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概率论与数理统计课后习题及答案

第1章三、解答题

1．设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A 和B 不相容； (2) A 和B 相容； (3) AB 是不可能事件； (4) AB 不一定是不可能事件； (5) P (A ) = 0或P (B ) = 0 (6) P (A – B ) = P (A ) 解：(4) (6)正确.

2．设A ，B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：因为)()()()(B A P B P A P AB P ，

又因为)()(B A P B P 即.0)()( B A P B P 所以

(1) 当)()(B A P B P 时P (AB )取到最大值，最大值是)()(A P AB P =0.6.

(2)

1)( B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.

3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P ，记P (A ) = p ，试求P (B )．

解：因为)()(B A P AB P ，

即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P ，

所以

.1)(1)(p A P B P

4．已知P (A ) = 0.7，P (A – B ) = 0.3，试求)(AB P ．

解：因为P (A – B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) = 0.3, P(AB ) = P (A )– 0.3, 又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，6.0)(1)( AB P AB P .

5．从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有410C n

种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：

法一：分两种情况考虑：15C k

24C 212

)(C +25C 其中：2

122

5)(C C C 为恰有1双配对的方法数

法二：分两种情况考虑：!

61815

C C C k +2

其中：!

216

1815

C C C

为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：)(142815C C C k +25C

其中：)(142

5C C C 为恰有1双配对的方法数

法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2

815C C k -25C

法五：考虑对立事件：410C k

-45C 4

12)(C

其中：4

C 412)(C 为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：!

1618110410

C C C C C k

其中：

!414

1618110C C C C 为没有一双配对的方法数

所求概率为.21

410

C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率．

解：(1) 法一：12131025 C C p ，法二：121

102513 A A C p (2) 法二：20

13102

4 C C p ，法二：201

102413 A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率．解：设M 1, M 2, M 3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

834

)(33

41 A M P , 1694)(324232 A C M P , 161

4)(3143

C M P

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 3.0)(25232 C C M P ,6.0)(2512131 C C C M P ,1.0)(25

1 C C M P

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑球”，则

2121M M M M M 且.

所以.28

C C C C )()()()(282

328252121 M P M P M M P M P

10．若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y ) ： x + y 6/5} 因此

17154211)(2

的面积的面积A A P ．图？

11．随机地向半圆2

20x ax y

（a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求

原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x

}

事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4

” ={(x ，y )：4

0,20,202

x ax y a x }

因此

2112

14121)(222 a a

a A A P 的面积的面积．

12．已知2

)(,31)(,41)( B A P A B P A P ，求)(B A P ．解：,12

3141)()()( A B P A P AB P ,6121121)|()()(

B A P AB P B P

11216141)()()()(

AB P B P A P B A P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

321)(1)(21026 C C A P A P ，15

)(21024 C C B P ，

132/152)()()()()|(

A P

B P A P AB P A B P

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

)(,5

3)(151

2 A P C C A P ，由全概率公式得

,45

5253)|()()|()()(191

41915 C C C C A B P A P A B P A P B P

由贝叶斯公式得

.23

4523/53)()|()()|(191

5 C C B P A B P A P B A P

15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信息是A 的概率是多少？解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信息是A ”，已知

,01.0)|(,02.0)|( M N P M N P .3

2)(

M P 所以

,99.0)|(,98.0)|( M N P M N P ,3

)( M P

由贝叶斯公式得

.197

196

)01.03198.032(98.032)|()()|()()|()()|(

M N P M P M N P M P M N P M P N M P

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4

,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知,41)(,31)(,51)

(321 A P A P A P 所以,4

3)(,32)(,54)(321 A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为

4332541)()()(1)(1221321 A P A P A P A A A P

17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P .

解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),且

P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )

将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) = 0.5，所以

.5.05.01)(1)

()

()(1)()(1)(1)(

B P A P B P A P A P AB P A B P A B P

或者,由于A 与B 相互独立,所以A 与B 相互独立，所以

.5.05.01)(1)()( B P B P A B P

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设A =“甲射击目标”，B =“乙射击目标”，M =“命中目标”，已知P (A )=P (B )=1,,5.0)(,6.0)( B M P A M

P 所以

).()()()()(AB P B A P B A P AB B A B A P M P

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

.8.05.06.05.04.05.06.0)()()()()()()( B P A P B P A P B P A P M P

75.08

.06

.01)()|()()()()|(

M P A M P A P M P AM P M A P

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设A i =“第1种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3； B i =“第2种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2. （1）根据题意，P (A 1)=0.7，P (A 2)=0.8，P (A 3)=0.9，P (B 1)=0.7,P (B 2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件ABC = ，,21

