高等工程数学第二章习题及答案

第2章 线性代数方程组数值解法 研究

n 阶线性方程组

Ax b =

的数值解法.

()

ij A a =是

n n

?矩阵且非奇异，

12(,,,)T

n x x x x = ,

12(,,,)

T

n b b b b =

两类数值方法：

(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.

Ax b Gx d == 等价变换

G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.

(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.

(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+?????

→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =

一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数

【定义】 若对n

K 上任一向量x ，对应一个非负实数

x ，对任意,n

x y R ∈及K α∈，满足如下条件

(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；

(2)

齐次性：

x x

αα=；

(3)

三角不等式：

x y x y

+≤+.

则称x

为向量x

的范数.

常用的向量范数： (1) 1—范数

11

n

i

i x x ==∑

(2) 2—范数

12

2

21

()

n

i i x x ==∑

(3) ∞—范数

1max i

i n

x

x ∞

≤≤=

11

()

p

n

p

i p

i x

x ==∑

2. 矩阵范数

【定义】 若n n

K ?上任一矩阵

()ij n n A a ?=

，对应一个非负实数A ，对任意的,n n

A B K ?∈和

K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：

(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；

(2)

齐次性：

A A

αα=；

(3)

三角不等式：A B A B +≤+；

(4)

乘法不等式：

AB A B

≤.

则称A

为矩阵A

的范数.

矩阵范数与向量范数是相容的：

Ax A x

≤

向量范数产生的从属范数或算子范数：

10max max

x x Ax

A Ax x

=≠==

常见从属范数：

(1) 1—范数

111

max ||

n

ij j n

i A a ≤≤==∑

(2) ∞—范数

11

max ||

n

ij i n

j A a ∞≤≤==∑

(3) 2—范数

2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，i

λ

为

H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵

A 的谱半径不超过A 的任一范数，即

()A A ρ≤

范数等价性定理：

,s t x x

为

n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得

12,n

s t s c x x c x x R ≤≤ ?∈.

注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】

是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是

()*

0,k x x k -→ →∞

二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程

Ax b =写成如下形式

11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=??

+++=??

?

?+++=?

其中记

,1,1,2,,.

i n i a b i n +==

消元过程：

第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1

111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程

组中第一个未知数1x

消去，得到同解方程

11112211,1

(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)

22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=?? ++=??

?

? ++=?

其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ij

ij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .

第二次消元：设(1)22

0a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第

2个方程乘以

(1)(1)

2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程

11112213311,1

(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a +++++++=?? +++=?? ++=???

其中

(2)(1)(1)

22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，

3,4,,i n = .

经过

1n -次消元后，原方程组变成等价方程组

11112213311,1

(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1

n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=?? +++=?? ++=???

? =?

其中

()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .

(1)(1)/k k ik ik kk

m a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .

回代过程：

(1)(1)

,1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i i

i n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+?=??=-=--??∑

计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：

除法

(1)(1)

,,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计

n k -次；

乘法

(1),,1

,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.

因此，消去过程总的计算量为

1

3

11[()(1)]3n k M n k n k n k n

-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为2

1()

2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大

3

1n

2. Gauss-Jordan 消去法

Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到

(1)(1)(1)(1)

11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n n

n nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++?++++=? +++=? +++=? +++= ???

??

其中，(1)11,2,,,1j

j a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)

220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)

2

222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得

到同解方程组

(2)(2)(2)

11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n n

nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),???????

??

继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)

/k k ik ik kk m a a --=，

这里

1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到

(2)

1111,

1(1)(2)2222,1(2)(2)

33,1,

,,n n n n n a x a a x a a x a +++? =? =?? ???

? =?

其中

()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；

1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .

此时，求解回代过程为

(1)(1),1/,1,2,,n i i i n ii

x a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为

3

1

2M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss

消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法

(1)k -(1)k -(1)

k -

实际上，既使

(1)0k kk

a -≠，但

(1)k kk

a -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kk

a -为小主元.

