几何画板实验报告

实验一数学教学软件基本操作

一、实验目的：

二、实验内容：

1、作出三角形的垂心。

2、作出三角形的外接圆与内切圆。

外接圆

内切圆

3、验证：三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点的中点共圆。

4、作出两圆的内外公切线。

三、实验步骤

1、作出三角形的垂心。

步骤：

○1构造△ABC；

○2选中点A和线段BC，构造垂线；

○3同理，构造线段AB、BC上的垂线；

○4交点D即为垂心。

2、作出三角形的外接圆与内切圆。

外接圆步骤：

○1构造△ABC；

○2选中线段AB，构造中点E；

○3选中线段AB和点E，构造垂线；

○4同理构造线段AC、BC上的中垂线，交点为K；

○5选中点K、A，构造圆。

内切圆步骤：

○1构造△ABC；

○2选中线段AB、AC，构造角平分线；

○3选中AB、BC，构造角平分线，交点为D；

○4选中A、D，构造圆。

3、验证：三角形三边的中点、三条高的垂足、垂心到三顶点的中点共圆。

步骤：

○1构造△ABC；

○2选中线段AB、BC、AC分别构造中点D、E、F；

○3选中线段BC和点A构造垂线，垂足为H，同理得到垂足L、K，三条

垂线的交点为M；

○4选中点A和M构造线段，再选中线段AM构造中点O，同理得到点N、P；

○5选中点E、P、O构造过三点的弧，选中点O、D、E构造过三点的弧；

4、作出两圆的内外公切线。

外公切线步骤：

○1构造两圆C、D，圆心分别为C、D（注：圆C 的半径大于圆 D 的半径）；

○2选中点C、D，构造直线CD；

○3在圆D 上任意取一点F，连接构造线段DF；

○4选中点C、线段DF，构造平行线交圆 C 于点G、P

○5选中点G、F，再构造直线GF 交直线CD 于点H；

○6选中点D、H，构造线段DH，再构造线段DH 的中点M；

○7依次选中M、D（H），接着“构造”—“以圆心和圆周上的点作圆”—“生成一个圆M 交圆 D 于点O 和N ；

○8分别构造出直线OH 和直线NH，即为所求的外公切线。

内公切线步骤：

○1构造线段FP 交直线CD 于点Q；

○2选中点C、Q，构造线段，再构造中点R；

○3依次选中点R、C（Q），构造圆交圆C 于点S、T；

○4分别构造出直线QT 和直线QS，即为所求的内公切线。

四、实验的结论及实验中存在的问题。

实验二

一、实验内容及步骤

1、设P是圆O上的一动点，C为半径OB上一定点，连接PC并作PC中垂线交OP于Q，求Q的轨迹

步骤如下：

（1）绘制圆O和其半径OB上一点C；

（2）绘制圆O上一点P，连接PC、PO；

（3）作PC的中垂线交OP于Q；

（4）依次选定点P和Q，构造Q的轨迹。

2、设ABCD为矩形，P是AB上的一动点，过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，（1）作出EF的中点轨迹。

（2）作出线段EF运动的轨迹。

步骤如下：

（1）绘制矩形ABCD，并连接BD、AC；

（2）绘制AB上的一动点P，再构造AC、BD过P的垂线分别交于E、F;

（3）构造线段EF和它的中点I；

（4）依次选定点P和I，构造点I的轨迹，即EF的中点轨迹；

（5）依次选定点P和线段EF，构造线段EF的轨迹，即线段EF运动的轨迹。

3、三角形ABC顶点A在一定圆上运动，另外两个顶点固定，作出三角形ABC 外心的轨迹。

步骤如下：

（1）绘制圆O以及圆O上一点A；

（2）绘制三角形ABC；

（2）作AC、BC的中垂线交于K，即三角形ABC外心；

（3）选定点A和K，构造点K的轨迹，即三角形ABC外心K的轨迹。

4、作出与已知定圆、定直线都相切的圆的圆心的轨迹。

步骤如下：

（1）绘制圆O和直线CD以及圆O上一点E；

（2）选定点O、E构造直线OE；

（3）选定直线OE和点E，构造垂线交直线CD与F；

（4）依次选定点E、F、D，构造角平分线交直线OE于H；

（5）依次选定点H、E，构造圆H，即与定圆O、定直线CD都相切的圆；

（6）依次选定点E、H，构造圆心H的轨迹；

（7）依次选定E、F、C，构造角平分线交直线OE于I，步骤同（4）（5）（6），构造圆心I的轨迹，即可得出完整的圆心的轨迹。

老师的方法：

步骤如下：

（1）绘制圆O和直线CD以及圆O上一点E；

（2）选中点O、E构造直线OE交CD于F；

（3）选定直线OE和点E，构造垂线交直线CD与G；

（4）依次选定点E、G、F，构造角平分线交直线OE于H；

（5）依次选定点H、E，构造圆H，即与定圆O、定直线CD都相切的圆；

（6）依次选定点E、H，构造圆心H的轨迹。

实验三 应用轨迹与跟踪功能绘制图形

1、根据双曲线几何定义作出双曲线的轨迹.

