初二数学 一次函数知识总结及例题解析
一次函数变量之间的关系单元知识总结
【基本目标要求】
—、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感．
二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的对应关系．
三、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测.
四、经历从图象中分析变量之间关系的过程，能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．
【基础知识导引】
一、变量、自变量、因变量的概念
在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式 s=50t 中，速度 50 恒定不变为常量，随 t 取不同数值时也取不同数值，s 与t 都为变量．t 是自变量，s 是因变量．
二、变量之间关系的表示法
【重点难点点拨】
本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念，用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念．本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系．要掌握上述重点、难点，必须注意以下问题：
1.通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测.
2.体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系．
3.能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系．
【发散思维分析】
本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式．本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念．用表格、关系式、图象表示变量之间的关系．尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系，获得信息，对变化关系进行预测．本章安排—定数量的题型发散，转化发散题．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力，转化发散促进数形结合解题．可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势．由数思形，由形定数，数形渗透，互相作用．扬长避短，直入捷径．综上所述，发散思维启迪我们注重观察、分析问题，利用形数转化，寻觅解决问题的方法，为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.
【发散思维应用】
1.小车下滑的时间
2.变化中的三角形
3.温度的变化
4.速度的变化
典型例题
1.在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度 y 与所挂物体的质量x 的一组对应值：
所挂重量 x(kg) 0 1 2 3 4 5
弹簧长度 y(cm) 20 22 24 26 28 30
(1)
(2)当所挂重物为 4kg 时，弹簧多长?不挂重物呢?
(3)若所挂重物为6kg 时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗?
分析抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．
解(1)弹簧长度y,物体重量x 是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量；
(2)当所挂重物为 4kg 时，弹簧长度为 28cm，不挂重物时弹簧长度为 20cm；
(3)当所挂重物为 6kg 时，弹簧长度为 32cm．
2.如图 6—1 所示，梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8．
(1)梯形面积 y 与上底长x 之间的关系式是什么?
(2)用表格表示当 x 从10 变到 20 时(每次增加 1)，y 的相应值；
(3)当 x 每增加 1 时，y 如何变化?说说你的理由；
(4)当 x=0 时，y 等于什么?此时它表示的是什么?
分析(1)根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式；
(2)通过计算列表说明；
(3)由表格中的数据可以观察出；
(4)当上底为零时(即成为一个点)，成为三角形．
解(1) y =1 (x +15)?8
，2
即 y=4x+60；
(2)
x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140
(3)
(4)当 x=0 时，y=60，此时梯形成为了三角形．
3.地壳的厚度约为 8 到40km．在地表以下不太深的地方，温度可按 y=35x+t 计算，其中x 是深度(km)，t 是地球表面温度（℃），y 是所达深度的温度（℃)．
(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?
(2)分别计算当x 为lkm，5km，10km,20km 时地壳的温度(地表温度为
2℃)．解(1)自变量是深度，因变量是温度；
(2)当x=1km 时，y=35x+t=35x×1+2=37(℃)；
当 x=5km 时，y=35x+t=35×5+2=177(℃)；
当x=10km 时，y=35x+t=35×10+2=352(℃)；
当x=20km 时，y=35x+t=35×20+2=702(℃)．
说明初步体会自变量和因变量的数值对应关系，能由自变量的值求得因变量的
值．题型发散
发散1 选择题把正确答案的代号填入题中的括号内．
(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处 d 落下时，弹跳高度 b 与下落高度d 的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )
d 50 80 100 150
b 25 40 50 75
(A)b =d 2(B)b=2d (C) b =
2
(D)b=d+25
(2)某地一天的气温随时间的变化如图 6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是( )
(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h
解(1)用验证法．
当 d=50 时，b =
d
2
当 d=80 时，b =
d
2
=
50
2
=
80
2
= 25 ；
= 40 ；
当 d=100 时，b =
d
2
当 d=150 时，b =
d
2
=
100
= 50 ；
2
=
150
=
75 ．2
因上述数字完全与表格中的数字符
合．故本题应选(C)．
(2)用直接法．
由图 6—2 知一天达到最高气温12℃的时间是 14
时．故本题应选(C)．
发散2 填空题
如图 6—3，△ABC 是等腰三角形，周长是 60cm，腰为 xcm，底为 ycm．
(1)写出用含 x 的关系式来表示 y；
(2)当腰由20cm 变化到25cm 时，底边长由cm 变化到cm；
(3)腰为20cm 时，是什么形状的三角形?若腰为30cm 时，行吗?
