线性代数第四版答案
第一章行列式
1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:
(1);
解
=2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8
-0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1)
=-24+8+16-4=-4.
(2);
解
=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc
=3abc-a3-b3-c3.
(3);
解
=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2
=(a-b)(b-c)(c-a).
(4).
解
=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3
=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3
=-2(x3+y3).
2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列得逆序数:
(1)1 2 3 4;
解逆序数为0
(2)4 1 3 2;
解逆序数为4:41, 43, 42, 32.
(3)3 4 2 1;
解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1.
(4)2 4 1 3;
解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3.
(5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n);
解逆序数为:
3 2 (1个)
5 2, 5 4(2个)
7 2, 7 4, 7 6(3个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个)
(6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2.
解逆序数为n(n-1) :
3 2(1个)
5 2, 5 4 (2个)
??????
(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2)(n-1个)
4 2(1个)
6 2, 6 4(2个)
??????
(2n)2, (2n)4, (2n)6,???, (2n)(2n-2)(n-1个)
3.写出四阶行列式中含有因子a11a23得项.
解含因子a11a23得项得一般形式为
(-1)t a11a23a3r a4s,
其中rs就是2与4构成得排列,这种排列共有两个,即24与42.所以含因子a11a23得项分别就是
(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,
(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.
4.计算下列各行列式: (1);
解
.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
=abcd+ab+cd+ad+1.
5.证明:
(1)=(a-b)3;
证明
=(a-b)3.
(2);
证明
.
(3);
证明
(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)
(c4-c3,c3-c2得)
.
(4)
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明
=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
(5)=x n+a1x n-1+???+a n-1x+a n.
证明用数学归纳法证明.
当n=2时,,命题成立.
假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即
D n-1=x n-1+a1x n-2+???+a n-2x+a n-1,
则D n按第一列展开,有
=xD n-1+a n=x n+a1x n-1+???+a n-1x+a n.
因此,对于n阶行列式命题成立.
6.设n阶行列式D=det(a ij),把D上下翻转、或逆时针旋转90?、或依副对角线翻转,依次得
,,,
证明,D3=D.
证明因为D=det(a ij),所以
.
同理可证
.
.
7.计算下列各行列式(D k为k阶行列式):
(1), 其中对角线上元素都就是a,未写出得元素都就是0;
解
(按第n行展开)
=a n-a n-2=a n-2(a2-1).
(2);
解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得
,
再将各列都加到第一列上,得
=[x+(n-1)a](x-a)n-1.
(3);
解根据第6题结果,有
此行列式为范德蒙德行列式.
.
(4);
解
(按第1行展开)
.
再按最后一行展开得递推公式
D2n=a n d n D2n-2-b n c n D2n-2,即D2n=(a n d n-b n c n)D2n-2.于就是.
而,
所以.
(5) D=det(a ij),其中a ij=|i-j|;
解a ij=|i-j|,
=(-1)n-1(n-1)2n-2.
(6), 其中a1a2???a n≠0.
解
.
8.用克莱姆法则解下列方程组:
(1);
解因为
,
,,
,,
所以,,,.
(2).
解因为
,
,,
,,
,
所以
,,,,.
9.问λ,μ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解系数行列式为
.
令D=0,得
μ=0或λ=1.
于就是,当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.
10.问λ取何值时,齐次线性方程组有非零解？
解系数行列式为
=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ)
=(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3.
令D=0,得
λ=0,λ=2或λ=3.
于就是,当λ=0,λ=2或λ=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算
1.已知线性变换:
,
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3得线性变换.
解由已知:
,
故,
.
2.已知两个线性变换
,,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3得线性变换.
解由已知
,
所以有.
3.设,,求3AB-2A及A T B.
解
,
.
4.计算下列乘积:
(1);
解.
(2);
解=(1?3+2?2+3?1)=(10).
(3);
解.
(4);
解.
(5);
解
=(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 a13x1+a23x2+a33x3) .
5.设,,问:
(1)AB=BA吗?
解AB≠BA.
因为,,所以AB≠BA.
(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗?
解(A+B)2≠A2+2AB+B2.
因为,
,
但,
所以(A+B)2≠A2+2AB+B2.
(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?
解(A+B)(A-B)≠A2-B2.
因为,,
,
而,
故(A+B)(A-B)≠A2-B2.
6.举反列说明下列命题就是错误得:
(1)若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A≠0.
(2)若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A≠0且A≠E.
(3)若AX=AY,且A≠0,则X=Y.
解取
,,,
则AX=AY,且A≠0,但X≠Y.
7.设,求A2,A3,???,A k.
解,
,
??????,
.
8.设,求A k.
解首先观察
,
,
,
,
??????,
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立,则k+1时,
,
由数学归纳法原理知:
.
9.设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B T AB也就是对称矩阵.
证明因为A T=A,所以
(B T AB)T=B T(B T A)T=B T A T B=B T AB,
从而B T AB就是对称矩阵.
10.设A,B都就是n阶对称矩阵,证明AB就是对称矩阵得充分必要条件就是AB=BA.