)()()(

C P B P A P 且已知16

9)(

C B A P ，求P (A )．

解：因为ABC = ，所以P (ABC ) =0, 因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()

(C P B P A P 所以

2)]([3)()()()()()()()()(A P C P A P C P B P B P A P AC P BC P AB P

由加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P

得

)]([3)(32

A P A P 即 0]1)(4][3)(4[ A P A P 考虑到,21)

(

A P 得.4

1)( A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是

，且)()(C B A P ABC P ，证明： 2

1)()()()(2

BC P AC P AB P ABC P ．

证明：因为)()(C B A P ABC P ，所以

)]

()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P 将

)()()(

C P B P A P 代入上式得到 )]()()()(2

[1)(ABC P AC P BC P AB P ABC P

整理得

)()()()(2 AC P BC P AB P ABC P

3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|( B A P ，试证A 与B 独立．

证明：因为P (A |B ) +1)|( B A

P ，所以

,1)

(1)

(1)()()()()()( B P B A P B P AB P B P B A P B P AB P

将)()()()(AB P B P A P B A P

代入上式得

,1)

(1)

()()(1)()( B P AB P B P A P B P AB P

两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到

),()()(B P A P AB P

所以A 与B 独立.

4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0和1，证明)|()|(A B P A B P 是事件A 与B 独立的充分必要条件．

证明：充分性，由于)|()|

(A B P A B P ，所以

()()()(A P B A P A P AB P 即

(1)()()()(A P AB P B P A P AB P

两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到),()()(B P A P AB P 所以A 与B 独立.

必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P 且,0)(,0)( A P A P 所以

一方面

),()

()

()()()()|(B P A P B P A P A P AB P A B P

另一方面

),()

()()()()()()()()()|(B P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P A B P

所以).|()|

(A B P A B P

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知,2

)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P

由全概率公式得

)

1()|()()|()()(21211212p p p A A P A P A A P A P A P (1) 他取得该资格的概率为

32)1(),|()()()()()()()(22

12121212121p p p p p p p A A P A P A P A P A A P A P A P A A P

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

.122

)1()()|()()()()|(2212122121

p p

p p p p p A P A A P A P A P A A P A A P

6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知,3

)()()(210 A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|( M N P M N P

由全概率公式

,10

)1081091(31)|()()|()()|()()(221100 A M P A P A M P A P A M P A P M P

,10

1091)(1)(

M P M P 又,98.002.01)|(1)|( M N P M N P 由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

.892.01.010

98.0109)|()()|()()(

M N P M P M N P M P N P 7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生. 又知,9.0)|(,8.0)|( A B P A B P i i

,4.0)( A P 所以

,1.0)|(,2.0)|( A B P A B P i i ,6.0)(,4.0)( A P A P

所求概率为,)

|()()|()()|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P

由于三次检验是独立进行的，所以

905.09

.01.01.06.02.08.08.04.02

.08.08.04.0)

|()|()|()()|()|()|()()

|()|()|()()|(321321321321

A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P A B P A B P A B P A P B B B A P

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,3.0)()

(31 A P A P ,35.0)()(42 A P A P 所以

,7.0)()(31 A P A P ,65.0)()(42 A P A P

(1) 火炮被击毁的概率为

356475

.035.07.065.07.035.07.0)()()()()()()

()()(432121432121432121 A P A P A P A P A P A P A A A A P A A P A A A A A A P

坦克被击毁的概率为

4365

.03.065.07.03.0)()()()()

()()(321132113211 A P A P A P A P A A A P A P A A A A P

(2) 都不被击毁的概率为

.207025.065.07.065.07.0)()()()()(43214321 A P A P A P A P A A A A P

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….，已知,...2,1,2

)()()

(

i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以

在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

71...212121...)(9

63987654321654321321

C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,7

丙得冠军的概率为,7

2712

甲、乙得冠军的概率均为.145)721(21

第二章

一、填空题： 1. x X P ，)()(12x F x F

2. }{k X P k n k

k n

p p C )1(，k = 0，1，…，n 3.

0,!

}{

e k k X P k

为参数，k = 0，1，…

5. 其它

,0 ,1

)(b x a a b x f 6.

x e

x f x ,21)(2

22)(

7. x e x x ,21)(2

8. )()(

a b

10.

9 分析：每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4

2)(21

xdx dx x f ，而本题对随机变量X 取值的观察可看作是3重伯努利实验，所以

)411()41(223223 C Y P

11.

7257.0)212.2(

212.2212.2

X P X P ,

8950.01)3.1()4.2()3.1()4.2()216.1()218.5(218.5212

16.15.86.1

X P X P 同理，P {| X | 3.5} =0.8822. 12.

)31(3113)(

y F y X P y X Y P y G . 13.

