《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题
欧阳学文
一、选择题
1.若三点P （1，1），A （2，4），B （x,9）共线，则（ ） A.x=1
B.x=3
C.x=
D.x=51
2.与向量a=(5,4)平行的向量是（ ） A.（5k,4k ） B.(,)
C.(10,2)
D.(5k,4k)
3.若点P 分
所成的比为，则A 分
所成的比是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量a 、b ，a·b=40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A.60°
B.60°
C.120°
D.120° 5.若|ab|=,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（ ） A.10
B.10
C.10
D.10
6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c ＝()
A.? ?????79，73
B.? ?????－73，－79
C.? ?????73，79
D.? ?????－79，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂
直，则x的值为（）
A. B. C.2 D.
8.设点P分有向线段的比是λ，且点P在有向线段的延长线上，则λ的取值范围是（）
A.(∞,1)
B.(1,0)
C.(∞,0)
D.(∞,)
9.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,2)平移后得C′的解析式为（）
A.y=x+10
B.y=x6
C.y=x+6
D.y=x10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后，得到y=x2的图像，则a等于（）
A.(2,1)
B.(2,1)
C.(2,1)
D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D的坐标是（）
A.(2a,b)
B.(ab,a+b)
C.(a+b,ba)
D.(ab,ba)
二、填空题
13.设向量a=(2,1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2，则b=。
14.已知：|a|=2,|b|=,a与b的夹角为45°，要使λba垂直，则λ=。
15.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b=。
16.在菱形ABCD中，（+）·（）=。
三、解答题
17.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且
AB=2CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。
18．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.
19.设e1与e2是两个单位向量，其夹角为60°，试求向量a=2e1+e2,b=3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A（4，2）为两个顶点作等腰直角三角形
OAB ，∠B=90°，求点B 的坐标和。
21.已知,的夹角为60o, ,
,当当
实数为何值时，⑴∥ ⑵ 22.已知△ABC 顶点A （0，0），B （4，8），C （6，4），
点M 内分
所成的比为3，N 是AC 边上的一点，且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半，求N 点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1．(全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 、满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
A ．150
B ．120°
C ．60° D．30°
2．(四川高考)设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )
A ．(7,3)
B ．(7,7)
C ．(1,7)
D ．(1,3)
3．如图，已知AB
→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD
→，则AD →等于( )
A ．a ＋34bB.14a ＋34bC.14a ＋14bD.34a ＋1
4
b
4．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c
＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c ＝( ) A.? ?????79，73B.? ?????－73，－79C.? ?????73，79D.? ?????－79，－73 5．(启东)已知向量p ＝(2，x －1)，q ＝(x ，－3)，且p⊥q，
若由x 的值构成的集合A 满足A ?{x|ax ＝2}，则实数a 构成的集合是( )
A ．{0}
B ．{23}
C ．?
D ．{0，2
3}
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果
2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2，则b 等于( )
A.1＋32B ．1＋3C.2＋32
D ．2＋3
7．(银川模拟)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( ) A ．2a km B ．a kmC.3a km D.2a km
8．在△ABC 中，若BC
→2＝AB →·BC →＋CB →·CA →＋BC →·BA →，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
9．已知等腰△ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是( )
A.32
B. 3
C.158
D.157
10．已知D 为△ABC 的边BC 的中点，在△ABC 所在平面
内有一点P，满足PA→＋BP→＋CP→＝0，设|PA→|
|PD→|
＝λ，则λ的值
为()
A．1B.1
2
C．2D.
1
4
二、填空题
11．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ________.
12．(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°，若向
量c＝a＋b，且c⊥a，则|a|
|b|
＝________.
13．已知向量a＝(tanα，1)，b＝(3，1)，α∈(0，π)，且a∥b，则α的值为________．
14．(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
15．(江苏高考)满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC 的面积的最大值是________．
三、解答题
16．设a＝(－1,1)，b＝(4,3)，c＝(5，－2)，
(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；
(2)求c在a方向上的投影；
(3)求λ1和λ2，使c＝λ1a＋λ2b.
17．如图，已知A(2,3)，B(0,1)，C(3,0)，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE∥BC，且DE 平分△ABC 的面积，求点D 的坐标．
18．(厦门模拟)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、
B(0,3)、C(cosα，sinα)，α∈? ?????
π2，32π. (1)若|AC
→|＝|BC →|，求角α的值；
(2)若AC →·BC →＝－1，求2sin2α＋sin2α1＋tanα
的值．
19．(南充模拟)在△ABC 中，已知内角A ＝π
3，边BC ＝
23，设内角B ＝x ，周长为y.
(1)求函数y ＝f(x)的解析式和定义域；
(2)求y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状．
20．(福建高考)已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(3，－1)，m·n＝1，且A 为锐角． (1)求角A 的大小；
(2)求函数f(x)＝cos2x ＋4cosAsinx(x∈R)的值域．
21．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sinC.