分析三角形的周长是三条边长的和．
解：(1)y=60-2x；
(2)底边由 20cm 变化到 10cm；
(3)当腰为 20cm 时，是等边三角形，若腰为 30cm，则无法形成三角
形．纵横发散
发散1 南京市在某一天的地表气温是38℃，据测量每升高1km，气温下降6℃，那么在hkm 的高空，温度 t 是多少?并计算当 h 的值是 6km、10km、12km 时的气温.讨论一下民用飞机在一万米高空飞行时，机舱为什么要与机外空气隔绝?
分析用含h 的代数式来表示气
温．解： t=38-6h．
当 h=6 时，t=2℃；
当 h=10 时，t=-22℃；
当 h=12 时，t=-34℃．
原因有很多，其中一点是机舱外温度非常低．
发散2 婴儿在6 个月、一周岁、2 周岁时体重分别大约是出生时的2 倍、3 倍、4 倍，6 周岁、10 周岁时体重分别约是1 周岁时的2 倍、3 倍．
(1)上述哪些量在发生变化?自变量和因变量各是什么?
(2)某婴儿在出生时的体重是 3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入
下表：
(3)
的?
解：(1)年龄和体重都在变化；年龄是自变量，体重是因变量；
(2)
(3)儿童从出生到 10 周岁之间，随着年龄的增长体重在增
加．转化发散
发散1 图6—4 是某地一天的气温随时间变化的图象．根据图象回答，在这一天中：
(1)什么时间气温最高?什么时间气温最低?最高气温和最低气温各是多少?
(2)20 时的气温是多少?
(3)什么时间的气温为6℃?
(4)哪段时间内气温不断下降?
(5)哪段时间内气温持续不变?
解：(1)凌晨4 时，气温最低，气温是-4℃；16 时气温最高，气温是10℃；
(2)20 时的气温是8℃；
(3)10 时和 22 时的气温都是6℃；
(4)0 时到 4 时和16 时到24 时这两段时间内气温不断下降；
(5)12 时到 14 时这两个小时内气温保持8℃的温度不变．
解法指导(1)气温最低、最高反映在图象上就是找最低点和最高点；
(2)20 时的气温是多少，实质上是求当 t=20 时，T=?
(3)什么时间的气温为6℃，实质上是求当T=6℃时，t=?直线 T=6 与图象交于两点，因此t=10 或 t=22；
(4)图中共有两段时间气温不断下降，不可遗漏；
(5)气温保持不变，指的是T 值保持不变，图中只有t 在12h 到14h 这两个小时满足条
件．发散 2 为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段
达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米 a 元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按 a 元收费，超过的部分每立方米按 c 元收费．该市某户今年 3、4 月份的用水量和水费如下表所示：
设某户该月用水量为 x m3，应交水费为 y(元)．
(1)求 a、c 的值，并写出用水不超过6m3和超过6m3时，y 与x 之间的关系式；
(2)若该户5 月份的用水量为8m3，求该户5 月份的水费是多少元?
解：(1)依题意，有：
当x≤6 时，y=ax；
当 x>6 时，y=6a+c(x-6)．
月份用水量（m3）水费（元）
3 5 7.5
4 9 27
?
?
?7.5 = 5a
由已知，得 ?27 = 6a + 3c ?a = 1.5 解得 ?c = 6
y=1.5x(x≤6),y=9+6(x -6)=6x-27(x>6)． (2)将 x=8 代人 y=6x-27(x>6)， y=6×8-27=21(元)．
答：该户 5 月份的水费是 21 元．
发散 3 如图 6—5 所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系．骑车者九点离开家，十五点回家．根据这个曲线图，回答下列问题：
(1) 到达离家最远的地方是什么时间?离家多远? (2) 何时开始第一次休息?休息多长时间? (3) 第一次休息时离家多远?
(4)11:00 到 12:00 他骑了多少千米?
(5)他在 9:00 到 10:00 和 10:00 到 10:30 的平均速度是多少? (6) 他在何时至何时停止前进并休息用午餐?