画法：双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为定值，

利用到线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等，2MF PM =. 故R AB PF MF PM MF MF ===-=-1121（线段AB 的长度，为定值）.

2、设A,B 为平面上的两个定点，a 为定值，P 满足条件PA ×PB=2a,作出P 的轨迹图形.改变AB 的距离观察轨迹图形的变化.

画法：利用度量，及计算器，确定出有比值关系的线段长度.

P 为给定线段CD 的延长线上任意一点，满足a CD PD PC 2==?，

A 、

B 为固定的两点，分别以它们为圆心，分别以线段P

C 、P

D 的长度为半径，则两圆的交点为满足条件的点.以P 点为主动点，两交点为别动对象即可构造轨迹即可． 注意：在用计算器算长度之比时，被除数要先乘以１，在点击单位“厘米”． 3、作出过平面一定点的直线系.

画法：先画一个圆，任取圆上一点C与圆心A构造直线，并以C为主动点，直线AC为被动对象构造轨迹即可.

4、作出过一个定点且半径为定长的圆系.

画法：先作一个圆A，并在圆上任取一点C；以C为圆心，线段AC的长度构造圆C；以C 为主动点，圆C为被动对象构造轨迹即可.

5、根据圆锥曲线统一定义作出圆锥曲线的轨迹.

画法：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离之比等于常数 e 的点的轨迹，通过改变e的大小，改变圆锥曲线的类型.

当e>1 时，它是双曲线

当e＝1 时，它是抛物线

方法和步骤：

一、确定对称轴、焦点、准线. 1．1 打开《几何画板》 ，新建文件； 1．2 画一条水平直线 x; 1．3 作出直线 x 对象上的点 K 、F （焦点）； 1．4 过 K 作直线 x 的垂线 l （准线）. 二、设置离心率. 2．1 画一条线段 AB ； 2．2 作出线段 AB 对象上的点 E ； 2．3 通过度量、计算，求得线段 AE 与 EB 的比（离心率）； 2．4 将比值标签改为 e.

三、设置作轨迹所需的动态半径. 3．1 过任一点 D 作出两条相交直线 m 、n; 3．2 以 D 为圆心，AE 为半径画圆交直线 m 于 M ； 3．3 以 D 为圆心，EB 为半径画圆交直线 n 于 N ；作直线 MN ； 3．4 作直线 m 上一点 G ，过 G 作 MN 的平行线交

n 于 H ； 3．5 作出线段 DG 、DH.

四、作出轨迹. 4．1 以 F 为圆心，线段 DG 为半径画圆； 4．2 以 K 为圆心，线段 DH 为半径画圆交直线 x 于 P 、Q 两点，分别 过 P 、Q 作 x 的垂线 p 、q ； 4．3 改变 E 的位置或改变 F 的位置使圆 F 与直线 p 、q 都相交，交点 分别为 P1、P2、P3、P4； 4．4 选取 P1（或 P2、P3、P4）、点 G 、直线 m ，构造轨迹，即可作出所 需轨迹. 4．5 添加操作按钮、隐藏不必显示的对象.

实验四

实验三、应用轨迹与跟踪功能绘制复杂几何图形

目的：理解“平移”的功能的含义，掌握平移功能与轨迹功能的想结合使用的方法。

1、绘制一个正四棱柱。

2、作出圆柱及过其侧棱上中点且与底面平行的截面。

3、把平行四边形割补成矩形.

4、应用向量的平移作出圆柱的斜截面。

1、绘制一个正四棱柱。

①作出线段1ZA ，双击点Z ，标记Z ，单击点1A ，旋转45度作出点2A ，选取2ZA 中点

1B ，选中点Z 、1B ，标记向量，选中线段1ZA ，点击变换栏中的“平移”，作出线段'

11A B ，

连接点'

11A A ，即正四棱柱的底面。

②作出过点Z 与线段1ZA 的垂线，任取垂线上的一点Z '，标记向量Z Z '，选中线段1ZA 、

1ZB ，平移到1C Z '、1D Z '，同理作出另外两条线段。

③最后分别连接上下对应的顶点即作出正四棱柱。

1'

1

1''

2、作出圆柱及过其侧棱上中点且与底面平行的截面。

①选自定义工具中的圆锥曲线中的椭圆，标记相应的点2F 、2G ，作出过点2G 垂直于直线22G F 的垂线，若任取垂线上一点2Q ，标记向量22Q G ，任取椭圆一动点2P ，平移到点"2P ，以主动点2P ，被动点"

2P ，作出轨迹并连接点作出椭圆。

②选22Q G 中点1Q ，标记向量12Q G ，选取2P 、2F 平移到'2P 、'

2F ，以主动点2P 被动点'

2P ，作出轨迹，即为所要的截面。

③以主动点2P ，被动对象线段'

'22P F 作出轨迹后填充整个椭圆。

3、把平行四边形割补成矩形.

