高中必修五数学数列讲义

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第二章数列

第一节：数列及其通项公式

一．数列的概念

1．数列的定义：；2．表示法：；

3．数列的分类：；

4．通项公式：；

5．递推公式的概念：；注意：①数列与集合有本质的区别；②项与项数的区别；③与的a}a{nn 区别；④不是每一个数列都有通项公式；⑤是n的函数。a n二．数列通项公式的求法

1．根据数列的有限项，写出数列的通项公式。

练习

1．已知数列{a }的前几项，写出数列的一个通项公式n（1）1，4，9，16，……；a = ;

……；a = ; （2）,,,,n

n2468

81392731133）3（ a = ; ,,,,,1,,n 65423（4）9，99，999，9999，……；a

= ;

n

（5）7，77，777，7777，……；a = ;

n大全．

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（6）7，-77，777，-7777，……；a = ; n

（7）0.5,0.55,0.555,0.5555, ……；a

= ; n（8）1．-1，1，-1，……；a = ; n（9）1，0，1，0，……；a = ;

n（10）11，101，1001，10001，……；a

= ;

（11）……；a = ;

n1234

,41,2,3,n53425713 = ; （12）；a,,,,n16482372617210

= ;

）13，……；a（?,?1,,?,,

n

1311379

2．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，……，中x,y,z的值依次是（）

A 42，41，123

B 13，39，123

C 24，23，123

D 28，27，123

3．数列1，1，2，3，5，8，……；的第7项是。1?(n为奇数）?，中，4．数列}a{?an?nn?1n?（n?2)(n为偶数）?则的前5项

是。}{a n x-1，设已知函数5. *)?N)(?af(nn?fx)(n x(1)求证：；1?a n大全．

实用文档是递增数列还是递减数列？为什么？{a（2） }n

项和求数列的通项公式2．已知数列的前n 的通项公式；项和为，求数列{a }）已知数列{a }的前n（121?n?2n?S nn n

}，求数列{a的通项公式。已知数列{a }的前n项和为（2）2n??2nS nn n 式项的公前n项和求通注意：1.用数列的aS nn

是：；用有通出的公式具什2.么时候运用a=S-S求

n-1nn。性：

练习： = ; an 项和为,则通项 }(3) 已知数列{a的前1?n n1)?S?(nn n

= ; ,项和为则通项a（4）已知数列{a }的前n n2?3S?nn n

= ;

则通项的前n项和为,a （5）已知数列{a})n?Slog(1?nn1n

,则通项a n 数6（）已知列{a}的前项和为

10111

????S nn n21n?nn222= ;

注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。

大全．

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（2）要注意不要忽视n=1的情形，这是大家易出错的地方。

3．用递推公式求数列的通项公式

a），则它，的前5 项列（1）数中1?n4,2,3,(2,a?n?a?}{a nn1a1?1n?

是。则。（2）数列中，

?,?aa?aaa{}aa?1,?2,7nn?2n1n?21（3）数列的通项公式； }，求数列中，满足{a2??{a}a?2,aa n nnn?11 }的通项公式；，求数列{a中，满足（4）数列n?a?2,?a{}aa n nn1n?1的通项公式；5（）数列中，满足{a，求数

列 }a2a}?a2,a?{n n1n?1n n }中，满足（6）数列，求数列{a的通项公式；}{aa??a2,a n nnn1?11?n第二节：等差数列

一.1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

2.通项公式：或d)m(n1)d?a?a??a?a(n?mnn1

3.等差中项：成等差数列，A叫a,b的等差中项（注：任意两个数都有ba,A,a?b等差中项）?A2

4.证明一个数列是等差数列的方法：

一般用（常数），而不用其它等价形式，若确实无法证明d??aa n1n?，有时也可采用证明来完成。)?(,n?a??ad??aaaa21n?1?nnn1nn?大全．

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5.等差数列的性质：

（1），单增；，单减；，是常数列。aa0?dd?0?0d nn（2）等差数列中任意连续的三项也成等差数列，反之亦然。

（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成（，反之亦b?a?kn)?Rk,b n 然。

一个数列是等差数列，则其前n项和可写成（，反2Bn?An?S)?RA,B n之

亦然。

（4）数列是等差数列，若m+n=p+q，则a?a?aa?}{a qmnpn（5）数列是等差

数列，项数m,p,n成等差数列，那么也成等差a,,aa}a{npmn数列。

（6）数列是等差数列，则仍成等差数列。S?,S?S{a}SS,m2m2m3mmn二.等差

数列的前n项和：

n(a?a)n(n?1)或n1d?S?na?S1nn22练习与应用：

通项公式、前n项和公式的基本运算

1．在等差数列{a}中，a=10,a=31,求首项a与公差d.