，利用全概率公式来求解：

.48

414141314121410 442332 2221122

X P X Y P X P X Y P X P X Y P X P X Y P Y P 二、单项选择题：

1. B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导

F (-a)=

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a

0a -0

-0)(21)(-21)(-)()( 2. B ，只有B 的结果满足1)(lim )(

x F F x

3. C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证

4. D ，

,2X X X Y

，可以看出Y 不超过2，所以 0,2,12

,12,12 ,12,2 ,1)(0

y e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y ，可以看出，分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即

p p p C B P A P AB P p 231

3)1()()()(.

三、解答题

（A ）

1．(1)

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1

至6点均可，共有1-61

C （这里1

2C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的

情形，因为61

C 多算了一次）或151

C 种，故 36

3615361-611212

C C X P ,其他结果类似可

得.

(2)

165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，

6 165363554 3632

43 3627323620

2136111 0 x x x x x x x ，

，，，，，， 2．

注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然 12612995

C X P

. 3．

1!0

ae k a k k

，所以

e a .

4．(1)

3x 13243214

1-1

x 03

x 132}2{}1{21}1{-1

x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，

(2)

41121 X p X P 、 212252

X P X P 、

323232

X P X P X X P X P ；

5．(1)

3121121121lim 212121222242

i i i

X P 偶数， (2)

161

16151415

X P X P ， (3)

712

1121121lim 2

i i i i X P 的倍数

6．(1) 5.15.0~P t P X 5.10 e X P .

(2)

5.25.0 t 5.21011 e x P x P .

7．解：设射击的次数为X ，由题意知

.20400~，B X

k k k

C X P X P 4001

040098.002.011129972.028.01!

818

0 e k k K ，其中8=400×0.02.

8．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数， .305~，

B X 则指示灯发出信号的概率

)7.03.07.03.07.03.0(131********

55005C C C X P X P p

1631.08369.01 ；

9. 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则5

x F ， 2)10(110 e F X P

， 2

5~ e B Y ，

则50,1,k ,)1()(}{5225 k k k e e C k Y

0.5167

11}0{-1}1{5

2 ）（e Y P Y P

10. (1)、由归一性知：

2cos )(1

a xdx a dx x f ，所以2

a . (2)、4

2|sin 21cos 21}4

{404

x xdx X P . 11. 解（1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim

11F x F x F x x

，即A=1.

（2） 7.03.0X P

4.0)3.0()7.0( F F .

（3）X 的概率密度

,01

0,2)()(x x x F x f . 12. 解因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以

其他05051

)(x x f

若方程024422

X Xx x 有实根，则03216)4(2 X X ，即

12 X X ，所以有实根的概率为

3510511252

x dx dx X P X P p 13. 解: (1) 因为

4)(3~，N X 所以

)2()5(}52{F F X P

5328.016915.08413.01)5.0()1(

)4()10(104 F F X P

996

.01998.021

)5.3(21)5.3()5.3(

212 X P X P 221 X P

)2()2(1 F F )5.2()5.0(1

)5.0()5.2(1 3023.01 6977.0

313 X P X P )3(1F )0(1 5.01 5.0

(2)

c X P c X P 1，则 2

1 c X P 2

1)2

3()( c c F ，经查表得

21)0(

，即02

3 c ，得3 c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。 (3) d X P d X P 1)(1d F 9.0)2

(1 d ，

则1.0)23( d ，即9.0)23-( d ，经查表知8997.0)28.1( ，

故28.12

3- d ，即44.0 d ； 14. 解： k X P k X P 1 k X k P 1)()(1

)(22

1.0

所以 95.0)(

， 95.0)()(

k k F k

X p ；由对称性更容易解出；

15. 解

),(~2 N X 则

X P X P

)()( F F

)()(

)1()1(

0.68261)1(2

上面结果与无关，即无论怎样改变， X P 都不会改变；

16. 解：由X 的分布律知

51 6

151 30

所以 Y 的分布律是

Z 的分布律为

22)(21)(

x e

x f ，

17. 解因为服从正态分布),(2

N ，所以

则dx e

x F x

22)(21)(

， y e p y F x Y )(，

当0 y 时，0)( y F Y ，则0)( y f Y

当

0 y 时， y x p y e p y F x Y ln )(

2)(ln '

211))(ln ()()(

y Y Y y

y F y F y f e

所以Y 的概率密度为

1)(2

2)(ln

y y y

y f y Y

；

18. 解

)

1,0(~U X ，

100

)(

x x f ， y x p y Y p y F Y 1)()1(1y F ，

所以

其他其他)1()(0,1

01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解：)2,1(~U X ，则

其他

210

1)(

x x f

e P y Y P y F X Y 2)

