正弦定理与余弦定理的综合应用说课讲解

正弦定理与余弦定理的综合应用

(本课时对应学生用书第页

)

自主学习回归教材

1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=.

【答案】-1 2

【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C=

222

78-13

278

??=-

2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23，sin C3B，则角A=.

【答案】π6

【解析】由sin C

3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，

所以cos A=

222

b c a

，所以角A=

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.

(第3题)

【答案】176 2

4.(必修5P

26本章测试7改编)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin

C-2a sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45°

【解析】由正弦定理得a2+c2-2ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2

，

因此B=45°.

5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.

【答案】

π0

3?? ???，

【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=

222

a c b

22-

a c ac

≥

2，

因为0

1.测量问题的有关名词

(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.

(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.

(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.

(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.

(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.

2.求解三角形实际问题的基本步骤

(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；

(2)建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；

(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；

(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.

【要点导学】

要点导学各个击破

利用正、余弦定理解常见的三角问题

例1(2016·苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，

c.已知b=4，c=6，且a sin B=23.

(1)求角A的大小；

(2)若D为BC的中点，求线段AD 的长.

【解答】(1)由正弦定理，得a sin B=b sin A.

因为b=4，a sin B=23，所以sin A=3 .

又0

2，所以A=

(2)若b=4，c=6，由余弦定理得

a2=b2+c2-2bc cos A=16+36-2×24×1

2=28，

所以a=2

又因为a sin B=23，所以sin B=

7，

所以cos B=27 7.

因为D为BC的中点，所以BD=DC=

7. 在△ABD中，由余弦定理，

得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos B，

即AD2=36+7-2×6×7×27

=19，

所以AD=

19.

变式(2015·全国卷)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin A sin

(1)若a=b，求cos B的值；

(2)若B=90°，且a=2，求△ABC的面积.

【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.

又因为a=b，所以b=2c，a=2c，

由余弦定理可得cos B=

222

a c b

(2)由(1)知b2=2ac.

因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac，得c=a=2.

所以△ABC的面积为1.

【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.

实际问题中解三角形

例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB 前往B处救援.

(例2(1))

(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(7≈2.646，结果保留两位小数)；

(2)求tan θ的值.

【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan ∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.

(例2(2))

【解答】(1)如图(2)，

在△ABC中，AB=80，

AC=40，∠BAC=120°，

由余弦定理可知

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°，

即BC

8040-28040-

+??? ?

??7

故救援船到达客轮遇险位置所需时间为

407÷60=27

≈1.76 (h).

(2)在△ABC中，

由正弦定理可得sin AB ACB

∠=sin BC BAC

∠，

则sin ∠ACB=AB BC·

sin ∠BAC=

显然∠ACB为锐角，

故cos ∠ACB=

7，tan ∠ACB=

2，

而θ=∠ACB+30°.

所以tan θ=tan(∠ACB+30°)=

tan tan30

1-tan30tan

ACB

∠

变式如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.

(变式)

【解答】设∠ABE=θ，船的速度为v km/h，

则BC=

3v，BE=

3v，

在△ABE中，

sinθ=0

sin30

，即sin θ=

2v.

在△ABC中，

sin(180-)

θ=0

sin120

，

即AC

sin

vθ

415

在△ACE中，

5 3v

??=25+

??-2×5×

??×cos 150°，

化简得25

9v2=25+

400

3+100=

775

3，

即v2=93，所以v=93.

故船速为

93km/h.

例3(2015·苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10

3m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河

岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧?CD

的交点为E.经测量，扇形区域

和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.

(例3)

(1)求烟囱AB的高度；

(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.

【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=h m，在Rt△ABE中，∠AEB=60°，

可求得EB=3 h.

(1)在Rt△ABO中，∠AOB=30°，OB =3h，由OE=103，可求出AB.

(2)在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=AB，在△CBO中，求出cos ∠COB，在△CEO中，求CE的长.

【解答】(1)设AB的高度为h m.

在△CAB中，因为∠ACB=45°，

所以CB=h.

在△OAB和△EAB中，因为∠AOB=30°，∠AEB=60°，

所以OB=3h，EB=

由题意得3h-

=103，解得h=15.