(1)若a ＝3，b ＝4，求|CA
→＋CB →|的值；
(2)若C ＝π3，△ABC 的面积是3，求AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA
→·AB →的值．
《平面向量》测试题
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.A
6.D
7.D
8.A
9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
==a,……=+= b+a,……
== b+aa= b a,……
=+=++= b a,……
==ab。……
18．【解析】(1)∵a＝(－1,1)，b＝(4,3)，且－1×3≠1×4，∴a与b不共线．
又a·b＝－1×4＋1×3＝－1，|a|＝2，|b|＝5，
∴cos〈a，b〉＝
a·b
|a||b|
＝
－1
52
＝－
2
10
.
(2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7∴c在a方向上的投影为
a·c |a|＝
－7
2
＝－
7
2
2.
(3)∵c＝λ1a＋λ2b，
∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)，
∴??
?
4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2
，解得?????
λ1＝－237
λ2＝3
7
.
19.[解]∵a=2e1+e2,∴|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7,∴|a|=
。 同
理
得
|b|=
。
又
a·b==
（2e1+e2）·(3e1+2e2,)=6e12+ e1·e2+2e22=，
∴cosθ=
=
=,∴θ=120°.
20.[解] 如图8，设B(x,y), 则
=(x,y),
=(x4,y2)。
∵∠B=90°，∴⊥
，∴x(x4)+y(y2)=0，即
x2+y2=4x+2y 。①
设OA 的中点为C ，则C(2,1), =（2，1），
=(x2,y1)
∵△ABO 为等腰直角三角形，∴⊥，
∴2(x2)+y1=0，即2x+y=5。②
解得①、②得或
∴B(1,3)或B(3,1)，从而=(3,1)或
=（1,3）
21. ⑴若∥ 得 ⑵若
得
22.[解] 如图10，
==。
∵M 分的比为3，∴=，则由题设条件得 =
，∴
=，∴
=2。
由定比分点公式得
∴N(4,)。
文科数学 [平面向量]单元练习题
答案
一、选择题
，
c2
2＝－∴a·b ，c2＝b)2＋∵(a 【解析】 B ．1 B.
故选120°.〉＝b ，a ，〈1
2
＝－a·b |a||b|〉＝b ，a 〈cos
2．A 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．
BC →34
＋a ＝BD →＋AB →＝AD → 【解析】 B ．3 b.
34
＋a 14＝a)－(b 34＋a ＝)AB →－AC →(34＋a ＝ 4．D 【解析】 设c ＝(x ，y)，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，a
＋b ＝(3，－1)．
∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)， ∴2(y＋2)＝－3(x ＋1),3x －y ＝0.
D.
，故选7
3
＝－y ，79＝－∴x 5．D 【解析】 ∵p⊥q，∴2x－3(x －1)＝0，
即x ＝3，∴A＝{3}．又{x|ax ＝2}?A ， ∴{x|ax＝2}＝?或{x|ax ＝2}＝{3}，
，
2
3
＝a 或0＝∴a ．
}2
3
，{0构成的集合为a 实数∴ ，
6＝ac 得3
2
＝ac sin 30°12由 【解析】 B ．6 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a ＋c)2－2ac －2accos30°，
，
32＋4＝b2即
1.
＋3＝∴b
7．C 【解析】 如图，△ABC 中，
AC ＝BC ＝a ，∠ACB＝120°.
由余弦定理，
得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
，
3a2＝)1
2
－2a2×(－a2＋a2＝ a.
3＝∴AB
BA
→·BC →＋CA →·CB →＋BC →·AB →∵ 【解析】 B ．8 ，
CA →·CB →＝CA →·CB →＋)BA →＋AB →·(BC →＝ ，0＝BA →·BC →＝)CA →＋BC →·(BC →＝CA →·CB →－2BC
→∴
为直角三角形．
∴△ABC ，π
2
＝∴∠B 9．D 【解析】 设底边长为a ，则腰长为2a ，
.
15
8
＝?sin A 78＝4a2＋4a2－a22×2a×2a ＝∴cos A D.
，故选15
7
＝∴tan A ，0＝CP →＋BP →＋PA
→∵ 【解析】 C ．10
，
0＝CP →＋BA →，即0＝CP →＋PB →－PA →即 2.
＝|PA
→||PD
→|∴是平行四边形，PCAB 故四边形 二、填空题
11．【解析】 ∵a＝(1,2)，b ＝(2,3)，
∴λa＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.
【答案】 2
12．【解析】 由题意知a·b＝|a||b|cos120°
|a||b|.
1
2
＝－ 又∵c⊥a，∴(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0， .
1
2
＝|a||b|∴，|a||b|12＝a·b ＝－|a|2即 1
2
【答案】 ，
3＝tanα，即0＝3－∴tanα，∵a∥b ．【解析】13
.
π
3
＝∴α，π)，α∈(0又 π
3
【答案】 【解析】 如图，由题意可得OA=50，
14.
OB=30.
AB2=OA2+OB22OA·OB cos120°
而)
1
2
=502+3022×50×30×(
=2 500+900+1 500=4 900，∴AB=70.