(

当0 y 时， 0)(2 y e

P y F X

，

当

0 y 时，

)

(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X

，

其他其他424

)ln 2

1(0

21))ln 21(()()(e x e y

e x e y

f y F y F y f X Y Y

20. 解: (1) y X P y Y P y F Y 3)(11

y X P 31)31(y F X )3

1(31))31(()()('

11y f y F y F y f X Y Y

因为其他1

23)(2 x x x f X

所以

)31(31)(1y f y f X Y 其他,13

11,01812 y y 其他,3

3,0

1812 y y (2)

)3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y ， )3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y

因为

其他

3)(2 x x

x f X ，

所以

)3()(2y f y f X Y 其他0,131,)3(232y y 其他

0,4

2,)3(23

2y y

（3） y X P y Y P y F Y

3)(3

当0 y 时， 0)(23 y X P y F Y ，0)()('

3 x F y f Y Y 当

0 y 时，

)()(3y F y F y X y P y F X X

，

)]([21

)]([)()('

'33y f y f y

y F y F x F y f X

Y Y

所以

)]([21

)(3

y y y f

y f y y f X

Y ，

因为

其他

3)(2 x x

x f X ，

所以

其他,1

0,0

3)(3 y y y f Y 四．应用题

1．解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知

.20,10~ B X

设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则

99.0!

.02.0}{0

1010

i i

i e i C k X P ，其中,2

查表得k=5.

2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4

.0 e

，记

X 为10块组件中不能正常工作的个数，则

)1,10(~4.0 e B X ，

5小时后系统不能正常工作，即

2 X ，其概率为

8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.01

10104.004.0010 e e C e e C X P X P

3．解：因为)40,20(~2

N X ，所以

)30()30(}3030{}30{ F F X P X P

49.018944.05187.01)25.1()25.0()40

30()402030(

设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ，

(1)

8698

.00.5069

-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3

300

3 C Y P Y P .

(2)

3801.05069.04931.0}1{211

3 C Y P .

4．解：

当0 y 时，}{y Y 是不可能事件，知0)( y F ，

当20 y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知5

1)(y y x

e dx e y F

，

当

2 y 时，}{y Y 为必然事件,知1)( y F ，

因此，Y 的分布函数为

2,120e -10 , 0)(5y y y y F y

，；

5．解：(1) 挑选成功的概率70

148 C p ；

(2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该

70110~，B X ，

设10随机挑选成功三次的概率为：

0.00036)70

1()701(

}3{73

10 k C X P ，以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B ）

1. 解：由概率密度可得分布函数

,163),3(923131,31

10,31

,0)(x x x x x x x x F

k X P 由于，即3

)( k F ，易知31 k ； 2. 解： X 服从）

（2,1 的均匀分布，其他，，2

31)( x x f ，又,,0011 X X Y ，，

则 3

)(}0{120

dx x f X P Y P

， 3

1}0{-1}0{}1{

X P X P Y P 所以Y 的分布律为

3. 解：])1[(1})1({]1[)

(333y F y X P y X P y F X Y ，

3233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y

R y y y ,)

1(1)1(362

； 4. 证明：因

)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x ，

}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y )

(1y F x 所以

)()()()('

y f y f y F y f x x Y Y .

