ｏ．一

（３８）同理可解得ｃ（ｙ），由ｃ（，）可以得到

！坠堡苎壅兰！！！丝苎垫笪兰望垫兰垦壁垒塑兰兰竺堕Ｌ————————————一（删＝坠地号策１二蚴蜓（３９）

（邶“∥）＝一堕％竽｛（ｋ２－ｋＯ［ａ（１＿２２１甜－（１．－慨ａ）２兄ｚ］＋ｋ．２．一一｝

（４０）

５、Ｏ（ｅ２、问题由传热方程（１１）

＾．（却２山“十妒２，ｂ＋２砥．ｆｏｌ，＋‰＾）＝ｑ；＋ｙ＋ｑ：，，＝［七（≯３，，＋九，ｙ）ｌ，ｙ十［七（屯．ｘ＋九，ｙ）１．ｚ

根据周期函数的导数在一个周期域上积分值为零和平均算子定义可知（ｇ；．ｙ）＝ｏ。把式（１３）和（２６）代入传热方程（１１），并对传热方程两边取平均算子

九ｍ＾ｆⅡ＋激：勰叠墨０蕊一山＋２２＾一桃．娟：ｏ㈣，＾。ｍ２，“＋（元４）（中Ｉ，，），ｂ＋（加）（ｍｏ，盯）山十一种ｏⅣ．＋＾中ｏ－ｆｌ。１９２，，７

把式（３８）代入（４ｔ）得２，ａｌ》２Ｍ＋（Ｍ）（ｏｌ，，）ｔｆ０～＋（五口）＠ｏ，盯）Ｊ。ｆ０＋兄一中２，～＋（州）（ｍｌ，一），ｂ＋（胁）（中岍）＇ｆ０＋

ｒ４，、２＾ｒｍ¨呐＋丑。ｍ＂．＝（七（１＋Ａ．ｙ））ｍ２，斟＋（七（４＋Ｂｙ））中Ｉ，脚＋（七（Ｂ＋ｃ，））中ｏ，删

把式（２１）、（３０）、（３１）、（３９）和（４０）代入（４２）得到宏观传热方程

丑。（ｆｍ２，ｆ机＋巾２，，ｏ）一ｋｍ２，“＝ｂｍｏ，脚一２２．｜ｚｏｏ，ｆ。ｆｌ一丑。ｍｏ，ｈ

（４３）

其中．．ｂ＝（ｔｃ口＋ｃ．，，）一（—ｔ８）《１ｋ＝５竺尘ｉ：；；ｉ；！ｉ；ｊ；：；。！：：；；！！兰

（４４，

４非局部模型

宏观传热方程（２３）、（３４）和（４３）的初始和边界条件为

初始条件九（ｘ，ｏ，ｏ）＝，（ｘ）ｔ南（ｘ，０，ｏ）＝ｇ（ｘ）；ｏ。（ｘ，ｏ，ｏ）＝ｏ

ｔｍ；（ｘ，ｏ，ｏ）。ｏｓ２ｔ，２

边界条件九（０’ｔｏ，ｔ１）：０，九：，（１，ｔｏ，ｑ）＝等；ｍ，（ｏ，ｔｏ，ｔｔ）＝ｏ，Ｏｓ；ｘ“，ｔｏ，ｔ１）＝ｏ

ｓ＝ｌ＇２

１）非局部传热方程’本文将运用一种改进的方法，把三个宏观传热方程（２３）、（３４）和（４３）合并成一个方程，并消去缩小时间尺度。