答：烟囱的高度为15 m.

(2)在△OBC中，OC=103m，OB=153m，BC=15 m，

所以cos ∠COB=

222

OC OB BC

OC OB

=2103153

??=

6，

所以在△OCE中，OC=10

3m，OE=103m，

所以CE2=OC2+OE2-2OC·OE cos ∠COE=300+300-600×5

6=100.

答：CE的长为10 m.

变式(2015·苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75°方向且与A相距2n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处，此时两船相距10 n

mile.

(变式(1))

(1)求乙船每小时航行多少海里?

(2)在C处的北偏西30°方向且与C相距

n mile处有一个暗礁E，暗礁E周围2n

mile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.

(变式(2))

【解答】(1)如图(2)，连接AD，

由题知CD=10，AC=20

60×30=10，∠ACD=60°，

所以△ACD为等边三角形，

所以AD=10，又因为∠DAB=45°，

在△ABD中，由余弦定理得

BD2=AD2+AB2-2AB×AD cos 45°=100，BD=10，v=10×3=30(n mile/h).

答：乙船的速度为每小时30 n mile.

(2)在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=2的圆内，

因为∠DAB=∠DBA=45°，

易知直线BD的方程为y =3x，

E的横坐标为AB cos 15°-CE sin 30°，纵坐标为AB sin 15°+CE cos 30°+AC，求得A(53+5，

53-5)，C(53+5，53+5)，E

113

5953

??++

? ??

，

点E到直线BD的距离为d1=|5311-9-53|

=1<2，故乙船有危险；

点E到直线AC的距离为d2=43

3>2，

故甲船没有危险.

以E为圆心，半径为2的圆截直线BD所得的弦长为l=2

r d

=2，

所以乙船遭遇危险持续时间t=2

30=

15(h).

答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续

15h后脱险.

解三角形中的不等关系

微课9

● 典型示例

例4如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP2M在线段PQ上.

(例4)

(1)若OM=

5，求PM的长；

(2)若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.

【思维导图】

【规范解答】(1)在△OMP中，∠P=45°，OM

5OP2.

由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos 45°，

得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.

(2)设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得sin OM OPM

∠=sin OP OMP

∠，

所以OM=

sin45

sin(45)

+，同理ON=

sin45

sin(75)

+，

故S△OMN=1

2×OM×ON×sin ∠MON

4×

220

sin45

sin(45)sin(75)

αα

000

sin(45)sin(4530)

αα

+++

000

sin(45)sin(45)cos(45)ααα

??++++

2000

sin(45)sin(45)cos(45)

ααα

++++

[1-cos(902)]sin(902)

αα

+++

=331

sin2cos2

αα

sin(230)

因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.

所以当α=30°时，sin(2α+30°)取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠

POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为3.

● 总结归纳

(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=A sin(ωx+φ)+B的形式，求得最值.

● 题组强化

1.若△ABC的内角满足sin A2sin B=2sin C，则cos C的最小值是.

【答案】6-2 4

【解析】由sin A2B=2sin C及正弦定理可得a2=2c，

所以cos

222

a b c

a b

+ ?

32-22

a b ab

≥

26-22

ab ab

6-2

，

当且仅当3a2=2b2，即

3时等号成立，所以cos C的最小值为

6-2

2.在锐角三角形ABC中，已知A=2B，则

b的取值范围是.

【答案】(

，)

【解析】因为A+B+C=180°，A=2B，△ABC为锐角三角形，

所以30°

sin2

sin

B=2cos B∈(23

，).

3.已知线段AB外有一点C，∠ABC=60°，AB=200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始h后，两车的距离最小.

(第3题)

【答案】

【解析】如图，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD=80t，BE=50t.

因为AB=200，所以BD=200-80t，问题就转化为求DE最小时t的值.

由余弦定理，得DE2=BD2+BE2-2BD·BE cos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t=12 900t2-42 000t+40 000.当t=

43时，DE最小.