5. 解：随机变量X 的分布函数为

8 ,181 ,1-1

, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)( x F ，

})({}{)(y X F P y Y P y F Y ，

当0 y 时，})({y X F 是不可能事件，知0)( y F Y ，

当10 y 时，y y X P y X P y F Y })1({}1{)(33，

当

1 y 时，})({y X F 是必然事件，知1)( y F Y ，

即

1 ,110 ,0 , 0)(y y y y y F Y 。

6. （1）}2

-{}12{}{)(11

y X P y X P y Y P y F Y

当

y 时，即1 y 时，00}21-{)(21

-1

dx y X P y F y Y ，当02

y 时，即y >1时，2

121

0-1}21-{)(1y

y x Y e dx e y X P y F

，

所以

其他，，11

,021)(211

y y e y f y

Y ；

（2）}{}{)(22

y e P y Y P y F X

Y ，当

0 y 时，}{y e X 为不可能事件，则0}{)(2 y e P y F X Y ，

当10 y 时，0ln y ，则 00ln }{)(ln 2

dx y X P y e P y F y

Y ，

当

1 y 时，0ln y ，则 y

dx e y X P y F y

x Y 1

1ln )(ln 0

，根据

)()(22y F y f Y Y 得

1,11 ,0)(22y y

y y f Y ；

（3）}{}{)(2

y X P y Y P y F Y

，当0 y 时，0}{)(23 y X P y F Y ，

当

0 y 时，

x Y e dx e y X y P y X P y F

1}{)(0

3，

所以

0,20

,0)(3y y e y y f y

Y ；

7. (1) 证明：由题意知

,,0

2)(2

x x e x f x 。 }{}{21211

y e P y Y P y F e Y X

Y x ）（，，当

0 y 时，01 ）（y F Y 即01

）（y f Y ，当10

y 时，y dx e y X P y e P y F y x

X Y

ln 2222ln }{)(1，当

1 y 时，122ln )(021

dx e y X P y F x

Y ，故有

0,,01)(1

y y f Y ，可以看出1Y 服从区间（0，1）均匀分布；（2）

}-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ，

当01

y 时，1}-1{)(22 y e P y F x Y ，

当110

y 时，

y dx e y X P y e P y F y x X

)

1ln(0

2222)1ln(}-1{)(2

）（，

当11

y 时，002)1ln(}-1{)(2

)

1ln(22

dx y X P y e

P y F y X

Y ，

由以上结果，易知 1

,01)(2

y y f Y ，可以看出2Y 服从区间（0，1）均匀分布。

第三章

1解：(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：

P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/3 1/2=/3 同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：

Y X 1 2 1 1/3 1/3 2

1/3

2 解：X ，Y 所有可能取到的值是0, 1, 2

(1) P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |= , i ,j =0,1,2, i +j 2

或者用表格表示如下：

X 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2

3/28

(2)P{(X,Y) A}=P{X+Y 1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=

2/14

/1)

()()( AB P A P AB P 得P(AB)=1/8

由P(A|B)=

2/1)

()

( B P AB P 得P(B)=1/4

(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=))(B A

P =P(

(A)-P(B)+P(AB)=5/8

P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8

P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知： 1=

, 故A=4

(2)P{X=Y}=0 (3)P{X

(4)

F(x,y)=

即F(x,y)=

5.解：P{X+Y 1}=

)3(),(102

121

dydx xy x dxdy y x f x

y x

6 解：X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=25.05.05

.02

2 C , P{X=1,Y=2}=25.05.05.021

2 C

P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：

Y X 0

3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25

0.5

2 0

0.125 0.125 0.25

P .j

0.125 0.375 0.375 0.125 1

7. 解：

其它,00,),(y

x e y x f y

0,00

,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f x

y X

,0,

),()(0

y y ye y y dx e dx y x f y f y y y

Y 8. 解：

,),(22x y x y cx y x f

(1)21

4212),(11

042

dx x x c ydydx cx dxdy y x f x

所以 c =21/4

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

2019年公共基础知识题库及答案

本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 2019年公共基础知识题库及答案 1.在党政企事业单位中属于下级向上级报送的公文种类是：（ C ） A.报告、通告 B.通报、请示 C.请示、报告 D.通知、报告 2. 白炽灯用久了会发黑是因为钨丝发生：（D） A.燃烧 B.汽化 C.蒸发 D.升华 3. 公元前475年至公元前221年是我国战国时期，被称为战国七雄的七个国家分别是：（A） A.齐、楚、燕、韩、赵、魏、秦

B.楚、燕、韩、鲁、赵、齐、秦 C.燕、越、赵、魏、秦、齐、鲁 D.齐、秦、韩、楚、鲁、魏、燕 1. 以下关于主送机关正确的说法是：（C） A.主送机关是指公文的主要受理机关，应当使用全称或者规范化简称、同类型机关统称，位置在标题下右侧顶格 B.上行文的主送机关一般是1个，请示、批复、函的主送机关只能是1个 C.普发性的下行公文，主送机关较多，但是不能使用泛称 D.公告、通告以及部分事项性通知必须写主送机关 2. 食品生产中质量等级最高的是：（A） A.有机食品 B.绿色食品 C.无公害食品 D.天然食品 3. 钓鱼岛自古就是________的固有领土。（B） A.日本 B.中国 C.韩国 D.菲律宾 1. 在下列几类公文中，一般不带“附件”的是：（C） A.印发类公文 B.转发类公文 C.普发类公文 D.呈报类公文 2. 光电子材料一般是复杂的________需要用特殊的方法和设备来制造。（C） A.无机纳米材料 B.电子材料 C.微结构材料 D.能源材料 3. 巴巴罗萨作战是二战时德国侵略________的代号。（D） A.英国 B.法国 C.波兰 D.苏联 1. 综合办公部门或业务部门的负责人及有关人员对需要办理的公文提出建议性处理意见的参谋性活动，称为公文的：（A） A.拟办 B.承办 C.批办 D.催办 2. 以下关于转基因产品的表述，不正确的是：（C） A.转基因产品是利用基因工程改变基因组构成的动物、植物、微生物产品及其加工品 B.供食用的转基因产品及其加工品称“转基因食品”，亦称“遗传制造食品” C.因为转基因产品是新生物技术的产物，所以转基因产品的安全性是毋庸置疑的 D.中国相关法律规定，转基因产品上都要醒目标出“转基因”，未经标识的相关产品及加工品将不得销售或进口 3. 商鞅变法发生在：（B） A.西周 B.战国时代 C.秦朝 D.汉朝 1. 下面几种说法中，不正确的是：（B） A.在公文中安排语序时，当一组概念表现由若干连续的动作、行为构成的活动过程时，一般应按时间发展顺序排列 B.受双重领导的机关向上级机关请示，应写明主送机关和抄送机关，由抄送机关答复 C.有些公文的主题，可以根据领导人授意而直接表述，有些公文的主题，则需在调查研究的过程中，随着对客观实际情况全面而深入的探索而逐步提炼与明确 D.公文中的疑问语气一般较少使用语气词“啊”“呢”“吧”等，“吗”也尽可能不用或少用 2. 下列不属于纳米材料“荷叶表面”特性的是：（B）

