《向量在几何中的应用技巧总结》
向量在几何中的应用技巧总结
解决立体几何问题“平移是手段，垂直是关键”，空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。两向量共线易解决平行，两向量的数量积则易解决垂直、两向量所成的角、线段的长度问题。合理地运用向量解决立体几何问题，在很大程度上避开了思维的高强度转换，避开了添加辅助线，代之以向量计算，使立体几何问题变得思路顺畅、运算简单。
1. 证平行、证垂直
具体方法利用共线向量基本定理证明向量平行，再证线线、线面平行是证明平行问题的常用手段，由共面向量基本定理先证直线的方向向量与平面内不共线的两向量共面，再证方向向量上存在一点不属于平面，从而得到线面平行。
证明线线、线面垂直则可通过向量垂直来实现。
例1 如图1，E、F分别为空间四边形ABCD中AB、CD的中点，证明AD、EF、BC平行于同一平面。
图1
证明：
→
+
→
+
→
=
→
DF
AD
EA
EF，且
→
+
→
+
→
=
→
CF
BC
EB
EF
又
→
-
=
→
→
-
=
→
CF
DF
EB
EA，
所以
→
+
→
=
→
+
→
BC
AD
EF
EF
即
→
+
→
=
→
+
→
=
→
BC
2
1
AD
2
1
)
BC
AD
(
2
1
EF
可知，→
EF与
→
→
BC
AD、共面，所以EF与AD、BC平行于同一平面。
例2. 已知A （1，－2，11），B （4，2，3），C （6，－1，4），则ΔABC 是___________。
分析：=→AB （3，4，－8），=→AC （5，1，－7），=→BC （2，－3，1）
显见：0BC AC =→?→，故ΔABC 为直角三角形。
2. 求角、求距离
如果要想解决线面角、二面角以及距离问题就要增加平面法向量的知识。 定义：如果n ⊥α，那么向量n 就叫平面α的法向量。
求解方法：???=?=?0
b n 0a n （1）异面直线所成的角α，利用它们所对应的向量转化为向量的夹角θ问
题，但]0[πθ，∈，]20[πα，∈，所以|
b ||a ||b a ||cos |cos ??==θα （2）直线与平面所成的角，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余
角（或补角的余角）。如图2：|n op cos |sin >→<=，θ。
图2
（3）求二面角，转化为两平面法向量的夹角或夹角的补角，显见上述求法都避开了找角的繁琐，直接计算就可以了。
求点面距离，转化为此点与面内一点连线对应向量在法向量上投影的绝对值。
例3. （2005年高考题）如图3，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝1，直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，AE 垂直BD 于E ，F 为A 1B 1的中点。
（1）求异面直线AE 与BF 所成的角。
（2）求平面BDF 与平面AA 1B 所成二面角（锐角）的大小。
（3）求点A 到平面BDF 的距离。
图3
解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图3，
所以A （0，0，0），B （2，0，0），F （1，0，1），因为直线BD 与平面AA 1B 1B 所成的角为30°，所以∠DBA ＝30°
又AB ＝2，AE ⊥BD ，所以AE ＝1，AD ＝
332，因为E （21，2
3，0），D （0，332，0） （1）因为)101(BF )02
321(AE ，，，，，-=→=→ 所以42221|
BF ||AE |BF AE BF AE cos -=-=→?→→?→>=→→<， 即异面直线AE 、BF 所成的角为4
2arccos （2）易知平面AA 1B 的一个法向量m ＝（0，1，0），设n ＝（x ，y ，z ）是
平面BDF 的一个法向量，)03
322(BD ，，-=→ 由??
???=→?=→
???????→⊥→⊥0BD n 0BF n BD n BF n