1数与式专题

数与式

聚焦1、实数

考点一实数的分类

1．按实数的定义分类

2．按正负分类

考点二实数的有关概念

1.正数：像+12，1.3，258这样大于0的数（“＋”通常省略不写）叫正数.

2.负数：像-3，-0.1这样在正数前加上“﹣”（负）的数叫负数，负数小于0.

3.有理数的分类：

4.数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.

数轴的画法：

（1）画一条水平的直线.

（2）在直线上适当选取一点为原点.

（3）通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）.

（4）根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次标为1，2，3，…，从原点向左，用类似方法依次标出-1，-2，….

5、相反数：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 特别地，0的相反数是0.

性质:若a,b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a,b互为相反数.

相反数的几何意义：一般地，在数轴上，互为相反数的两个数对应的点在原点的两侧，并且到原点的距离相等.

6、绝对值：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.

符号表示：数a的绝对值记作，读作a的绝对值.

绝对值的代数意义用式子可表示为：

或

考点三平方根、算术平方根、立方根

1．平方根

(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±(a≥0)．

(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

2．算术平方根

(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作.零的算术平方根是零，即＝0.

(2)算术平方根都是非负数，即≥0(a≥0)．

3．立方根

(1)定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作.

(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．

考点四科学记数法、近似数、有效数字

1．科学记数法

把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．

2．近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

考点五非负数的性质

1．常见的三种非负数：．

2．非负数的性质：

(1)非负数有最小值是零；

(2)任意几个非负数的和仍为非负数；

(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.

考点六实数的运算

1．基本法则：

（1）有理数加法法则

（ⅰ）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

（ⅱ）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 互为相反数

的两个数相加得0.

（ⅲ）一个数同0相加仍得这个数.

（2）有理数减法法则

减去一个数，等于加这个数的相反数. 把有理数的减法利用相反数变成加法进行运算.

（3）有理数的乘法

（ⅰ）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.

（ⅱ）任何数与0相乘，都得0.

倒数:乘积为1的两个数互为倒数.一个正数的倒数仍是正数，一个负数的倒数仍是负数，0没有倒数.

（4）有理数除法法则：

（ⅰ）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.

（ⅱ）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.

（5）有理数的乘方：

求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方（或a的n

次幂）.

（6）有理数乘方的运算方法

（ⅰ）根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再利用乘法的运算方法进行计算.

（ⅱ）先确定幂的符号，再求幂的绝对值.

2．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．

3．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．

4．零指数幂和负整数指数幂

(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；

(2)负整数指数幂的意义为：(a≠0，p为整数)．

考点七实数的大小比较

1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．

2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．

3．取差比较法

(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜b．

4．倒数比较法

若则a＜b．

5．平方法：因为由a＞b＞0，可得，所以我们可以把的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

聚焦2 整式及因式分解

考点一整式的有关概念

1．整式

整式是单项式与多项式的统称．

2．单项式

单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．

3．多项式

几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．

考点二整数指数幂的运算

正整数指数幂的运算法则：

(m，n是正整数)．

考点三同类项与合并同类项

1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．

2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．

考点四求代数式的值

1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．

2．求代数式的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．

考点五整式的运算

1．整式的加减

(1)整式的加减实质就是合并同类项；

(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．

2．整式的乘除

(1)整式的乘法

①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．

③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．

(2)整式的除法

①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.

3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；

(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.

考点六因式分解

1．因式分解的概念

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

2．因式分解的方法

(1)提公因式法

公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．

(2)运用公式法

①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．

②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.

聚焦3 分式

考点一分式

1．分式的概念：形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．2．分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式中，若B≠0，则分式有意义；若B＝0，那么分式没有意义．

3．分式值为零的条件：在分式中，当A＝0且B≠0时，分式的值为0.

考点二分式的基本性质

分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：

(其中M是不等于0的整式)．

考点三分式的约分与通分

1．约分

分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．

2．通分

分式通分：将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．

考点四分式的运算

1．分式的加减法

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即.

2．分式的乘除法

分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3．分式的混合运算

在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．

1 . 现实生活中，如果收入1000元记作+1000元，那么－700元表示（）

A．支出700元B．收入700元C．支出300元D．收入300元【答案】A

【解析】

【分析】

根据具有相反意义的量的概念即可得出答案．

【详解】

收入1000元记作+1000元，那么－700元表示支出700元，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查具有相反意义的量，理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关键．