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

概率论与数理统计综合试题

Ⅱ、综合测试题 s388 概率论与数理统计（经管类）综合试题一（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 1 2 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的值为 ( D ). A. 1 2 B. 13 C. 15 D. 1

【2019年整理】公共基础知识模拟试题及答案

2011年公务员考试公共基础知识真题与答案解析一、单项选择题(从下面各题选项中选出一个最符合题意的答案，并将相应字母填入括号内。本题包括40小题，每小题1分，共40分) 1.2010年1月1日，中国-东盟自由贸易区正式启动。对于该自由贸易区说法错误的是（B）。 A. 是世界上人口最多的自由贸易区 B. 是全球第三大自由贸易区 C. 是由发展中国家组成的最大自由贸易区 D. 由中国和东盟12国共同组成 2.下列表述错误的一项是（B）。 A. 行政复议法律关系是一种监督行政法律关系 B. 行政复议法律关系是一种程序性的法律关系 C. 行政复议法律关系是一种诉讼法律关系 D. 行政复议法律关系是行政复议法律规范调整的结果 3.行政机关在调查或者进行检查时，执法人员一般应为（）。 A. 1人至2人 B. 2人以上 C. 3人以上单数 D. 5人以上单数 4.“任何个别（无论怎样）都是一般”。这句话的含义是( )。 A. 特殊性就是普遍性 B. 特殊性存在于普遍性之中 C. 普遍性是特殊性的总和 D. 特殊性中包含着普遍性 5.王某为某机关宣传处干事，申请辞职时未获批准，王某不服，则其可以在知道该人事处理之日起（）内向上一级机关提出申诉。 A. 15日 B. 20日 C. 30日 D. 60日 6.生产力范畴反映的是( C )。 A. 人与自然之间的关系 B. 人与社会之间的关系

C. 人与劳动产品的关系 D. 劳动者与剥削者的关系 7.公开发行公司债券，股份有限公司的净资产应当不低于人民币（）。 A. 300万元 B. 3000万元 C. 500万元 D. 5000万元 8.产业资本的三种职能形式是（）。 A. 固定资本、流动资本、货币资本 B. 货币资本、生产资本、商品资本 C. 商品资本、商业资本、借贷资本 D. 不变资本、可变资本、生产资本 9.李某生前立遗嘱将一件古玩赠给马某，李某死后马某表示接受遗赠，在遗产分割前马某死亡，则()。 A. 该古玩由李某子女继承 B. 该古玩由马某子女继承 C. 将该古玩出售，价款由李某子女、马某子女共同继承 D. 如李某子女同意方可由马某子女继承 10. 历史人物的成功或失败，归根到底取决于( )。 A. 他们的思想、行为是否符合历史发展的客观规律 B. 他们的意志是否坚强 C. 他们的愿望是否善良 D. 他们的行动是否果断 11. 我国建立社会主义市场经济体制的中心环节是( )。 A. 提高企业的经济效益 B. 对经济结构进行战略性调整 C. 国有企业的改革 D. 调整生产力的布局 12. 一切从实际出发，是我们制定路线、方针的基本原则，我国社会主义初级阶段最大的实际是( )。

概率论与数理统计期末考试试题及解答

概率论与数理统计期末考试试题及解答 Prepared on 24 November 2020

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：解：即所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则 ==)3(X P ______. 答案：解答：由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案：解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故另解在(0,2)上函数2y x = 严格单调，反函数为()h y =所以 4．设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>e X P ，则=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________. 答案：2λ=，-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答： 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==，故 2λ= 41e -=-. 5．设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案：解答：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计为