【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程

11

12120.3100.7,0.9,x x x x -??+=?? +=??

【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得

1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -??+=?? =??

其中

(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-?，

(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-?=-?

于是解得

(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ?==??

=??

而真解为

120.2,0.7x x = =

注：造成结果失真的主要因素是主元素11a

太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.

【定义】 若 (1)(1)

||max ||

k k k r k ik k i n

a a --≤≤=，则称

(1)||

k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r

行

与第

k 行进行交换，使

(1)||

k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)

k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方

法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.

【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为

2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得

1211120.9,0.3100.7,x x x x -?+=???+=?? 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为

1220.9,0.7.x x x ?+=?

=?

三、三角分解法 设方程组

Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即

1112121222110,1,2,,.

k

k k k k kk

a a a a a a k n a a a ?=

≠=

在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵

21113111101

0010n m L m m -????- ????=- ?? ????- ???? ，

左乘方程组

Ax b =，得

11A x b =，

其中

11121(1)(1)1

22211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)

??

?? ??==

?? ??

?? ?? ，

1(1)(1)111,11,1,1(,,,)T

n n n n b L b a a a -+++== .

第二次消元时，相当于用单位下三角阵

1232210101001n L m m - ??

?? ????= - ??

???? - ????

0 ，

左乘方程组

11A x b =，得

22A x b =

其中

11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --?? ?? ????== ???? ?? ???? ，

11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).T

n n n n n b L L b a a a a --++++==

经过

1n -次消元，最后得到等价方程组

11n n A x b --=

其中

11121(1)2221111

11221(1)

n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------??

?? ??==??

??

?? ??

1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n T

n n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==

注意到

1n A -是一个上三角阵，记

111111221n n n U A L L L L A -------==

则

121()n A L L L U LU -==

其中，121n L L L L -= . 不难验证

21313212_1111

n n nn m L m m m m m ??

?? ??

??= ?? ???? 1 ????

是单位下三角阵.

于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =

就得到一个与 Ax b =等价的方程组

Ly b =??

【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ?≠，1,2,,k n = .则存在唯一的

一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.

在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两

行对换的初等变换.

第一次消元，将第1行与第1

r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：

1111r r P Ax P b

=

经第一次消元得

1111

1111r r L P Ax L P b

--=

即系数矩阵为

11111r A L P A

-=，

其中

110111r P ?? ? 1= 1 0 1 ?0 0 ?

?????????

????????????

1 列 1r

列 类似地，经

1n -次消元，有

121111

111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A

----------= .

如果预先知道每一个(1,2,,1)

i

ir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA

----== ，

其中，

121

1,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为

PAx Pb =

然后再消元，相当于对PA 做三角分解

PA LU =

由以上讨论，可得结论 1 行

1行

r

阵的乘积，即

PA LU =成立.

这时，原方程组

Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解

LUx Pb =

令

Ux y =

则

Ly Pb =

实际求解时，先解方程组

Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解

方法称为三角分解法.

常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵

A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记

21121110n n l L l l ???? ??=?? ?? ???? , 11121222n n nn u u u u u U u ???? ??=?? ?? 0 ?

? 于是有

1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ?? ?????? ????=???? ???? ?

??? ???? nn u ??????????

0 ??

从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)

k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.

现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法

的中间结果(1)

k ij a -.

计算步骤： (1) 由

L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .

然后，由

L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素

1111/,2,3,,i i l a a i n = = .

第r 列元素.

由

L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得

1

1

r ij rk kj rj

k a l u u -==+∑

所以，得

U 阵的第r 行元素

11

,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n

-==- =+∑ .

再由

L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得

11

r ir ik kr ir rr

k a l u l u -==+∑,

所以，得

L 阵的第r 列元素

11

[]/,1,2,,.

r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑

取

1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；

(3)解与

Ax b = 等价的方程组

Ly b Ux y =??

=?

逐次用向前代入过程先解

Ly b = 得

1111

,2,3,,.

i i i ij j j y b y b l y i n -==???