证明充分性:因为A T=A,B T=B,且AB=BA,所以
(AB)T=(BA)T=A T B T=AB,
即AB就是对称矩阵.
必要性:因为A T=A,B T=B,且(AB)T=AB,所以
AB=(AB)T=B T A T=BA.
11.求下列矩阵得逆矩阵:
(1);
解. |A|=1,故A-1存在.因为
,
故.
(2);
解. |A|=1≠0,故A-1存在.因为
,
所以.
(3);
解. |A|=2≠0,故A-1存在.因为
,
所以.
(4)(a1a2???a n≠0) .
解,由对角矩阵得性质知
.
12.解下列矩阵方程:
(1);
解.
(2);
解
.
(3);
解
.
(4).
解
.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1);
解方程组可表示为
,
故,
从而有.
(2).
解方程组可表示为
,
故,
故有.
14.设A k=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+???+A k-1.
证明因为A k=O,所以E-A k=E.又因为
E-A k=(E-A)(E+A+A2+???+A k-1),
所以(E-A)(E+A+A2+???+A k-1)=E,
由定理2推论知(E-A)可逆,且
(E-A)-1=E+A+A2+???+A k-1.
证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).
另一方面,由A k=O,有
E=(E-A)+(A-A2)+A2-???-A k-1+(A k-1-A k)
=(E+A+A2+???+A k-1)(E-A),
故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+???+A k-1)(E-A),
两端同时右乘(E-A)-1,就有
(E-A)-1(E-A)=E+A+A2+???+A k-1.
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A(A-E)=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,
或
由定理2推论知(A+2E)可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|≠0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2≠0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=O?A(A-E)=2E
?A-1A(A-E)=2A-1E?,
又由A2-A-2E=O?(A+2E)A-3(A+2E)=-4E
? (A+2E)(A-3E)=-4 E,
所以(A+2E)-1(A+2E)(A-3E)=-4(A+2 E)-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8?2=-16.
17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.
证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1≠0,
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1,所以
(A*)-1=|A|-1A.
又,所以
(A*)-1=|A|-1A=|A|-1|A|(A-1)*=(A-1)*.
18.设n阶矩阵A得伴随矩阵为A*,证明:
(1)若|A|=0,则|A*|=0;
(2)|A*|=|A|n-1.
证明
(1)用反证法证明.假设|A*|≠0,则有A*(A*)-1=E,由此得
A=A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O,
所以A*=O,这与|A*|≠0矛盾,故当|A|=0时,有|A*|=0.
(2)由于,则AA*=|A|E,取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|≠0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由(1)知|A*|=0,此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.
19.设,AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得(A-2E)B=A,故
.
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
(A-E)B=A2-E,
即(A-E)B=(A-E)(A+E).
因为,所以(A-E)可逆,从而
.
21.设A=diag(1,-2,1),A*BA=2BA-8E,求B.
解由A*BA=2BA-8E得
(A*-2E)BA=-8E,
B=-8(A*-2E)-1A-1
=-8[A(A*-2E)]-1
=-8(AA*-2A)-1
=-8(|A|E-2A)-1
=-8(-2E-2A)-1
=4(E+A)-1
=4[diag(2,-1,2)]-1
=2diag(1,-2,1).
22.已知矩阵A得伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3(A-E)-1A=3[A(E-A-1)]-1A
.
23.设P-1AP=Λ,其中,,求A11.
解由P-1AP=Λ,得A=PΛP-1,所以A11= A=PΛ11P-1、|P|=3,,,
而,
故.
24.设AP=PΛ,其中,,
求?(A)=A8(5E-6A+A2).
解?(Λ)=Λ8(5E-6Λ+Λ2)
=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]
=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).
?(A)=P?(Λ)P-1
.
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1(A+B)B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1(A+B)B-1就是三个可逆矩阵得乘积,所以A-1(A+B)B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(A+B)-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
而,
,
所以,
即.
27.取,验证.
解,
而,
故.
28.设,求|A8|及A4.
解令,,
则,
故,
.
.
29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求
(1);
解设,则
.
由此得?,
所以.
(2).
解设,则
.由此得?,
所以.
30.求下列矩阵得逆阵:
(1);
解设,,则
,.
于就是.
(2).
解设,,,则
第三章矩阵得初等变换与线性方程
组
1.把下列矩阵化为行最简形矩阵:
(1);
解(下一步:r2+(-2)r1,r3+(-3)r1.)
~(下一步:r2÷(-1),r3÷(-2).)
~(下一步:r3-r2.)
~(下一步:r3÷3.)
~(下一步:r2+3r3.)
~(下一步:r1+(-2)r2,r1+r3.)
~.
(2);
解(下一步:r2?2+(-3)r1,r3+(-2)r1. )
~(下一步:r3+r2,r1+3r2. )
~(下一步:r1÷2. )
~.
(3);
解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1. )
~(下一步:r2÷(-4),r3÷(-3) ,r4÷(-5). )
~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2. )
~.
(4).
解(下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2. )
~(下一步:r2+2r1,r3-8r1,r4-7r1. )
~(下一步:r1?r2,r2?(-1),r4-r3. )
~(下一步:r2+r3. )