(7) 他在停止前进后返回，骑了多少千米?返回时的平均速度是多少? 解 (1)到达离家最远的地方的时间是 12 时，离家 30km ；
(2) 10.5 时开始第一次休息，休息了 0.5h ； (3) 第一次休息时离家 17.5km ；
(4)11:00 到 12:00，他骑了 12.5km ；
(5)9:00 到 10:00 的平均速度是 lOkm ／h ，10:00 到 10:30 的平均速度是 15km/h;
(6) 从 12:00 到 13:00 间停止前进，并休息用午餐较为符合实际情况；
(7) 他在停止前进后返回，骑了 30km ，共用了 2h ，故返回时的平均速度是 15km/h.
知识整合网络
【学习方法指导】
量与量之间存在着相互影响的关系，本章通过丰富的现实情境引入变量对变量之间关系的讨论，使学生体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种方法的认识，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，能用自己的语的描述表格、关系式和图象所表示的关系，并能预测.
关系式是表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，可以依据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值．也可以依据因变量的值求出相应的自变量的值.
由学习常量问题转入学习变量问题，这是数学思维的一种跃升，引导我们前进的是一种崭新的思维方式.
【中考信息传递】
近年来全国各省、市中考题中涉及本章内容的题型多为选择题、填空题，也有部分的应用题及因变量关于自变量的关系式的中档题，应该充分重视．
【中考名题赏析】
题型发散
发散 1 填空题
(1)观察下列图形(图 6—24)，若第①个图形中阴影部分的面积为 1，第②个图形中阴影部分的面积为
27
3 9
，第③个图形中阴影部分的面积为
4 16
，第④个图形中阴影部分的面积为
，…则第n 个图形中阴影部分的面积为(用字母n 表示)
64
(2002 年潍坊市中考试题)
解因为第1 块图形的面积为1，
?3 ?2-1 3
第2 块图形的面积为 ?=;
?4 ? 4
? 3 ?
3-1
9
第 3 块图形的面积为 ?
= ； ? 4 ?
16 ? 3 ?
4-1
27 第 4 块图形的面积为 ?
= ；
? 4 ?
64
?3 ?n -1
第 n 块图形的面积为 4 ? ．
? ?
(2) 如图 6—25，观察下列三角形图案，每行圆点的个数有什么规律?设每个三角形有 n
行，用 n 的代数式表示这两个三角形图案中圆点的总数，为
解 第 1 行圆点个数为 1+n ， 第 2 行圆点个数为 2+(n-1)=1+n ， 第 3 行圆点个数为 3+(n-2)=1+n ， 第 n 行圆点的个数为 n+1．
以上共有 n 行，故这两个三角形图案中圆点的总数为 n(n+1)个． 发散 2 解答题
如图 6—26 表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图象(分别为正比例函数和一次函数)．两地间的距离是 80km ．请你根据图象回答或解决下面的问题：
(1) 谁出发的较早?早多长时间?谁到达乙地较早?早到多长时间? (2) 两人在途中行驶的速度分别是多少?
(3) 请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值
范围)；
? ?
(4) 指出在什么时间段内两车均行驶在途中(不包括端点)；在这一时间段内，请你分别按
下列条件列出关于时间 x 的方程或不等式(不要化简，也不要求解)： ①自行车行驶在摩托车前面； ②自行车与摩托车相遇； ③自行车行驶在摩托车后面．
解 (1)由图可以看出：自行车出发较早，早 3h ；摩托车到达乙地较早，早 3h ．
(2) 对自行车而言：行驶的距离是 80km ，耗时 8h ，所以其速度是：80÷8=10(km／h)；对
摩托车而言：行驶的距离是 80km,耗时 2h,所以其速度是：80÷2=40(km／h)． (3) 设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y=kx ， ∵x=8 时，y=80， ∴80=8k，解得 k=10，
∴表示自行车行驶过程的函数解析式为 y=10x ； 设表示摩托车行驶过程的函数解析式为 y=ax+b ， ∵x=3 时，y=0，而且 x=5 时，y=80；
?0 = 3a + b ∴ ?80 = 5a + b ?a = 40 ，解得 ?b = -120
∴表示摩托车行驶过程的函数解析式为 y=40x-120． (4) 在 3
③自行车在摩托车后面：10x<40x-120.