事业单位考试公共基础知识题库及答案

事业单位考试公共基础知识题库及答案如何以不变应万变、快速掌握指定考点、有效提高事业单位考试成绩是每个备考事业单位考生颇为关注的问题，以下是由整理关于事业单位考试公共基础知识题库的内容，希望大家喜欢! 事业单位考试公共基础知识题库(一) 1、CNSS是( )的简称。 A、中国北斗卫星导航系统 B、俄罗斯全球卫星导航系统 C、美国的全球定位系统 D、欧洲伽利略定位系统 2、对于同一棵大树，木匠看到的是木材，画家看到的是色彩和色调，植物学家看到的是它的形态特征，这是由于( )。(多选) A、人的感觉受理性指导 B、人的认识具有能动性 C、理性认识是感性认识的基础 D、已有的认识影响感觉活动 3、《宪法》规定公民享有的下列社会经济权利、文化教育权利中，不属于公民可以积极主动地向提出请求的权利有( )。(多选) A、受教育权 B、财产权 C、继承权 D、劳动权 4、决策是一项包括多个步骤的系统工作，其最后一个步骤是( )。 A、监督与反馈 B、选择备选方案 C、界定问题C、设立决策准则 5、正当防卫必须在侵害行为正在进行时，迫不得已的情况下进行，而紧急避险不强调迫不得已。( ) A、正确 B、错误

6、土地承包经营权属于用益物权。( ) A、正确 B、错误事业单位考试公共基础知识题库参考答案与解析1、【答案】A。解析：北斗卫星导航系统(Compass Navigation Satellite System)简称CNSS。俄罗斯全球卫星导航系统简称是GLONASS;美国的全球定位系统简称是GPS;欧洲伽利略定位系统(Galileo Positioning System)，是欧盟一个正在建造中的卫星定位系统，有欧洲版GPS 之称，简称伽利略计划。故本题答案为A。 2、【答案】ABD。解析：从认识的辩证过程来看：感性认识是理性认识的基础，理性认识依赖于感性认识;同时，感性认识有待于发展成为理性认识，感性认识也依赖于理性认识。C项颠倒了认识的辩证过程，所以是错误的。主体和客体的认识关系，首先表现为主体对客体的选择，这种选择是以主体为转移的。木匠、画家和植物学家在观察大树之前，各自有着不同的经验和专业知识，正是这些经验和专业知识影响着他们对大树的观察和感受，因而他们对客体的信息的选择表现出差异。制约着感性认识形成的有来自客体和主体的多方面的复杂因素，而对相同的感知对象，不同的人会有不同的感知结果。故本题答案选ABD。 3、【答案】BC。解析：所谓积极受益权，是指公民可以积极主动地向提出请求，也应积极予以的权利。除了财产权和继承权外，公民享有的其他社会经济、文化教育权利、劳动权、劳动者休息权、物质帮助权和受教育权等都属于积极受益权。与积极受益权相对的是消

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

《概率论与数理统计》期中考试试题汇总

《概率论与数理统计》期中考试试题（一）一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分） 1．某射手向一目标射击两次，A i表示事件“第i次射击命中目标”，i=1，2，B表示事件“仅第一次射击命中目标”，则B=（）A．A1A2B．21A A C．21A A D．21A A 2．某人每次射击命中目标的概率为p(0

6．设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数2为的指数分布，Y ～B (6，2 1)，则D(X-Y)=( ) A ．1- B ．74 C ．54- D ．12 - 二、填空题（本题共9小题，每小题2分，共18分） 7．同时扔3枚均匀硬币，则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8．将3个球放入5个盒子中，则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9．从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球，第k 次取的黑球的概率是= . 10．设随机变量X ～U (0，5)，且21Y X =-，则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12．设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???，则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ，Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:，则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?，Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<

(完整版)概率论与数理统计课程标准

《概率论与数理统计》课程标准一、课程概述（一）课程定位《概率论与数理统计》(Probability Theory and Mathematical Statistics)，由概率论和数理统计两部分组成。它是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科，是广泛应用于社会、经济、科学等各个领域的定量和定性分析的科学体系。从学科性质讲，它是一门基础性学科，它为建筑专业学生后继专业课程的学习提供方法论的指导。（二）先修后续课程《概率论与数理统计》的先修课程为《高等数学》、《线性代数》等，这些课程为本课程的学习奠定了理论基础。《概率论与数理统计》的后续课程为《混凝土结构设计》、《地基与基础》等课程。通过该课程的学习可为这些课程中的模型建立等内容的知识学习奠定良好的基础,在教学中起到了承上启下的作用。二.课程设计思路本课程的基本设计思路是极力用较为通俗的语言阐释概率论的基本理论和数理统计思想方法;理论和方法相结合，以强调数理统计理论的应用价值。总之,强调理论与实际应用相结合的特点,力求在实际应用方面做些有益的探索，也为其它学科的