4.(2015·苏州调查)如图，有两条相交成60°角的直路X'X，Y'Y，交点为O，甲、乙两人分别在OX，OY上，甲的起始位置与点O相距3 km，乙的起始位置与点O相距1km.后来甲沿XX'的方向、乙沿YY'的方向同时以4 km/h的速度步行

(第4题)

(1)求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；

(2)设t h后甲、乙两人的距离为d(t)，写出d(t)的表达式，当t为何值时，甲、乙两人之间的距离最短?并求出两人之间的最短距离.

【解答】(1)

220

13-213cos60

+???7(km).

(2)设t h后两人的距离为d(t)，

则当0≤t≤1

4时，d(t220

(1-4)(3-4)-2(1-4)(3-4)cos60

t t t t

16-167

t t+

当t>3

4时，d(t220

(4-1)(4-3)-2(4-1)(4-3)cos60

t t t t

16-167

t t+

当1

4时，d(t220

(4-1)(3-4)-2(4-1)(3-4)cos120

t t t t

16-167

t t+

所以d(t

16-167

t t+

16-3

??t≥0)，

当t=1

23km.

答：当t=1

23km.

1.(2015·北京卷)在△ABC 中，已知a =3，b =6，A =2π

3，则角B = . 【答案】

π4

【解析】由正弦定理，得sin a A =sin b B ，即3

2=6sin B ，所以sin B =22，因为b

角B =π4.

2.(2016·苏州期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若tan A =2tan B ，a 2-b 2=1

3c ，

则c = . 【答案】1

【解析】由已知及正、余弦定理知，tan A =2tan B ?2221-b c a +=222

-a c b +?3a 2-3b 2=c 2，又a 2-b 2=1

3c ，所以c 2-c =0，解得c =1或c =0(舍去)，故c =1.

3.为了测量塔AB 的高度，先在塔外选择和塔脚在一条水平直线上的三点C ，D ，E ，测得仰角分别为θ，2θ，4θ，CD =30 m ，DE =103 m ，则θ= ，塔高AB = m. 【答案】15° 15

(第3题)

【解析】如图，设塔脚为B ，由题意得∠ADE =2∠ACD =2θ，可知△ACD 为等腰三角形，所以

AD =30，同理△ADE 也是等腰三角形，AE =103，在△ADE 中，cos

2θ=103=3

，所以2θ=30°，所以θ=15°，AB =AE sin 4θ=AE sin 60°=103×3

=15(m).

4.(2015·南京、盐城、徐州二模)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点.已知∠B =60°，AD =2，AC =10，DC =2，则AB = .

(第4题)

【答案】26

【解析】在△ACD 中，因为AD =2，AC 10，DC 2，

所以cos ∠ADC 222??=-2

，从而∠ADC =135°，

所以∠ADB =45°.在△ADB 中，0sin45AB =0

sin60，

所以AB =2

=26.

5.(2015·苏州期末)如图，某生态园将三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200 m ，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.

(第5题)

(1)若围墙AP，AQ的总长度为200 m，问：如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?

(2)已知AP段围墙高1 m，AQ段围墙高1.5 m，造价均为每平方米100元.若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省?

【解答】(1)设AP=x m，AQ=y m，

??=10 000，当且仅当x=y=100时取等号.

所以当AP=AQ=100 m时，可使三角形地块APQ的面积最大.

(2)由题意得100×(1×x+1.5×y)=20 000，

即x+1.5y=200.

在△APQ中，PQ2=x2+y2-2xy cos 120°=x2+y2+xy，

即PQ2=(200-1.5y)2+y2+(200-1.5y)y=1.75y2-400y+40 000，其中0

则当y=800

7，x=

200

7时，PQ2取得最小值，从而PQ也取得最小值.

已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan C

=222

-ab a b c .

(1)求角C 的大小；

(2)当c =1时，求a 2+b 2的取值范围.

