(完整版)初二平行四边形的性质和判定知识点整理

初二平行四边形的性质和判定专题

1．平行四边形的定义

(1)定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义有两层意思：①是四边形；②两组对边分别平行．这两个条件缺一不可．

(2)表示方法：

平行四边形用符号“”表示．平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．

(3)平行四边形的基本元素：边、角、对角线．

平行四边形的定义的作用：平行四边形的定义既是性质，又是判定方法．

①由定义可知平行四边形的两组对边分别平行；

②由定义可知只要四边形中有两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形．

【例1】对于平行四边形ABCD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是()．A．平行四边形ABCD表示为“ACDB”

B．平行四边形ABCD表示为“ABCD”

C．AD∥BC，AB∥CD

D．对角线为AC，BO

解析：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知平行四边形的两组对边平行，故选C.

答案：C

2．平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等．例如：如图①所示，在ABCD中，AB CD，AD BC.

由上述性质可得，夹在两条平行线间的平行线段相等．如图2，直线l1∥l2.AB，CD是夹在直线l1，l2间的平行线段，则四边形ABCD是平行四边形，故

AB CD.

(2)平行四边形的对角相等，邻角互补．例如：如图①所示，在ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠BAD＝∠BCD.∠ABC＋∠BAD＝180°，∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BCD＋∠CDA＝180°，∠BAD＋∠CDA＝180°.

(3)平行四边形的对角线互相平分．例如：如图①所示，在ABCD中，OA＝OC，OB ＝OD.

图③

(4)经过平行四边形对角线的交点的直线被对边截得的两条线段相等，并且该直线平分平行四边形的面积．例如：如图③所示，在ABCD 中，EF 经过对角线的交点O ，与AD 和BC 分别交于点E ，F ，则OE ＝OF ，且S 四边形ABFE ＝S 四边形EFCD .

【例2】ABCD 的周长为30 cm ，它的对角线AC 和BD 交于O ，且△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，求AB ，AD 的长．

分析：依题意画出图形，如图，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，即AO ＋AB ＋BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

因为OA ＝OC ，OB 为公共边，

所以AB －BC ＝5(cm)．

由AB ＋BC ＝302

＝15(cm)可求AB ，BC ， 再由平行四边形的对边相等得AD 的长．

解：∵△AOB 的周长比△BOC 的周长大5 cm ，

∴AO ＋AB ＋BO －(BO ＋OC ＋BC )＝5(cm)．

∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AO ＝OC ，∴AB －BC ＝5(cm)．

∵ABCD 的周长为30 cm ，

∴AB ＋BC ＝15(cm)．

∴????? AB －BC ＝5，AB ＋BC ＝15，得?

????

AB ＝10，

BC ＝5. ∴AB ＝10 cm ，AD ＝BC ＝5 cm.

3．平行四边形的判定

(1)方法一：(定义判定法)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．

平行四边形的定义是判定平行四边形的根本方法，也是其他判定方法的基础．关于边、角、对角线方面还有以下判定定理．

(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

如图，连接BD ，由AD ＝BC ，AB ＝CD ，可证明△ABD ≌△CDB ，所以∠CDB ＝∠ABD ，∠CBD ＝∠ADB ，从而得到AB ∥CD ，AD ∥BC .由定义得到四边形ABCD 为平行四边形．

其推理形式为：

∵AB＝DC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(3)方法三：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

如图，由∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，

可得∠B+∠C=180°，∠A+∠B=180°.

从而得到AB∥DC，AD∥BC.

由定义得到四边形ABCD为平行四边形，其推理形式为：

∵∠A=∠C，∠B=∠D，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(5)方法五：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

其推理形式为：

如图，∵AD∥BC，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

(1)判定方法可作为“画平行四边形”的依据；(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．

【例3】已知，如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.四边形ABCD是平行四边形，请说明理由．

解：因为AB∥CD，所以∠BAC＝∠DCA.