进一步学习打下一个良好的基础。三、课程目标《概率论与数理统计》是一门几乎遍及所有的科学技术领域以及工农业生产和国民经济各部门之中。通过学习该课程使学生掌握概率、统计的基本概念，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，并能用所掌握的方法具体解决工程实践中所遇到的各种问题。（一）能力目标力求在简洁的基础上使学生能从整体上了解和掌握该课程的内容体系，使学生能够在实际工作中、其它学科的学习中能灵活、自如地应用这些理论。（二）知识目标 1.理解掌握概率论中的相关概念和公式定理； 2.学会应用概率论的知识解决一些基本的概率计算； 3.理解数理统计的基本思想和解决实际问题的方法。（三）素质目标 1.培养学生乐于观察、分析、不断创新的精神； 2.培养具有较好的逻辑思维、较强的计划、组织和协调能力； 3.培养具有认真、细致严谨的职业能力。四、课程内容根据能力培养目标的要求，本课程的主要内容是随机事件、随机变量、随机向量、数字特征、极限定理。具体内容和学时分配见表4-1。表4-1 课程内容和学时分配

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计第一章测试题

第一章随机事件和概率一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为（A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是（A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B）『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。故选择A。提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3）『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。解析：，故选择C。提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页解析：，故选择A。提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。故选择C。提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（）『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。解析：显然，选择D。

概率论与数理统计学习地总结

概率论与数理统计学习报告学院学号：姓名：

概率论与数理统计学习报告通过短短一学期的学习，虽然学习、研究地并不深入，但该课程的每一处内容都有不同的奇妙吸引着我，让我对它在生活中饰演的角色充满遐想；它将我带入了一个由随机变量为桥梁，通过表面偶然性找出其内在规律性，从而与其它的数学分支建立联系的世界，让我对这种进行大量的随机重复实验，通过分析研究得出统计规律性的过程产生了极大地兴趣。我很喜欢这门课程，但也不得不说课后在它上面花的时间并不多，因此学得还不深入，但它真的深深地吸引了我，我一定会找时间进一步深入地学习它。先简单地介绍一下概率论与数理统计这门学科。概率论是基于给出随机现象的数学模型，并用数学语言来描述它们，然后研究其基本规律，透过表面的偶然性，找出其内在的规律性，建立随机现象与数学其他分支的桥梁，使得人们可以利用已成熟的数学工具和方法来研究随机现象，进而也为其他数学分支和其他新兴学科提供了解决问题的新思路和新方法。数理统计是以概率论为基础，基于有效的观测、收集、整理、分析带有随机性的数据来研究随机现象，进而对所观察的问题作出推断和预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议。概率论与数理统计是研究随机现象及其规律性的一门数学学科。研究随机现象的规律性有其独特的思想方法，它不是寻求出现每一现象的一切物理因素，不能用研究确定性现象的方法研究随机现象，而是承认在所研究的问题中存在一些人们不能认识或者根本不知道的

随机因素作用下，发生随机现象。这样，人们既可以通过试验来观察随机现象，揭示其规律性，作出决策，也可根据实际问题的具体情况找出随机现象的规律，作出决策。至今，概率论与数理统计的理论与方法已经广泛应用于自然科学、社会科学以及人文科学等各个领域中，并随着计算机的普及，概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。它们不仅是许多新兴学科，如信息论、控制论、排队论、可靠性论以及人工智能的数学理论基础，而且与其他领域的新兴学科的相互交叉而产生了许多新的分支和边缘学科，如生物统计、统计物理、数理金融、神经网络统计分析、统计计算等。概率论应用随机变量与随机变量的概率分布、数字特征及特征函数为数学工具对随机现象进行描述、分析与研究，其前提条件是假设随机变量的概率分布是已知的；而数理统计中作为研究对象的随机变量的概率分布是完全未知的，或者分布类型已知，但其中的某些参数或某些数字特征是未知的。概率论研究问题的方法是从假设、命题、已知的随机现象的事实出发，按一定的逻辑推理得到结论，在方法上是演绎式的。而统计学的方法是归纳式的，从所研究地对象的全体中随机抽取一部分进行试验或观测，以获得试验数据，依据试验数据所获取的信息，对整体进行推断，是归纳而得到结论的。因此掌握它特有的学习方法是很重要的。在学习的过程中，不论是老师提出的一些希望我们课后讨论的问题还是自己在做作业看书过程中遇到的一些问题都引发了我的一些

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析：题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下：由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的