=- =??∑

然后再用逐次向后回代过程解

Ux y =得

1

/,

()/,1,2,,2,1.

n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=???

=- =--??∑

2．Crout 分解方法

仍假设系数矩阵

A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即?A L

=?U .与Doolittle 分解方法的区别在

111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ?? ?? ??=?? ???? ?? 1122??l l ?? 0?? ???? ???

??? 122?1?10n u u ???? ???? ?? 1 ?? 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算?L 的第r 列，然后再算?U

的第

r 行.

3．Cholesky 分解方法

若 A 为对称正定矩阵，则有 ?T U L =，即

1

1()()T

T T A LDL LD LD LL ===

其中

L 为下三角阵. 进一步展开为

1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ???? ???? 0 ????=???? ???? ?? ?

????? 0nn l ???

????????? ?? 比较两边对应元素，容易得到

12

1

2

1

()

r rr rr rk k l a l -==-∑ ，

1

1

()/r ir ir ik rk rr

k l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++

Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由

2

1

r

rr rk k a l ==∑ 可以看出

||1,2,,.rk l k r ≤=

这表明中间量rk l

得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解

T A LDL =

即

111211211212212221211

11n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ?? 1 ???????

??? 1 1 ??????=?????? ???

??? ?? ?????? 2n l ???? ?

??? ?? 1??

其中

21?l 1?n l 2?n l ?nn l 1?n u

1

211

1()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk r

k d a l d l a l d l d

-=-=?=-????=-??∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++

Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将

Ax b =分解为两个三角形方程组

T Ly b L x y ?= ??= ??

分别可解得

111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=?=??

=-, =2,3,,

??∑

和

1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+?=??

=-, =--2,,2,1

??∑

改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个

方程组

1,,T Ly b L x D y -= ??= ?

同理可解得

1111,,2,3,,.

i i i ik k k y b y b l y i n ==?=??

=- =??∑

和

1/,

/,1,2,,2,1.

n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+?=??

=- =--??∑ 4．解三对角方程组的追赶法

若

()ij n n A a ?=满足

1||||,1,2,,.

n

ii ij j j i

a a i n =≠> =∑

则称

A 为严格对角占优矩阵.若A 满足

1||||,1,2,,.

n

ii ij j j i

a a i n =≠≥ =∑

且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.

现在考虑

Ax d = 的求解，即

11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----?????? ?????? ???????????? = ?????? ????????????

?

??????????? 系数矩阵

A 满足条件

11||||0,

||||||,,0,2,3,, 1.||||0,

i i i i i n n b c b a c a c i n b a ?>>?

≥+ ≠=-??

>>?

采用Crout 分解方法

11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---?? ???? 1 ???? ???? = ???? ?? ?? ?????? ?? 1n β-??

??????

??

1 ??

?? 1 ??

其中，

,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到

111111,;

,,2,3,,;,2,3,, 1.

i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-

进而可导出

1111111,2,3,,.,/,,2,3,,.

/(),2,3,, 1.

i i i i i i i

i i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--?= =?

= =??

=- =??=- =-?

由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)

i n β=- ，而

i α可由,i i b a 和1i β-产生.

因此，实现了

A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组

Ly d

Ux y =??

=?

从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算

i β的递推公式：

1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-?=??=- =-??

(2) 解方程组

Ly d =：

11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--?=??=-- =??

(3) 解方程组

Ux y =：

1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+?=??=- =--??

追赶法的乘除法次数是

66

n -次.将计算

121

n βββ-→→→ 及

12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解

121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.

四、迭代法 将

Ax b =

改写为一个等价的方程组 x Bx k =+

建立迭代公式 (1)

(),0,1,2,.

i i x Bx k i +=+ =

称矩阵

B 为迭代矩阵.

【定义】 如果对固定的矩阵

B

及向量

k

，对任意初始猜值向量

(0)

x ，迭代公式

(1)()i i +()i

()*

lim i i x x →+∞

=

成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称

此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.

