数列求和和综合应用

数列求和及其综合应用

1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在

证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)

2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．

1、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1

·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.

2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7

b 7＝________

3.若数列{a n }满足a 2

n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *

)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }

是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)

4.已知函数f(x)＝x 2

＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列??

1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.

5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．

(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；

(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项

和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1

的值． 6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4

，a 1＞a 8，

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；

(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．

7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n

＝(b －1)S n .

(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1

}是等比数列；

(2) 求{a n }的通项公式．

8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n

－1(n≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2) 求证：数列????

a n －12n 为等差数列，并求a n .

9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *

)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．

(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2

；

(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1

a 2n

10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10 …

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n

b n S n －S 2n

＝1(n≥2)．

(1) 证明数列????

1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；

(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4

91时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．

12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的

前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *

)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20

对所有n∈N *

都成立的最小正整数m.

13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.

14、设函数f(x)＝x

x ＋2

(x>0)，观察：

f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x

7x ＋8，

f 4(x)＝f(f 3(x))＝x

15x ＋16

，…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N ＋

且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.

15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *

.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．

16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝?????

a n 2

，当a n 为偶数时，

3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，

则m 所有可能的取值为________.

17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *

(1) 证明：{a n －1}是等比数列；

(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>1

18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *

)．

(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；

(2) 求证：对k≥3且k∈N *

有0≤a k ＋1≤a k ≤43

19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n (n∈N *

)．

(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；

(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n

2n ＋1，求数列{c n }的前

n 项和．

20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2

a 2－y

b 2＝1的离

心率e 等于________．

21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．

(1) 写出这个命题的逆命题；

(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．

数列求和及其综合应用

证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)

1、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1

·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.

－15 解析：a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a 9＋a 10＝－3，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×(－3)＝－15. 2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7

b 7

＝________.2.

6 解析：a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋5

13＋3

＝6.

3.若数列{a n }满足a 2

n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *

)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }

是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分

4.已知函数f(x)＝x 2

＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列??

1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 4. 2 0122 013 解析：f′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1

n －1n ＋1＝n n ＋1

. 5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．

(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；

(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项

和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1

的值．

解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2

＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，

a n ＝n ＋1，

b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n·2n ＋1

(2) ∵ 新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n

－1项的和减去数列{b n }前n 项的和，

∴ S 2n －n －1＝2n

－1

2＋2

－

22n

－12－1

＝(2n －1)(2n －1

－1)．

∴ S 2n －n －1－2

2n －1

＋3·2n －1

＝1.

6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4

，a 1＞a 8，

(1) 求数列{a n }的通项公式；

(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；

(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．

解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－4

3，且a 1＞a 8，求得a 1

＝1，a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1＝－1

，

∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋43

(n∈N *

)．

(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋4

3＝－n ＋2，

∴ 2b n ＋12b n ＝2－

n ＋1

＋2

2－n ＋2＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为1

的等比数列，

∴ {2b n }的前n 项之和为2?????

?1－? ????12n 1－12

＝4－? ????12n －2

(3)＝n·2b n ，

∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2－2n(n ＋2)c n ＋1

＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)

＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n )

＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－1

) ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋1

－1)＞0，

其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2＞2n(n ＋2)c n ＋1.

7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n

＝(b －1)S n .

(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1

}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．

解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1

＝(b －1)S n ＋1，

两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n

.①

(1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n

于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n·2n －1

)，又a 1－1·2

1－1

＝1≠0, ∴ a n －n·2

n －1

≠0, ∴ a n ＋1－n ＋1·2

a n －n·2

n －1

＝2， ∴ {a n －n·2n －1

}是首项为1，公比为2的等比数列．

(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －1

，当b≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b

·2n

＝b ? ??

??a n －12－b ·2n . 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1

＝b ? ????a n －12－b ·2n ，又a 1

－12－b ×2＝21－b 2－b ，故a n ＝????

2，n ＝1，12－b

[2n ＋21－b b n －1]，n≥2，n∈N *

∴ a n ＝????

n ＋12n －1

，b ＝2，12－b

[2n ＋21－b b n －1

]，b≠2.

8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n

－1(n≥2)，且a 4＝81，

(1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；

(2) 求证：数列????

a n －12n 为等差数列，并求a n .

解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n

－1(n≥2)，

得a 4＝2a 3＋24

－1＝81， ∴ a 3＝33.

同理a 2＝13，a 1＝5.

(2) 由a n ＝2a n －1＋2n

－1(n≥2)，得a n －12n ＝2a n －1＋2n

－22n

＝a n －1－12n －1＋1， ∴ a n －12n －a n －1－1

n －1＝1，

∴ ??????

a n －12n 是等差数列. ∵ ????

a n －12n 的公差d ＝1， ∴ a n －12n ＝a 1－1

21＋(n －1)×1＝n ＋1，

∴ a n ＝(n ＋1)×2n

＋1.

9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *

)，且{b n }是以q 为公

比的等比数列．

(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2

；