【思维引导】

【规范解答】

(1) 由已知及余弦定理，得sin cos C C =2cos ab ab C ，所以sin C =1

………………

…2分

因为C 为锐角，所以C =30°. ………………………………………………4分

(2)由正弦定理，得sin a A =sin b B =sin c

C =1

12=2， …………………………5分

所以a=2sin A，b=2sin B=2sin(A+30°). a2+b2=4[sin2A+sin2(A+30°)]

=4+23sin(2A-60°).……………………………………………………………………8分由

【精要点评】三角形有六个基本元素，即三条边和三个角，解三角形最主要的就是将六个基本元素化为已知的过程，一般要用正、余弦定理等工具，但选用怎样的公式，如何转化分析，要总结经验和规律.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第63~64页. 【检测与评估】

1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案

教学准备教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理教学过程讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角形．

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而

是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同1 （；使一正数，即存在正数k，，

等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为：；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。．评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511

公开课教学设计(正余弦定理及其应用)

解三角形教学设计四川泸县二中吴超教学目标 1.知识与技能掌握正、余弦定理，能运用正、余弦定理解三角形，并能够解决与实际问题有关的问题。 2.过程与方法通过小组讨论，学生展示，熟悉正、余弦定理的应用。 3.情感态度价值观培养转化与化归的数学思想。教学重、难点重点：正、余弦定理的应用难点: 正、余弦定理的实际问题应用拟解决的主要问题这部分的核心内容就是正余弦定理的应用。重点突出三类问题：（1）是围绕利用正、余弦定理解三角形展开的简单应用（2）是三角函数、三角恒等变换等和解三角形的综合应用（3）是围绕解三角形在实际问题中的应用展开教学流程

教学过程一、知识方法整合 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径，则有 = = = 2、三角形面积公式：C S ?AB = = = 3、余弦定理：C ?AB 中2a = 2b = 2c = 4、航海和测量中常涉及如仰角、俯角、方位角等术语 5、思想与能力：代数运算能力，分类整合，方程思想、化归与转化思想等二、典例探究例1 [2012·四川卷]（小组讨论，熟悉定理公式的应用）如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE=1，连接EC 、ED 则sin∠CED=_______（尝试多法）解3：等面积法解4：观察角的关系，两角和正切公式解5：向量数量积定义练1：在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.? ????0，π6 B.??????π6，π C.? ????0，π3 D.???? ??π3，π 解1：由正弦定理a 2≤b 2＋c 2－bc ，由余弦定理可知bc ≤b 2＋c 2－a 2=2bc cos A ，即1C D E C D E C D =?==1解：中，， 222210EC ED CD EC ED +-∠?∴=cos CED 10∴∠sin CED 021135CD E C E D C ==∠=解：， sin sin CD EC CED EDC =∠∴∠ sin 10CD EDC EC ?∠∴∠=sin CED

高三第一轮复习正余弦定理教案

高三新数学第一轮复习教案 ---------正、余弦定理及应用一．课标要求：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二．命题走向对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题。三．要点精讲 1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝b a 。 2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) （R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。形式一：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 (解三角形的重要工具) 形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cosC=ab c b a 22 22-+ （4）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是 ∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列。

正余弦定理学案

正弦定理学习目标：1 理解正弦定理并能证明 2 能应用正弦定理解三角形重点：应用正弦定理解三角形在任意的三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？学习任务：阅读课本P 2-4页，完成下列任务： 1.在直角三角形中，设a 、b 、c 为其三边，A ，B ，C 为其对应的三个角，有 B c B b A a sin sin sin ==成立。对于锐角和钝角三角形中，此关系式成立吗？试证明。 2.什么是解三角形？思考：正弦定理可以解决哪些解三角形的问题。 3.在⊿AB C 中，已知下列条件，解三角形（1）A = 45°，C = 30°，c = 10 cm （2）A = 60°，B = 45°，c = 20 cm 4.阅读例2，已知三角形的两边和其中一对角，计算另一边的对角。需要注意什么？请完成下列两小题：在⊿ABC 中，已知下列条件，解三角形 ①a = 20 cm ° ②c = 1 cm cm C = 60° 必做题：习题1.1 A 组 1、2. B 组 1. 选做题： 1. 在⊿ABC 中，B = 45°，C = 60°，c = 1，则最短边的边长为 . 2. 在⊿ABC 中，a =80 ，b = 100 ，A = 30°，则B 的解的个数为 . 余弦定理学习目标：1 理解余弦定理并能证明 2 能应用余弦定理解三角形重点：应用正弦定理解三角形用正弦定理我们可以解决两类解三角形问题：（Ⅰ）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角。（Ⅱ）已知三角形的两边与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。对于已知两边和它们的夹角怎样计算出三角形的另一边和另两个角？学习任务：阅读课本5-7页，完成下列问题： 1. 请用向量的数量积推导余弦定理，还有其他证明方法吗？ 2. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，请写出余弦定理的变形（即推论） 3. 勾股定理与余弦定理之间有何联系？ 4. 阅读例3、例4，思考：余弦定理及推论，正弦定理可以解决哪些解三角形问题？必做题： P 8页练习 1、2. 习题1.1 A 组 3、4. B 组 2. 选做题： 1.在⊿ABC 中，B = 60°，b 2 = ac ，则⊿ABC 一定是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为。