如果迭代收敛，则应有

**

,x Bx k =+

1. 收敛性

()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =

为第i

步迭代的误差向量.则有

(1)(1)*()*()(),0,1,2,.

x x B x x B i εε++=-=-==

所以，容易推出

()(0),0,1,2,,i i B i εε= =

其中，

(0)

(0)

*

x

x

ε

=-为初始猜值的误差向量.

设n n

B K ?∈，lim 0

i i B →+∞

=? ()1B ρ<.

迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法

(1)()

i i x Bx k +=+收敛；

(2)

()1B ρ<；

(3) 至少存在一种矩阵的从属范数

?

，使

1B <

注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或

B ∞等容易求出的范数，检验

11

B <或

1

B

∞

<来

作为收敛的充分条件较为方便.

常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，

可将矩阵

A 写成如下形式

A D L U =++,

1122(,,,)nn D diag a a a = ，

21313212000

n n a L a a a a ???? ??

??= ?? ???? 0 ???? ,12131232000n n a a a a a U ?? ?? ????= 0 ?? ??

?? ???? ,

建立Jacobi 迭代公式

(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++

迭代矩阵

11()J B D L U I D A --=-+=-

J B 的具体元素为

112

111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ?? - -??????- - ??=???? ????- - 0 ???? Jacobi 迭代法的分量形式如下

1(1)()()11

1(),j n i i i j

j jm m jm m m m j jj x

b a x a x a -+==+=--∑∑

1,2,,;0,1,2,.j n i = =

3．Gauss-Seidel 迭代

容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i j

x j n = .实际上，在

计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)

121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求

(1)

i j x

+时，利用刚刚计算出的

新分量(1)(1)(1)

1

21,,,i i i j x x x

+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式

1(1)

(1)()11

1(),j n

i i i j

j jm m jm m m m j jj x

b a x a x a -++==+=--∑∑

1,2,,;0,1,2,.j n i = =

矩阵形式

(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=

1()G B D L U -=--+

注：

（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.

（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组

121232342,46,4 2.

x x x x x x x ?- =?

-+-=??

-+=?

初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为

(1)()1

2(1)()()

213(1)()321(2),4

1(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++?=+??

?=++=??

?=+??

迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====

Gauss-Seidel 迭代公式为

(1)()1

2(1)(1)()

213(1)(1)321(2),4

1(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++?=+??

?=++=??

?=+??

迭代计算4次的结果如下

(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).

T T T T x x x x ====

从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列

()

{}i x 逐步逼近方程组的精确解

*(1,2,1)T x =,

而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更

3．超松弛迭代法

为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成

1(1)()(1)()

11(),

j n

i i i i j

j

j jm m jm m m m j

jj x

x b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =

并记

1(1)(1)()11(),j n

i i i j

j jm m jm m m m j

jj r

b a x a x a -++===--∑∑

称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量

(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=

为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)

i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）

(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =

即

1

(1)

()(1)()

1

(),j n

i i i i j

j

j jm m

jm m m m j

jj

x

x b a x

a x a ω

-++===+

--∑∑

1,2,,;0,1,2,.j n i = =

适当选取因子

ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是

Gauss-Seidel 迭代法.

写成矩阵向量形式

(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++

0,1,2,.i =

迭代矩阵为

1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--

实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，

取不同的松驰因子

ω

迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量

()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，

并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.

实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：

用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当

n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立

直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组

Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当

02ω<< 时迭代收敛

（2）若

A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于

SOR 方法，当

01ω<< 时迭代收敛.

【例2.5】 设线性方程组为

121221,32,x x x x ?+=-??+=??

建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为

0230J B -??=??

- ??，

显见谱半径()1J B ρ=

>，故Jacobi 迭代公式发散.

同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为

0206G B -??=?? ??，

谱半径()61

G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组

121232,21,x x x x ?+=??+=-??

其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<

【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.

注：当

(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.

当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确

定最佳超松弛因子

opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.

所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子

ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比

较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松

弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.

【例2.6】 求解线性方程组

Ax b =，其中