第1讲-集合的概念与运算

第1讲 集合的概念与运算

基础梳理 1．集合与元素

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

(4)常用数集：自然数集N ；正整数集N *

(或N ＋)；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R . (5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．

2．集合间的基本关系

(1)子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ?B (或B ?A )． (2)真子集：若A ?B ，且A ≠B ，则A B (或B A )．

(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即??A ，?B (B ≠?)． (4)若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n

个，A 的非空子集有2n

－1个． (5)集合相等：若A ?B ，且B ?A ，则A ＝B .

3．集合的基本运算

(1)并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(2)交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (3)补集：?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． (4)集合的运算性质

①A ∪B ＝A ?B ?A ，A ∩B ＝A ?A ?B ；②A ∩A ＝A ，A ∩?＝?； ③A ∪A ＝A ，A ∪?＝A ； ④A ∩?U A ＝?，A ∪?U A ＝U ，?U (?U A )＝A .

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )． A ．{x |3≤x ＜4} B ．{x |x ≥3} C ．{x |x ＞2}

D ．{x |x ≥2}

2．(2011·浙江)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )． A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P

3．(2011·福建)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )． A ．i ∈S B ．i 2∈S C ．i 3

∈S D.2i

∈S

4．(2011·北京)已知集合P ＝{x |x 2

≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1] B. [1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

5．(人教A 版教材习题改编)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________.

考向一 集合的概念

【例1】?已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．

【训练1】 设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2

＋2}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．

考向二 集合的基本运算

【例2】?(2011·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝???

?

??x ∈R |x ＝4t ＋1

t －6，t ∈0，＋∞

，则集合A ∩B ＝________.

【训练2】 (2011·江西)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝?

?????

???

?x ??

?

x －2

x ≤0，则A ∩B ＝( )． A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0

考向三 集合间的基本关系

【例3】?已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ?A ，求实数m 的取值范围．

【训练3】(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ?P ，则由a 的可取值组成的集合为

__________．

(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ?A ，则由m 的可取值组成的集合为____________．

(2011·山东)设集合M ＝{x |x 2

＋x －6＜0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N 等于( )． A ．[1,2) B ．[1,2] C ．(2,3] D ．[2,3]

三、集合问题中的创新问题

【示例】? (2011·浙江)设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合

S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能

的是( )． A ．|S |＝1且|T |＝0

B ．|S |＝1且|T |＝1

C ．|S |＝2且|T |＝2

D ．|S |＝2且|T |＝3

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件

基础梳理

1．命题的概念

在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

命题表述形式

原命题若p，则q

逆命题若q，则p

否命题若綈p，则綈q

逆否命题若綈q，则綈p

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件、必要条件与充要条件

(1)如果p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；

(2)如果p?q，q?p，则p是q的充要条件．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．

2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．

\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|

C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为 .

考向一命题正误的判断

【例1】?有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

考向二四种命题的真假判断

【例2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

考向三充要条件的判断

【例3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的( )．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

基础梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词．

(2)简单复合命题的真值表：

2.全称量词与存在量词

(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．

(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．

(3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．

3．全称命题与特称命题

(1)含有全称量词的命题叫全称命题．

(2)含有存在量词的命题叫特称命题．

4．命题的否定

(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

(2)p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.

考向一 含有逻辑联结词命题真假的判断

【例1】?(2010·新课标全国)已知命题p 1：函数y ＝2x

－2－x

在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x

在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( )． A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4

D ．q 2，q 4

考向二 全称命题与特称命题

【例2】?写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p ：?x ∈R ，x 2

－x ＋14

≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；

(3)r ：?x 0∈R ，x 2

0＋2x 0＋2≤0； (4)s ：至少有一个实数x 0，使x 3

0＋1＝0. [审题视点] 改变量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．

考向三 根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围

例3已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2

－2cx ＋1在? ??

??12，＋∞上为增

函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围.

审题视角 (1)p 、q 真时，分别求出相应的a 的范围；(2)用补集的思想，求出綈p 、綈q 分别对应的a 的范围；(3)根据“p 且q ”为假、“p 或q ”为真，确定p 、q 的真假.

（1） 已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x

在R 上单调递增；命题q ：不等式ax 2

－ax ＋1>0对

?x ∈R 恒成立.若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.

（2）设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式? ??

?

?12|x －1|≥a 的解集为?，命题q ：函数f (x )＝

lg ??????ax 2＋a －2x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求a 的取值范围.

（3）已知p ：?

??

?

??

1－

x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2

≤0 (m >0)，且非p 是非q 的必 要而不充分条件，求实数m 的取值范围．

（4） 设p ：方程x 2

＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2

＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根．求使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围． ．

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）