2018年必修五《正弦定理》教案

§1.1.2 正弦定理一、知识与技能 1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2通过三角函数、正弦定理等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、教学重点与难点：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：习题拔高课四、教学过程一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解例 1试推导在三角形中 A a s i n =B b sin =C c sin =2R 其中R 是外接圆半径. 证明如图所示，∠A ＝∠D ∴R CD D a A a 2sin sin === 同理B b sin R 2=，C c sin R 2= ∴ A a sin = B b sin =C c sin =2R a b c O B C A D

例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===? 解：∵213 60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b ，C B C B c b ,,60,0<∴=> 为锐角， 0090,30==∴B C ∴222=+=c b a 例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 解2 3245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a 0012060,sin 或=∴<

高中数学第一章第8课时——正、余弦定理的应用(2)学案(教师版) 苏教版必修5

听课随笔第2课时【学习导航】知识网络 ??? ??数学问题航海测量学正、余弦定理的应用学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①_______：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②_______：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③_______：利用正弦定理、余弦定理解这些三角形，求得数学模型的解； ④_______：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60 ，求3F 的大小与方向（精确到0.1 ）. 【解】【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设 AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】追踪训练一 1. 如图，用两根绳子牵引重为Ｆ１＝１００Ｎ的物体，两根绳子拉力分别为Ｆ２，Ｆ３，保持平衡．如果Ｆ２＝８０Ｎ，Ｆ２与Ｆ３夹角α＝１３５°．（１）求Ｆ３的大小（精确到１Ｎ）；（２）求Ｆ３与Ｆ１的夹角β的值（精确到０.１°）．

余弦定理教案完美版

《余弦定理》教案（一）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。（三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学设想 [创设情景] C 如图1．1-4，在?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b 和∠C ，求边c b a (图1．1-4) [探索研究] 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图1．1-5，设CB a =u u r r ，CA b =u u r r ，AB c =u u r r ，那么c a b =-r r r ，则 b r c r ()()222 2 2c c c a b a b a a b b a b a b a b =?=--=?+?-?=+-?r r r r r r r r r r r r r r r r r C a r B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A =+-

正弦定理应用教案

正弦定理应用教案【篇一：正弦定理、余弦定理应用举例教案】第7讲正弦定理、余弦定理应用举例【考查要点】利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．【基础梳理】 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型。如测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． 2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))． (2)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如b点的方 (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 3、解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 4、解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．【例题分析】一、基础理解 a．．3 m c． m 2

解：如图．答案 b 例4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船 a．5海里 b．3海里 c．10海里 d．海里 5里)，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．答案 c 0.5 二、测量距离问题例1、如图所示，为了测量河对岸a，b两点间的距离，在这岸 [分析] 在△bcd中，求出bc，在△abc中，求出ab. 例2、如图，a，b，c，d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b、d为两岛上的试探究图中b、d间距离与另外哪两点间距离相等，然后求b， d的距离．故cb是△cad底边ad的中垂线，所以bd＝ba. 2＋同理，bd(km)．故b、d km. 2020 三、测量高度问题 [分析] 过点c作ce∥db，延长ba交ce于点e，在△aec中解得x＝10(33) m．故山高cd为10(33 ) m. 总结：(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理．， cd cdx ab解：在△abc中，ab＝5，ac＝9，∠bca＝sin∠acb 9同理，在△abd中，ab＝5，sin∠bad 10 abbd∠adb＝， sin∠bdasin∠bad 22解得bd故bd的长为22 总结：要利用正、余弦定理解决问题，需将多边形分割成若干个三角形，在分割时，要注意有利于应用正、余弦定理．点，ad＝10，ac＝14，dc＝6，求ab的长．解：在△adc中，ad＝10，ac ＝ 14，dc＝6，【篇二：《正弦定理》教学设计】