又因为AO ＝CO ，∠AOB ＝∠COD ，

所以△ABO ≌△CDO .所以BO ＝DO .

所以四边形ABCD 是平行四边形．

4．三角形的中位线

(1)定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

(2)性质：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

(1)一个三角形有三条中位线，每条中位线与第三边都有相应的位置关系和数

量关系；(2)三角形的中位线不同于三角形的中线，三角形的中位线是连接两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形一边的中点和这边所对顶点的线段．

【例4】如图所示，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若△ABC 的周长为10 cm ，则△DEF 的周长是__________cm.

解析：由三角形的中位线性质得，

DF ＝12BC ，EF ＝12AB ，DE ＝12

AC ， 所以△DEF 的周长＝12×10＝5(cm)． 答案：5

5．两条平行线间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一直线的距离，叫做这两条平行线间的距离．

如图所示，a ∥b ，点A 在直线a 上，过A 点作AC ⊥b ，垂足为C ，则线段AC 的长是点A 到直线b 的距离，也是两条平行线a ，b 之间的距离．

(1)如图，过直线a 上点B 作BD ⊥b ，垂足为D ，则线段BD 的长也是两条平

行线a ，b 之间的距离．于是由平行四边形的性质可知平行线的又一个性质：平行线间的距离处处相等．

(2)两条平行线之间的距离是指垂线段的长度，当两条平行线的位置确定时，它们之间的距离也随之确定，它不随垂线段的位置的改变而改变，是一个定值．

【例5】如图所示，如果l 1∥l 2，那么△ABC 的面积与△DBC 的面积相等吗？由此你还能得出哪些结论？

解：△ABC的面积与△DBC的面积相等．

因为l1∥l2，所以它们之间的距离是一个定值．

所以△ABC与△DBC是同底等高的两个三角形．所以S△ABC＝S△DBC.

结论：l1上任意一点与B，C连接，构成三角形的面积都等于△ABC的面积，这样的三角形有无数个．

6．平行四边形性质的应用

平行四边形性质的应用非常广泛，可以利用它说明线段相等、证明线段平行、求角的度数、求线段的长度、求图形的周长、求图形的面积等．

对平行四边形的性质、平行线的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形、三角形的面积、三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，是解决此类问题的关键．【例6】如图，ABCD的对角线相交于点O，过O作直线EF，并与线段AB，CD的反向延长线交于E，F，OE与OF是否相等，阐述你的理由．

解：OE与OF相等．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BE∥DF，OB＝OD，

∴∠FDO＝∠EBO，∠E＝∠F.

∴△BOE≌△DOF.

∴OE＝OF.

7．平行四边形的判定的应用

熟练掌握判定定理是平行四边形的判定的关键．已学了平行四边形的五种判定方法，记忆时要注意技巧，其中三种方法都与边有关：

(1)一种关于对边的位置关系(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)；

(2)一种关于对边的数量关系(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)；

(3)一种关于对边的数量与位置关系(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．平行四边形的判定方法是今后解决平行四边形问题的基础知识，应该熟练掌握．判定平行四边形的一般思路：

①考虑对边关系：证明两组对边分别平行；或两组对边分别相等；或一组对边平行且相等；

②考虑对角关系：证明两组对角分别相等；

③考虑对角线关系：证明两条对角线互相平分．

【例7】如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当

．．．．的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．(写出一种即可)

关系：①AD∥BC，②AB＝CD，③∠A＝∠C，④∠B＋∠C＝180°.

已知：在四边形ABCD中，__________，__________；

求证：四边形ABCD是平行四边形．

分析：选用①③关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

选用①④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

选用②④关系时，证明一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形；

选用③④关系时，证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

解：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．举例如下：

已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A＝∠C，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.

∵∠A＝∠C，∴∠C＋∠B＝180°.

∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．

8．平行四边形的性质和判定的综合应用

平行四边形的性质和判定的应用主要有以下几种情况：

(1)直接运用平行四边形的性质解决某些问题，如求角的度数、线段的长、证明角相等或互补、证明线段相等或倍分关系；

(2)判定一个四边形为平行四边形，从而得到两角相等、两直线平行等；

(3)综合运用：先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题；或先运用平行四边形的性质得到线段平行、角相等等，再判定一个四边形是平行四边形．

【例8】如图所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，AF 与BE交于G，DF与CE交于H，连接EF，GH，试问EF与GH是否互相平分？为什么？

解：EF与GH互相平分．

理由：在ABCD中，

∵AD BC，AE＝CF，∴AE CF.

∴DE BF.∴四边形AFCE，BEDF都是平行四边形．(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)

∴AF∥CE，BE∥DF.

∴四边形EGFH是平行四边形．(平行四边形的定义)

∴EF与GH互相平分．

9．三角形的中位线性质的应用

三角形的中位线的性质不仅反映了线段间的位置关系，而且还揭示了线段间的数量关

系，借助三角形中位线的性质可以进行几何求值(计算角度、求线段的长度)、证明(证明线段相等、证明线段的不等、证明线段的倍分关系、证明两角相等)、作图，且能解决生活实际问题．

应用三角形中位线定理解决问题时，已知条件中往往给出两个中点，若已知

条件只给出一个中点，必须要证明另一个点也是中点，才能运用此定理．

【例9】在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝10，BC ＝9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )．

A ．9.5

B ．10.5

C ．11

D ．15.5

解析：∵△EDF 是△EAF 折叠而形成的图形，

∴△EDF ≌△EAF .∴∠AEF ＝∠DEF .

∵AD 是BC 边上的高，由折叠可知AD ⊥EF ，

∴EF ∥CB .∴∠AEF ＝∠B ，∠BDE ＝∠DEF .

∴∠B ＝∠BDE .∴BE ＝DE ＝AE .

∴E 为AB 的中点．同理点F 是AC 的中点．

∴EF 是△ABC 的中位线．

∴△DEF 的周长为△EAF 的周长，

即AE ＋EF ＋AF ＝12×(AB ＋BC ＋AC )＝12

×(12＋9＋10)＝15.5. 答案：D

10．平行四边形的性质探究题

平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在对边相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分几方面，因此，由平行四边形可以得到很多相等线段、相等角．所以，要学会利用对比的方法正确区分平行四边形的判定定理和性质定理，正确地运用相关的结论解决相关的问题．

平行四边形的探究型问题，关键是根据平行四边形的性质和判定，构造出平

行四边形．

【例10】如图，已知等边△ABC 的边长为a ，P 是△ABC 内一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D ，E ，F 分别在AC ，AB ，BC 上，试探索PD ＋PE ＋PF 与a 的关系．

解：如图，作DG∥BC交AB于点G，

因为△ABC为等边三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.

所以∠A＝∠AGD＝∠ADG＝60°.所以GD＝AG.

又可得EP＝GD，所以EP＝AG，DP＝GE.

同理可得PF＝EB，所以PD＋PE＋PF＝a.

11．平行四边形的判定的探究题

平行四边形是一类特殊的四边形，并且它是学习矩形、菱形、正方形和梯形的基础．在有关平行四边形判定的探究型问题中，要会判定一个四边形是平行四边形，运动型问题的关键是把运动的问题转化为静止的问题．

运动变化题，这类题的解决技巧是把“运动”的“静止”下来，以静制动，同时注意不同的情况．

【例11】如图所示，已知在四边形ABCD中，AD∥BC(AD＞BC)，BC＝6 cm，点P从A点以1 cm/s的速度向D点出发，同时点Q从C点以2 cm/s的速度向B点出发，设运动时间为t秒，问t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

解：由题意知，AP＝t，QC＝2t，则BQ＝6－2t，

若四边形ABQP为平行四边形，因为AD∥BC，

只需AP＝BQ即可，即t＝6－2t，解得t＝2.

答：当t为2秒时，四边形ABQP是平行四边形．