二分图匹配算法及其应用【文献综述】

文献综述

数学与应用数学

二分图匹配算法及其应用

图的匹配理论简单的说就是使得图G 中每两个点之间都有联系. 匹配理论是图论中的一个重要内容, 它在运筹学、系统工程中都有着广泛的应用, 近几十年来, 随着组合数学的迅速发展, 匹配理论成为许多重要理论的基础和源泉. 二分图的最大匹配算法是匹配理论研究的热点之一. KM 算法是求最大匹配的经典算法, 它是在匈牙利算法的进一步提高, 它是解决数学中一类存在性问题的基本工具, 广泛应用于社会、经济、科技、自然等各个领域中. 本文主要研究KM 算法的具体原理, 步骤, 以及它一些实际问题中的应用.

图的匹配问题起源于1935年霍尔的“婚姻问题”. KM 算法是Kuhn 和Munkras 分别于1955年和1957年独立提出来的, 他们在研究图论中最大权匹配问题时很巧妙运用KM 算法去解决问题.

定义1 图G 有三部分所组成

(1) 非空集合)(G V , 称为G 的结点集, 其成员称为结点或顶点.

(2) 集合)(G E , 称为G 的边集, 其成员称为边.

(3) 函数

))(),(()(:G V G V G E G →ψ,

称为边和顶点的关联映射. 这里))(),((G V G V 称为)(G V 的偶对集, 其成员偶对形如),(v u , u ,v 为结点, 它们未必不同. 当),()(v u e G =ψ时, 称边e 关联端点u ,v . 当),(v u 用作序偶时

)()())(),((G V G V G V G V ?=,

e 称为有向边, e 以u 为起点, 以v 为终点, 图G 称为有向图; 当),(v u 用作无序偶对时, ),(),(u v v u =, 称e 为无向边(或边), 图G 称为无向图(或图). 定义2 无向图?ψ?=,,E V G 称为二分图, 如果有非空集合X ,Y 使

V Y X =Y ,X Y =?I ,

且对每一E e ∈, ),()(y x e =ψ, X x ∈,Y y ∈. 此时常用?ψ?,,E V 表示二分图G . 若对X 中任一x 及Y 中的任一y 恰有一边E e ∈, 使),()(y x e =ψ, 则称G 为完全二分图. 当m X =, n Y =时, 完全二分图G 记为n m K ,.

定义3 图G 的顶点1v 到顶点l v 的拟路径是指如下顶点与边的序列:

l l l v e v v e v e v ,,,,,,,1132211--Λ

其中l l v v v v v ,,,,,1321-Λ为G 的顶点, 121,,,-l e e e Λ为G 的边, 且)1,,2,1(-=l i e i Λ以i v 及1+i v 为端点(对有向图G , i e 以i v 为起点, 以1+i v 为终点). 当)1,,2,1(-=l i e i Λ各不相同时, 该拟路径称为路径.

定义4 若M 是二分图),(E V G =的一个匹配. 设从图G 中的一个顶点到另一个顶点存在一条路径, 这条路是由属于M 的边和不属于M 的边P 交替出现组成的, 则称这条路为增广路(或称交互树或交错树). 如果增广路的首尾两个顶点不属于M , 则称这条路为可增广路.

定义 5 设?ψ?=,,E V G 为二分图, 当给G 赋予映射W V f →:或W E g →:, W 为任意集合、常用实数集及其子集, 此时G 为赋权图, 常用?ψ?f E V ,,,或?ψ?g E V ,,,或?ψ?g f E V ,,,,表示之. )(v f 称为结点v 的权, )(e g 称为e 的权.

定义6 设??=Y E X G ,,为二分图, E M ?. 称M 为G 的一个匹配, 如果M 中任何两条边都没有公共端点. G 的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配, 其边数称为匹配数. 如果X (Y )中任一顶点均为匹配M 中边的端点, 那么称M 为X (Y )—完全匹配. 若M 既是X —完全匹配又是Y —完全匹配, 则称M 为G 的完全匹配.

定义7 设二分图??=Y E X G ,,, 其中X =Y =匹配数, E 中每条边),(j i Y X 有权0,≥j i W , 若能找到一个匹配M (M =匹配数), 满足所有匹配的边权和最大(或最小), 则称M 为G 的一个最大(或最小)权匹配.

定义8 称图中顶点u 到v 是可达的, 如果v u =, 或者有一条u 到v 的路径. 如果G 的任何两个顶点都是互相可达的, 称无向图G 是连通的. 如果G '是G 的子图,

G '是连通的, 并且不存在G 的真子图G '', 使G ''是连通的, 且G ''以G '为真子图, 则图G '称为图G 的连通分支.

定理1(霍尔定理) 设图??=Y E X G ,,. G 有X —完全匹配的充分必要条件是: 对每一X S ?, 其中)(S N 为S 的邻域, 即Y S v i

i v N S N ∈=

)()(, 则有 S S N ≥)(.