第8课时——正、余弦定理的应用(2)(教、学案)

第8课时正、余弦定理的应用（2）【学习导航】知识网络 ?? ???数学问题航海测量学正、余弦定理的应用学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N ==再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==，所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得22212212cos 54cos AB αα=+-??=-.

正弦定理和余弦定理教案

正弦定理和余弦定理教案第一课时正弦定理 (一) 课题引入如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B (图1.1-1) (二) 探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1.1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A D B (图1.1-3) 让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？证明二：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1 == 两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ

余弦定理教学设计

1.1．2余弦定理教学设计作者：毛晓进一、教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。二、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的容；初步对余弦定理进行应用。难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股定理的知识，即当∠C=900时，有c2=a2+b2。作为一般的情况，当∠C≠900时，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，原因是学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。三、学情分析和教学容分析本节容是人教B版普通高中课程标准实验教科书必修5第一章第一节余弦定理的第一课时。余弦定理是关于任意三角形边角之间的另一定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。教科书首先通过设问的方式，指出了“已知三角形的两边和夹角，无法用正弦定理去解三角形”，进而通过直角三角形中的勾股定理引导学生去探究一般三角形中的边角关系，然后通过构造直角三角形去完成对余弦定理的推证过程，教科书上还进一步的启发学生用向量的方法去证明余弦定理，最后通过3个例题巩固学生对余弦定理的应用。在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。

高中数学《正弦定理》教案北师大版必修

江苏省邳州市第二中学高二数学 1.1.1《正弦定理》教案北师大版必修5 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B =， C

高中数学最新学案第1章第8课时正、余弦定理的应用(2)(教师版)新人教A版必修5

听课随笔第8课时正、余弦定理的应用（2）【学习导航】知识网络 ?? ???数学问题航海测量学正、余弦定理的应用学习要求 1．利用正弦定理和余弦定理解决有关测量问题时，要注意分清仰角、俯角、张角和方位角等概念。 2. 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过这些三角形，得出实际问题的解。【课堂互动】自学评价运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤是： ①分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形）； ②建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； ③求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解； ④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例1】作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =，250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向（精确到0.1）. 【解】3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反. 如图1-3-3，在1OF F ?中，由余弦定理，得 ()70F N =再由正弦定理，得 1 50sin1205sin 70FOF ∠==，所以138.2FOF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8. 【例2】半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形 ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积. 【解】设AOB α∠=.在AOB ?中，由余弦定理，得

正余弦定理完美教案

正余弦定理教案教学标题正余弦定理及其应用教学目标熟练掌握正弦定理、余弦定理的相关公式会用正余弦定理解三角形会做综合性题目教学重难点正弦定理、余弦定理的综合应用授课内容：梳理知识 1．正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ?中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 典型例题探究点一正弦定理的应用例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c . 解题导引已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当a ＝b sin A 时，有一解；③当b sin A b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3 2 . ∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝6＋22 ；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，

正弦定理和余弦定理教案设计

正弦定理和余弦定理基础梳理 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R 等形式，以解决不同的三角形问题． 3．(4) △ABC 的面积公式 ① S ＝1 2a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R ； ③ S ＝1 2 r(a ＋b ＋c)(r 为切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝1 2 (a ＋b ＋c)．角一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ?a ＞b ?sin A ＞sin B . 两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换题型1 正弦定理解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c. 解：由正弦定理，得a sinA ＝b sinB ，即3sinA ＝2 sin45° ， ∴ sinA ＝ 3 2 .∵ a>b ，∴ A ＝60°或A ＝120°.