【答案】 70
，
x 2＝AC ，则x ＝BC 设 ．【解析】15
AB·BCsinB
1
2
＝S△ABC 根据面积公式得 ，
1－cos2B ×2x 1
2
＝ AB2＋BC2－AC2
2AB·BC
＝
cosB 根据余弦定理得 ，
4－x24x
＝4＋x2－(2x)24x ＝ 代入上式得
，
128－(x2－12)2
16
＝
1－(4－x2
4x )2x
＝S△ABC
，
???
2x ＋x>2
x ＋2>2x
由三角形三边关系有 2.
＋22 . 22取得最大值S△ABC 时，32＝x 故当 22 【答案】 三、解答题 16．【解析】 (1)∵a ＝(－1,1)，b ＝(4,3)，且－ 1×3≠1×4，∴a 与b 不共线． ， 5＝|b|，2＝|a|，1＝－1×3＋1×4＝－a·b 又 . 2 10＝－－152＝a·b |a||b|〉＝b ，a 〈∴cos (2)∵a·c＝－1×5＋1×(－2)＝－7， . 27 2＝－－72 ＝a·c |a|方向上的投影为a 在∴c (3)∵c＝λ1a＋λ2b， ∴(5，－2)＝λ1(－1,1)＋λ2(4,3) ＝(4λ2－λ1，λ1＋3λ2)， . ????? λ1＝－237 λ2＝3 7 ，解得?? ? 4λ2－λ1＝5λ1＋3λ2＝－2 ∴ 所成AB →分D 坐标，关键是求得点D 要求点 ．【解析】17比λ的值，求λ值可由已知条件△ADE 是△ABC 面积一半入手，利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求 得． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， 2.? ? ? ?? ?AD AB ＝S△ADE S△ABC ∴ . 1 2 ＝AD AB ，即12＝2? ?? ?? ?AD AB 由已知，有 ，利用分点定义，λ比为所成的AB →分D 设点 1. ＋2＝12－1 ＝ λ得 ， 2－2＝2 1＋2＋1 ＝ x 的横、纵坐标为D 得点∴ . 2－3＝3＋2＋1 1＋2＋1 ＝ y ． )2－3，2－(2坐标为D 则点 ， sinα)，3－(cosα＝AC →(1)∵ ．【解析】18 BC →，|BC →|＝|AC →|且3)－sinα，(cosα＝ ∴(cosα－3)2＋sin2α＝cos2α＋(sinα－3)2， 整理，得sinα＝cosα，∴tanα＝1. π. 54 ＝∴α，π32<α<π2又 ，1＝－3)－sinα(sinα＋3)－cosα(cosα＝BC →·AC →(2)∵ ∴cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝－1， ， 5 9 ＝－∴2sinαcosα，23＝cosα＋sinα即 2sin2α＋2sinαcosα 1＋sinα cosα ＝ 2sin2α＋sin 2α1＋tanα∴ . 5 9 ＝－2sinαcosα＝ 19．【解析】 (1)△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π， ， π2 3 0 23 sin π 3 ＝sin B BC sin A ＝AC 正弦定理知应用 ＝4sin x. ，? ?? ???23π－x 4sin ＝sin C BC sin A ＝AB ∵y＝AC ＋AB ＋BC ， . ? ???? ?0 2＋? ?? ?? sinx ＋32cosx ＋12sinx 4＝(2)∵y ， 32＋? ?? ?? ?x ＋π6sin 34 ＝ ， π56 <π6＋ 36取得最大值y 时，π 3 ＝x 即π2＝π6＋x 当∴ 此时△ABC 为等边三角形． ， 1＝cosA －sinA 3＝m·n 由题意得(1) ．【解析】20 . 1 2 ＝)π6－sin(A ，1＝)π6－2sin(A . π 3 ＝A ，π6＝π6－A 为锐角得A 由 ， 1 2 ＝cosA 知(1)由(2) 所以f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝1－2sin2x ＋2sinx . 3 2＋)212－2(sinx ＝－ 因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]， ， 3 2 有最大值f(x)时，12＝sinx 因此，当 当sinx ＝－1时，f(x)有最小值－3， ． ]3 2 ，3－[的值域是f(x)所以所求函数 21．【解析】 由(a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sinC ，得 (a2＋b2)sin(A －B)＝(a2－b2)sin(A ＋B)， 由两角和与差的正弦公式展开得： 2b2sin Acos B ＝2a2cos Asin B. 根据正弦定理有：2sin Bcos B ＝2sin Acos A ， 即sin 2B ＝sin 2A ， ∵A、B 为三角形的内角， . π 2 ＝B ＋A 或B ＝∴A CA → ，π2 ＝C ，π2＝B ＋∴A ，A≠B ，则4＝b ，3＝a 若(1) ，CB →⊥ (CA →2＋CB →2＋2CA →·CB →)＝|CB →＋CA →∴| 5. ＝a2＋b2＝ ，三角形为等边三角 b ＝a ，B ＝∴A ，π 2 C≠，则π3＝C 若(2)形． ， 2＝a ，解得3＝a2sin C 1 2 ＝S△ABC 由 AB →·CA →＋CA →·BC →＋BC →·AB →∴ 6. ＝－2π 3 3×2×2cos ＝