定义平均温度场

忽略大于和等于Ｄ（一）阶项，得到以下关系式

ｍｏ＋西Ｉ＋ｓ２ｍ２＝ｍ＋ｏ（一ｋｓ＠ｏ＋办１）＝西＋ｏ（一）；ｓ２中ｏ＝８２中＋０（一）

ｏ＾＋ｓ２＾．ｔ。＝击；神，ｂ＝知＋０（ｓ３）．。Ⅶ山＝占２中十Ｄ（ｓ３）

ｍ，ｆ０，０＋２ｓ２ｍ．ｆ以＝击＋ｏ（∥）．西，‘０，ｏ＝西＋ｏ（一）．ｓ２ｍ，。＾＝ｓ２西＋Ｄ（ｓ３）

（４５）把宏观传热方程（２３）、（３４）和（４３）分别乘以ｓｏ、Ｆ‘和ｓ２相加，得到合并的高阶传热方程

＾ｆ（中ｏ＋神’Ｉ＋ｓ２ｍ２）．‘椭＋＾（中ｏ＋ｓ西ｔ＋８２中２），如一七一（巾ｏ＋神ｔ＋５２西２）．盯

ｒ４６１＝ｂｓ２ｍｏ．一一２２．ｒｓ２ｍｏ，ｆ以一九ｓ２西ｏ，ｒｌ

把（４５）代入（４６】得

～Ⅶ

矿¨西以¨Ⅶ●Ｓ西铊＋～Ｏ～ｍｏＩＩ＝神．ｅｙ，渺饥＝ＦＤ

＋ｋ＾叭曲ｌｅ系

关Ｆ以有日

堡苎壅量！斐丝苎苎竺兰望垫兰垒垦竺堑玄兰竺查————————————！堕丑。面ｆ山＋２＾措２中，ｆ。＾＋＾西．ｆ。十丑。ｓ２西，ｆｌ一七。西．盯一ｋｄ８２ｍ，聃。０

ｊｚ。面＋＾击一ｋｎｑＪ。一ｋｉｔｓ“．一＝０（４７）出于方程（４７）中最高阶空间导数项为四阶ｍ。。，有限元离散过程中要求Ｃ。连续。为解决该问题，本文将把这个四阶空间导数项近似为二阶混合时间一空间导数项，得到一个新的只需Ｃｏ连续的有限元方程。

２、近似传热方程

利用宏观传热方程（２３），两边同时乘以ｓ２得

Ａ。（醒２中ｏ，‰＋ｓ２ｍｏ．ｈ）＝盘。ｓ２巾ｏ，砧＝≥ｋｎｓ２０，埘＝－ｑ．ｎＥ２（种，‘如＋中，ｆ。）＋００３）

ｊｓ２ｑ）矿丝玉掣里＋０（，）（４８）

七”

忽略大于和等于ｏ（ｅ３）阶项，把式（４８）代入（４７），得到‘好’布辛内斯克方程

Ａ。（曲＋击）一ｋ。ｍ．。一女。（曲．。＋西．。）＝０（４９）其中。竿；％裟群∞，

５有限元方程

进行式（４９）的有限元离散，对于ｖｒ∈（ｏ，卅，有中（ｘ，，）∈ｓｉ（ｎ）×Ｃ２（ｏ，ｒ】，考虑初始条件：ｍ（ｘ，ｏ）＝，（ｚ）．西（ｘ，Ｏ）＝ｇ（ｘ），对任意试探函数ｖ（ｘ）∈Ｓｏ（Ｑ），有