定理2(Tutte 定理) 一个图G 有完全匹配当且仅当对图G 的任意顶点子集S 有图S G -的奇分支数不大于S 中的顶点数, 其中S G -表示从图G 中删去顶点集S 及其关联的边所得的图, 图的奇分支是指奇数个顶点的连通分支.

定理3 若由二分图中所有满足j i j i W Y X ,=+的边(,)i j 构成的子图(称做相等子图)有完全匹配, 那么这个完全匹配就是二分图的最大权匹配.

Kuhn －Munkras 算法(即KM 算法)流程

(1) 初始化可行顶标的值;

(2) 用匈牙利算法寻找完备匹配;

(3) 若未找到完全匹配则修改可行顶标的值;

(4) 重复(2)(3)直到找到相等子图的完全匹配为止.

KM 算法是通过给每个顶点一个标号(我们有时称之为顶标)来把求最大权匹配的问题转化为不断地寻找增广路以使二分图的匹配数达到最大的完全匹配的问题. 我们令二分图中X 部的节点的顶标为i X . Y 部的节点的顶标为j Y . X 部与Y 部节点之间的权值为j i W ,. 要求在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(,)i j , 使得j i j i W Y X ,≥+始终成立. 在初始时, 令i X 为所有与顶点i X 关联的边的权值的最大值, 令0=i Y . 如果当前的相等子图没有完全匹配, 就需要修改顶标以使扩大相等子图, 直到相等子图具有完全匹配为止(这样就可以求出最大权匹配).

如果当前相等子图找不到完全匹配, 那么是因为对于某个X 顶点, 我们找不到一条从它出发的增广路. 这时为了获得了一条增广路, 现在我们把增广路中X 的顶点的顶标全都减小某个值d , Y 的顶点的顶标全都增加d , 就可以使得至少有一条新边进入相等子图. 那么我们会发现:

(1) 两端都在增广路中的边(,)i j , j i Y X +的值没有变化. 也就是说, 它原来属于相等

子图, 现在仍属于相等子图.

(2) 两端都不在增广路中的边(,)i j , i X 和j Y 都没有变化. 也就是说, 它原来属于(或不属于)相等子图, 现在仍属于(或不属于)相等子图.

(3) X 端不在增广路中, Y 端在增广路中的边(,)i j , 它的j i Y X +的值有所增大. 它原来不属于相等子图, 现在仍不属于相等子图.

(4) X 端在增广路中, Y 端不在增广路中的边(,)i j , 它的j i Y X +的值有所减小. 也就说, 它原来不属于相等子图, 现在可能进入了相等子图, 因而使相等子图得到了扩大.

现在的问题就是求d 值了. 为了使j i j i W Y X ,≥+始终成立, 且至少有一条边进入相等子图, 则}min{,j i j i W Y X d -+=, 而且i X 在增广路中, j Y 不在增广路中.

刘桂真[1]对二分图最大权匹配开讨论, 介绍了二分图最大权匹配并将匹配问题从“婚姻问题”推广到工作分派问题.

耿素云[2]通过对二分图的匹配及带权图的应用进行了讨论也将其运用到实际中, 并以此解决了最短路径的问题、关键路径问题以及中国邮递员问题.

杨胜超、张瑞军[3]在介绍毕业论文选题系统的系统用例、功能模块、和流程图的基础上, 针对学生选题不均衡这一突出问题, 引出了二分图最大权匹配的经典算法—KM 算法, 该算法能够根据学生的题目预选、自命题、未定题等多种情况, 完成题目与学生的智能匹配, 使最终题目的整体满意度最高, 从而提高学生毕业论文选题质量. 该系统在武汉科技大学管理学院04级毕业论文选题中实施.

谢政、程浩光[4]利用赋双权的二分图中求关于第一个权最大的限制下、第二个权最小的完美匹配的网络模型, 给出了这一模型的有效性, 并用此算法解决了企业的优化组合分工中的挖潜问题.

彭宇新, Ngo Chong-Wah, 肖建国[5]利用尝试将二分图的最大权匹配用于镜头检索. 把两个镜头的相似度度量建模为一个带权的二分图: 镜头中的每一帧看成二分图的一个结点, 两个镜头之间任意帧的相似值作为边的权值. 在一一对应的前提下, 利用最大权匹配的KM 算法求出该二分图的最大权, 以此作为两个镜头的相似度. 考虑到检索的速度的问题, 提出了两个改进算法.

对于二分图最大权匹配的算法有不少, 如: 顶点标记法等. 但KM 算法是求解二分图最大权匹配的经典算法. 本文主要研究用KM 算法解决二分图最大权匹配的步骤过程及二分图

最大权匹配算法的应用. 特别是在解决工作分派问题上以及其他实际问题中的应用.