正弦定理教案

课题：§2.1.1正弦定理教学目标： 1．知识目标:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2. 能力目标:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 3．情感目标：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教材版本：北师大必修5 教学课时：1 教学过程：一、新课引入：如左图，在ABC Rt ?中，有 s i n ,s i n ,s i n 1 a b A B C c c ===。经过变形有,,sin sin sin a b c c c c A B C ===，所以在ABC Rt ?中有：c C c B b A a ===sin sin sin 思考：在其他任意三角形中是否也有 s i n s i n s i n a b c A B C ==等式成立呢，这个时候 ?sin sin sin ===C c B b A a 观察下图，无论怎么移动B ’,都会有角B ’=B,所以在C AB '?中，c B b B b ==sin sin '， c

C 是ABC Rt ?，C AB ' ?外接圆的直径。所以对任意ABC ?，均有R C c B b A a 2s i n s i n s i n ===(R 为ABC ?外接圆的半径) 这就是我们这节课所探讨的内容：正弦定理二、新课讲解 (一)正弦定理及变形： R C c B b A a 2sin sin sin === 定理变形：⑴C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== ⑵R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === ⑶C B c b C A c a B A b a sin :sin :,sin :sin :,sin :sin :=== (二)定理应用例1、在△ABC 中，BC ＝3，A ＝45°，B ＝60°，求AC ，AB,c 解：【分析】由三角形内角和定理得 B A C --=0180 由正弦定理A BC B AC C AB sin sin sin = = 得A B BC AC sin sin = ,A C BC AB sin sin = 【点评】：已知两角一边，通过正弦定理求剩下的三个量：两边一角。例2、已知：△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A 、C 及c. 解：【分析】根据正弦定理，得 sin A ＝asin B b ＝3sin 45°2 ＝32， ∵b

正余弦定理学案

1．1 ．1 正弦定理 1．初中我们学过解直角三角形，回忆一下直角三角形中的边角关系边：；角：边角关系：即： 2．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比，即 3．正弦定理的变形：（1）（2）（3） 4．正弦定理的作用： ① ； ② 。 5．解三角形：一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的的过程叫作解三角形。 6．三角形面积公式为：课堂互动一、已知两角及一边解三角形例1：已知⊿ABC 中，c=10,A=45°C=30°求b,?S ；二、已知两边及一边的对角解三角形例2：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===? 探究：解的情况（1）⊿ABC 中，∵π<

(1)a=5,b=4,A=120°,求B （解）;(2)a=5,b=4,A=90°,求B （解） (3)a=5,b= 3 3 10,A=60°,求B （）;(4)a=20,b=28,A=40°,求B （解）学后反思：课堂检测 1．已知⊿ABC 中，a=100,c=350,A=45°,求C 2．⊿ABC 中，已知a=4,b=24,B=45°，求A 3．⊿ABC 中，() 132,60,45+=?=?=a C B ，求⊿ABC 的面积S 及边b （不要近似计算） 4．求边长为a 的等边三角形的面积。 5．已知b=12,A=30°B=120°,求?S 6．已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 7．（2010湖北理）在中，a=15,b=10,A=60°，则为 A － B C － D 8．已知?ABC 中，一定成立的等式是( ) 1．1 ．2 余弦定理 1．正余弦定理： 2．正弦定理的变形：（1）（2）（3） 3．三角形面积公式为： 4．余弦定理： ? ? ? 5．对公式的认识：（1）是余弦定理的特例（2）余弦定理主要作用：（1）；（2） 6．三角形形状的判定：（1）若A 为直角，则（2）若A 为锐角，则（3）若A 为钝角，则课堂互动一、已知两边及夹角解三角形 ABC ?cos B 3 3 33B b A a A sin sin .=　B b A a B cos cos .=　A b B a C sin sin .=　A b B a D cos cos .=

正余弦定理的应用举例教案

天津职业技术师范大学人教A版数学必修5 1.2正弦定理余弦定理的应用举例理学院数学0701 田承恩

一、教材分析本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。 (一)重点 1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。 2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。 (二)难点 1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。 2.用应用数学的思想解决实际问题。 (三)关键让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。并具备解决一些基本实际问题的能力。二、学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。三、学习目标 (一)知识与技能 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式 2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤 (二)过程与方法 1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品

质 2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程 (三)情感、态度与价值观让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。四、教学手段计算机，ppt，黑板板书。五、教学过程（设计）