ｆ＾。Ｈ面＋西）ＦａＱ—ｋ。ｍ．。凡西ｌ—Ｉｖｋ。（猫，。＋击，。）Ｆ试１＝ｏ（５ｔ）

矗矗ｎ

其中：Ｓｔ（ｎ）是Ｓｏｂｏｌｅｖ空间，它定义为：Ｓｔ（Ｑ）＝｛“Ｊ）∈三２（Ｑ），ｖＯ）．，∈Ｌ２（Ｑ）｝，Ｌ２（Ｑ）表示在ｎ上平方可积函数空间

Ｓｏ（ｎ）＝｛ｖ（ｘ）∈ｓｉ（ｏ）ｌ“ｘ）＝ｏＯｎ温度给定边界｝

对ｆ５１）进行分部积分，可以得到弱形式方程

ｋ“猫＋击）腑＋卜。ｔ，中．，脯＋卜，，七。（面．，＋击，）脚

矗矗矗

＝七。巾，“三），＋七。（曲．，＋击．，）“三）Ｆ

由近似的有限元弱形式导出半离散的宏观传热方程：

Ｍ西＋ｃ击＋Ｋ西＝Ｐ（５２）其中：中（ｔ）是节点温度向量：Ｍ是驰豫相容矩阵；ｃ是热容矩阵；Ｋ是总的热传导矩阵；Ｐ是温度载荷向量。各系数矩阵与右端项的表达式为

Ｍ＝∑以ｃ＝∑ｃ８，Ｋ＝∑ｋ８

Ｐ＝１ｅ＝ｌｅ；Ｌ

水ｎ删７№＋ｐ。ｒＦＢ７嘲√＝ｎ州７№＋ｎ皿７啪，ｋ８＝卜。ＦＢ７啪，

吼

ｎ。ｎ。ｎ?ｎｅ

｝Ｉ

Ｐ＝｛∞）十罟［硝ｆ）＋∞）】｝ｉ

‘ｎＩＪ：￡

其中：Ｎ是形函数；Ｂ是Ｎ的对称梯度；Ｉｎ８是单元驰豫相容矩阵；ｃ８是单元热容矩阵；ｋ。是单元热传导矩阵。

６数值算例

４８６张洪武等：非经典热传导问题多尺度分析方法研究

本文将研究具有局部周期性结构一维杆件的非傅立叶热传导状况。在图２至图７中均有四条曲线，含义分别是参考解一、参考解＿、经典均匀化模型的有限元解和本文的高阶非局部传热模型的解。参考解一是通过精细数值计算获得的，参考解二是互换材料位置后精细数值计算获得的。

考虑图１中具有局部周期性结构的一维杆件。假设杆的横截面积为单位面积，，表示结构单元的长度，Ｌ表示整个杆长，ｄ．和ｄ，分别表示两种材料的体积分率。材料的导热特征参数为：Ｐ表示材料密度；ｃ表示材料比热：世表示材料的热传导系数：ｒ表示驰豫时间。

计算方案Ｉ：各材料特性如下

几何尺寸：Ｌ＝２０／ａｎ；１＝ｌ／ａｎ：ｄ１＝０．４；ｄ２＝０．６：

材料一：Ｐｌ＝８０００ｋｇ／ｍ３：ｃｌ＝１５００Ｊ／ｋｇＫ；ＫＩ＝５０ｗ／ｍＫ：ｒｔ＝１．０ｘ１０。ｊ；

材料二：Ｐ２＝ｔｏｏｏｋｇ／ｍ３：ｃ２＝３０００Ｊ／ｋｇＫ；Ｋ２＝１０吖ｍＫ；ｆ２＝１．０ｘ１０。Ｓｓ。

为了使杆与周围的环境不发生热交换，给杆附加绝热的边界条件。在杆的右端施加热源ｑ（ｘ＝２０／ａｎ处）。假设杆的初始温度为ｔ＝０。Ｃ。

载荷：ｑ＝ｑｎｔ４（ｆ—ｒ）４，其中：Ｔ＝６．２８４×１０～。

此时Ｐ．ｑ≠Ｐ，ｃ，，“＝ｒ：，在数学推导过程中高阶非局部模型是准确的。从图２和图３中一方面可以清晰地观察到在非均匀材料中，在材料位置互换前后，高阶非局部模型能够提供一个很好的近似平均解。另一方面也可以看到经典均匀化模型的误差所在。在图２中由于取的是距热源一个单元结构的位置点，所以边界效应十分明显，白、散现象十分强烈，而在图３中可以明显地看到高阶非局部解的有效性。

计算方案２：各材料特性如下

几何尺寸：Ｌ＝２０／ａｎ；１＝ｌ，ｕｍ；ｄ１＝０．４：ｄ２＝０．６：

材料一：ＰＩ＝２０００ｋｇ／ｍ３；ｃｌ＝１５００Ｊ／ｋｇＫ：ＫＩ＝５０ｗ／ｍＫ：ｆｌ＝８．０ｘ１０’６ｓ：

材料二：Ｐ２＝ｌＯＯＯｋｇ／ｍ３：ｃ２＝３０００Ｊ／ｋｇｊＣ；Ｋ２＝１０ｗ／ｍＫ；ｒ２＝２．０ｘ１０—６ｓ。

载荷：ｑ＝ｑｏ．ｔ４（ｆ—ｒ）４。其中：Ｔ＝９．４２６ｘ１０～。

图２ｘ＝１９／ａｎ处时间－温度曲线ｏ００Ｅ＋００４００Ｅ一０６８００Ｅ．０６

Ｉ２０Ｅ－０５Ｉ６０Ｅ．０５

ＴｉｍＨｓｌ罔４ｘ＝１９ｐｒｏ处时间一温度曲线图３ｊ＝１０，ｔａｎ处时间－温度曲线

图５ｊ＝１０ｍｎ处时间一温度曲线

一§＆目。■

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图６Ｊ＝［９ｂ口ｎ处时间－温度曲线图７ｘ＝ｌＯＪａｎ处时间－温度曲线

