高一数学三角恒等变换

高一数学 三角恒等变换

一、考点、热点回顾

1.诱导公试：奇变偶不变，符号看象限

2.同角三角函数的基本关系式：

22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θ

cos sin ，tan 1cot θθ?=

3.和差角公式：

①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ○3β

αβ

αβαtan tan 1tan an )tan(?±=± t

4.倍角公式：

①θ

θ

θθθ2

tan 1tan 2cos sin 22sin +==②2222cos2cos sin 2cos 112sin θθθθθ=-=-=- ○3θ

θ

θ2

tan 1an 22tan -=

t ○4sin3a =3sin a -4sin3a ○5cos3a =4cos3a -3cos a 5.降次升角公式： ○121cos2sin 2θθ-=

○22

2cos 1cos 2θθ+= ○31

sin cos sin 22θθθ= 6.万能公式：

○122tan sin 21tan θ

θθ

=

+ ○2 221tan cos21tan θ

θθ

-=

+

7.半角公式：（符号的选择由2θ

所在的象限确定）

①2cos 12

sin

θθ

-±

= ○22

cos 12cos θ

θ+±= ○31cos sin 1cos tan 2

1cos 1cos sin θ

θθθ

θθθ

--=±

==

++

8.辅助角公式:

sin cos a b αα±=22sin()a b α?+±,(tan b

a

?=

). =22cos(),

tan )a

a b b

αγγ+=（. 二、典型例题

1．已知角α的终边过点p(－5，12)，则cosα= ，tanα= ． 2．若cosθtanθ＞0，则θ是 ( )

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一、二象限角

D ．第二、三象限角 3．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( )

A ． 14

B ． 34

C ． 114

D ． 94

4．已知sin(π+α)=－3

5，则 ( )

A ．cosα= 45

B ．tanα= 34

C ．cosα= －45

D ．sin(π－α)= 3

5

5．已tanα=3，4sinα－2cosα

5cosα＋3sinα的值为 ．

6．化简1+2sin(π-2)cos(π+2) = ．

7．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ= 5

9，那么sin2θ等于 ( )

A ．

2 2

3 B ．－2 2 3 C ．23 D ．－ 2

3

8、设θ是第二象限角，且满足|sin θ2|= －sin θ2 ，θ

2

是_____________________象限的角?

三、习题练习

1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）

A ．B=A∩C

B ．B ∪C=C

C ．A C

D ．A=B=C 2．已知α是第二象限角，那么

2

α是

（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第二或第四象限角

D ．第一或第三象限角 3、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ?等于 ( )

A ．32

-

B ．

32

C ．

12

D ． 12

-

4、化简1160-?2sin 的结果是 ( )

A ．cos160?

B ．cos160-?

C ．cos160±?

D ．cos160±? 5、A 为三角形ABC 的一个内角,若12

sin cos 25

A A +=

,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 6、已知,2

4,81cos sin π

απαα<<=

?且则=-ααsin cos . 7、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长( )

A ．2

B ．

1

sin 2

C ．

1sin 2

D ．

2sin

8、已知3

tan 3,2

απαπ=<<,求sin cos αα-的值.

9、已知=-=-ααααcos sin ,4

5

cos sin 则 ． 10、已知5

1

cos sin ,02=+<<-x x x π.（I ）求sin x －cos x 的值；

11、已知tanα=－13，则1

2sinαcosα+cos 2α = ．

12、

1－2sin10°cos10° cos10°－1－cos 2170°

的值为

c o s 103s i n 10

1c o s 80

+

=-

13、证明1+2sinαcosα cos 2α－sin 2α =1+ tanα

1－tanα．

14.求sin 6sin12sin 24sin 48???的值

15、已知α是第三角限的角，化简α

α

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+--

-+

16、已知2

1t an -=x ，则1cos s in 3s in 2

-+x x x =______

17、求函数2

12sin 5cos y x x =-+的最大值和最小值。

四、课后反馈

1、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα

-=-+那么的值为

（ ）

A ．－2

B ．2

C ．

2316

D ．－

2316

2、函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若 __________

3、化简

sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π)

cos(π-α)tan(3π-α)

．

4、已知tanθ=3．求cos 2θ+sinθcosθ的值．

5． 已知α是钝角，那么α

2

是 （ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第一与第二象限角

D ．不小于直角的正角

6． 角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cosα的值是 （ ）

A ．

3 5 B ． 45 C ．－ 35 D ．－ 45

7．已知点P(sinα－cosα，t anα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )

A ．( π2， 3π4)∪(π， 5π4)

B ．( π4， π2)∪(π， 5π4)

C ．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2)

D ．( π4， π2 )∪(3π4

，π)

8．若sinx= － 35，cosx =4

5

，则角2x 的终边位置在 ( )

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 9．若4π＜α＜6π，且α与－

2π

3

终边相同，则α= ． 10、角α终边在第三象限，则角2α终边在 象限．

11．已知｜tanx ｜=－tanx ，则角x 的集合为 ． 12．如果θ是第三象限角，则cos(sinθ)·sin(sinθ)的符号为什么？

13．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．

14．sin600°的值是 （ ） A ．12 B ．－ 12 C ． 3 2 D ．－ 3 2

15、sin(π4+α)sin （π

4－α）的化简结果为 （ ）

A ．cos2α

B ．12cos2α

C ．sin2α

D ． 1

2

si n2α

16、已知sinx+cosx=1

5，x ∈［0，π］，则tanx 的值是 （ ）

A ．－34

B ．－ 43

C ．±43

D ．－34或－43

17、已知tanα=－13，则1

2sinαcosα+cos 2α = ．

18、若不等式log a x >sin2x ，（a >0，a ≠1）对于任意的x ∈（0，

4

π

）恒成立，求实数a 的范围。