15n122.在等差数列{a}中，a=-5,a=a+6,那么a= . 1n246

3.在等差数列{a}中，a=8,a=20,则a= . 2520n15

4. 在等差数列{a}中，a+a+a=9,a aa= -21,求通项a.

n735n285大全．

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5.在等差数列{a}中，a=8,a=20,则a= .

751560n仍成等差数列S,S?S,S?S mm3m2mm26. 在等差数列{a}中，

S=310，S=1220，求S与通项a. n1020nn

若m+n=p+q，则a??aa?a qpmn6．在等差数列{a}中，

a+a+a+a+a=450,则a+a= . 84253n762-6x-1=0

的两个根，求a+a+a+a+a7.a,a是方程x= . 1198731015

8．在等差数列中，，则该数列的前5项和为（）2{a}a?3n（A） 10 （B） 16 （C） 20 （D） 32

9.在等差数列中，表示前项和，且，则的值为SS?aa?}{aa?18n n982n5

（）（A） 18 （B） 60 （C） 54 （D） 27 10.等差数列{a}，，则项数n为（）)9,?240,a?30(n?S?18,S n4n9n?11．在等差数列{a}中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和n 为286，则项数n= .

12.在等差数列中，表示前项和，且，当取得最大值SS0??S}{a0,Sn nn1312n 时的值为（）n（A） 6 （B） 7 （C） 12 （D）不能确定

13. 若是等差数列，首项，，，则使前项和0?a?aa{}a??0a0a?n24242323n1成立的最大自然数是（）0S?n n大全．

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（A） 48 （B） 47 （C） 46 （D） 45

14（04年重庆卷.文理9）若数列是等差数列，首项}a{n，则使前n项和成立的最大自然数n0S?0?a.aa?0,a?a?0,n20042003200420031是：（）

A 4005

B 4006

C 4007

D 4008

Sa7n?1,求，且，T. 15.等差数列{a}，{b}的前n项和为S n11?nnnn bT4n?2711n aS5，则的值为（项和，若的前n ）是等差数列16.设S{a}95?nn a9S531-1

：1 D A： B：2 C：2= .

17．在等差数列{a}则 a≠=m,a=n,a且mn, 中，m+nnmn m,n，有已知等差数列18.，项和，对于不相等的正整数是其前

n S}a{nn .

的值为，则S?mS?,Sn nmn?m其奇数项和、偶数项和

1、若等差数列共有偶数项项（奇数项、偶数项各项）：即n n2a????? a?a?S?a1?532n1奇Sa（中，则偶1?n SSSS?S??S????a? a a????and?n622n42偶偶偶

间一对）、若等差数列共有奇数项：项（奇数项比偶数项多奇奇aS n奇

项）212n?1即Sa?a???????a?aaaS???????a?a a n432562?2n?12n11偶奇Sn为中间项）则（，（项数之比）偶S?S?SaS?a?S?1?n12?n?n1偶奇偶奇1nS?奇19. .等差数列{a}共有2n-1项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和n大全．实用文档

为120，则n= .

20. 如果等差数列{a}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，n则其公差为。

21．如果等差数列{a}的项数是奇数，，{a}的奇数项的和是175，偶1?a nn1数项的和是150，求这个等差数列的公差d。

的最值问题S n22. 等差数列{a}中，a=2n-10,则的最小值时n= . S nn n

23. 等差数列{a}中，a=2n-11,则的最小值时n= . S nn n 24．在等差数列{a}中, 则前n项和的最小值为（）S,S,S??a?25n n831 A：-80 B：-76 C：-75 D：-74

25.已知等差数列，是其前n项和，且，则下列SSS?}S?S,S?S,a{n876n765结论错误的是（）