此时Ｐｌ。Ｉ＝Ｐ２。２．７ｌ≠７２，高阶非局部模型采取了近似的数学推导过程。图４和图５中一方面司以清晰地观察到在非均匀材料中，高阶非局部模型能够提供一个很好趋势。另一方面也可以看到高阶非局部解存在一定的相差，这是由推导过程中的近似处理造成的。

计算方案３：各材料特性如下

几何尺寸：Ｌ＝２０１ａｎ：，＝ｌ／ａｎ；ｄＩ＝０．４；ｄ２＝０．６：

材料一：Ｐｌ＝８０００ｋｇ／ｍ３；ｃｌ＝１５００Ｓ／ｋｇＸ；Ｋｔ＝５０Ｗ／ｍＫ：“＝４．０×１０４ｓ；

材料二：ｐ２＝１０００ｋｇ／ｍ３；ｃ２＝３０００Ｊ／ｋｇＫ：Ｋ２＝ＩＯＷ／ｍＫ；ｆ２＝１．ｏ×ｔ０。６Ｊ。

载荷：ｑ＝ｑｎ．ｔ４．（ｆ—ｒ）４。其中：Ｔ＝９．４２６ｘ１０～。

此时ｎｑ≠ｐ２Ｃ２，ｆ－≠７２，在数学推导过程中高阶非局部模型的获得也采取了近似的处理方法。图６和图７中虽然高阶非局部解存在一定的误差，但还是可以清晰地观察到，高阶非局部模型较经典均匀化模型能更好地模拟温度随时间变化的振荡特性。

７结论与问题讨论

极端热传递条件的非经典热传导问题具有较强的工程应用背景，是当前热传导领域的一个热点问题。本文阐述了宏观上各向同性非匀介质中，高频脉冲热载荷作用下的传热数值模拟过程。通过引入扩大空间尺度和缩小时间尺度，推导出问题时一空多尺度分析的控制方程，方程具有非局部特性。进而研究了在高频热脉冲激励作用下，由高阶均匀化理论得到的非局部模型的有效性。

通过本文的研究工作可以发现

１）经典均匀化理论在研究具有时间效应的高脉冲热载荷作用的问题时有一定的局限性，需要进一步的发展和改进。

２）材料的排列次序对计算结果是有影响的，改变排列次序会得到不同的计算结果，体现出较强的边界效应与几何分布效应。

以上问题在计算中应当特别注意，并希望能够得到进一步的研究与讨论。

参考文献

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［３】曹立群，罗剑兰多孔复合介质周期结构热传导和质扩散问题的多尺度数值万法．工程热物理学报，２０００，２１（５）：６１０－－６１４

【４】ＦｉｓｈＪ，ＣｈｃｎＷＵｎｉｆｏｒｍｌｙｖａｌｉｄｍｕｌｔｉｐｌｅｓｐａｔｉａｌ－ｔｅｍｐｏｒａｌｓｃａｌｅｍｏｄｅｌｉｎｇｆｏｒｗａｖｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｉｎｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓｍｅｄｉａＭｅｃｈａｎｉｃｓｏｆＣｏｍｐｏｓｉｔｅＭａｔｅｒｉａｌｓａｎｄＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，２００１，８：１－１９

【５】ＦｉｓｈＪ，ＣｈｅｎＷ，ＮａｇａｌＧ．Ｎｏｎ－ｌｏｃａｌｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅｍｏｄｅｌｆｏｒｗａｖｅｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｉｎｈｅｔｅｒｏｇｅｎｅｏｕｓｍｅｄｉａ：ｏｎｅ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｃａｓｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｍａｌｆｏｒＮｕｍｅｒｉｃａｌＭｅｔｈｏｄｓｉｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００２，５４：３３１－３４６

Ｍｕｌｔｉ—ＳｃａｌｅＡｎａｌｙｓｉｓｏｆＮｏｎｃｌａｓｓｉｃａｌＨｅａｔＣｏｎｄｕｃｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓｎｏｎ?Ｆｏｕｒｉｅｒｈｅａｔｃｏｎｄｕｃｔｉｏｎ；ｍｕｌｔｉｐｌｅｓｃａｌｅｍｅｔｈｏｄ；ｈｏｍｏｇｅｎｉｚａｔｉｏｎ；ｎｏｕｌｏｃａｌｍｏｄｅｌ