①从自定义工具中选取平行四边形，作AI 边的垂线GK ，任取便GH 上一点N ，选取点G 、点N ，并标记向量，全选AGK ?作平移

②选中点N 、点H 在“编辑”菜单中，选择“操作类按钮”中选择慢速移动。 NK

③选中点N 、G 在“编辑”菜单中，选择慢速移动操作。 ④点击“移动H N →”，即把平行四边形割补成矩形. 割补前：

割补后：

4、应用向量的平移作出圆柱的斜截面

①同第二小题方法作出椭圆，分别在椭圆两个侧棱上任取两点E点、D点，作出线段ED.

②分别作出以过C点垂直于直线AB的垂线，交线段ED于F点，过椭圆上任一点P垂直于直线AB垂足为Q，再过点Q作直线AB的垂线交线段ED于G。

③选取点Q、点G标记向量。选中点P平移于点P'。以P为主动点，P'为被动点作出轨

迹即为圆柱体的斜截面。

F'为被动对象作出轨迹填充整个斜截面。

④以P点为主动点，以线段P

实验五、使用“旋转”与“轨迹”功能绘制复杂几何图形

一、实验的目的：掌握“旋转”与“轨迹”“移动”功能及其的应用，能熟练将前两者结合绘制复杂图形

二、实验的内容

1、作出正五边形图形。并将图形沿五边形的中心

（1）缩小到原来的1/2

（2）放大到原来的2倍。

步骤：

①构造线段AB,标记点B为中心，选中线段AB及点A关于中心点B旋转108

度，构造点C；

②以此类推，可得到正五边形ABCDE；

③构造线段BC中点F，过点F构造BC的垂线;

④构造线段CD中点G，过点G构造CD的垂线，过两垂线构造交点M,为五

边形的中点；

⑤标记点M为中心，选定线段AB、BC、CD、DE、EA分别缩放固定比例为

1：2与2：1可得到缩小到原来1/2与放大到原来两倍的正五边形。

2、绘制五角星并设置控制按钮使其绕中心旋转180度。

步骤：

①如题一，构造正五边形ABCDE，即其中点M，隐藏边的中点与垂线；

②过点A与点B、点B与点C、点C与点D、点D与点E、点E与点A分

别构造直线，构造各直线的交点F、G、H、I、J；

③构造线段FB、BG、GC、CH、HD、DI、IE、EJ、JA、AF，所得图像为

五角星；

④作一个圆O，做过点O、P的直线交于点Q，依次选中点O、P、Q，做过

三点的弧线，作弧上的一点R，用线段连接点D、H，并设置为虚线；

⑤依次选中点O、P、Q，标记角度，双击五角星的中点M，选中整个五角

星，用标记的角作旋转变换，选中点H，将点R移动至点P，并设置动画则完成了设置使五边形绕其中心旋转180度的控制按钮操作。

3、作出把梯形割补成矩形的课件。

实验步骤：

①作出一任意梯形ACBD、和直角梯形EFGH，选中线段AC，取中点I，过点I作线段

BC的垂线，取交点J，依次选中点I、J、C，作线段，得到三角形IJC。同理作出三角形KBL、三角形MEN。

②作一圆O，用直线连接点O、P，交圆于点Q，依次选中点O、P、Q，作过三点的弧，作弧上一点S，用虚线段连接点O、S，依次选中点S、O、P，标记角度，双击点I，选中三角形IJC的三边和顶点J、C，按标记角度旋转，得到三角形IJ’C’,将点

S移至点P处，并设置动画按钮。

③同理作出点V在圆O的另一半弧上，标记角度QOV，分别使三角形KBL 绕点K、三角形MEN绕点M，按标记角度旋转，并设置点V的动画按钮。

4、（1）用轨迹功能绘出球面，

（2）运用缩放、平移、轨迹功能绘出球冠。

实验步骤：

○1作一个圆A，过点A作一平行的直线交圆A于点C，取圆上一点D，选中点D、直线

AC，作垂线，取交点E，用线段连接点D、E，并隐藏垂线。

○2以点E为旋转中心旋转-45°，得到线段ED’，取其中点G，依次选中点G、D，作轨迹。

○3选中点A、直线AC，作垂线，交圆A于点H、I，依次选中点H、G、I，作弧，依次选中该弧、点D，作轨迹，即得到球面。

实验六

1、验证三角形内角平分线分对边比性质定理；圆周角与圆心角关系定理；正弦定理。

验证三角形内角平分线分对边比性质定理步骤如下：

（1）绘制三角形ABC ，并构造∠ABC 的角平分线BD ； （2）分别度量线段AD 、DC 、AB 、BC 的长度；

（3）计算DC AD 和CB AB ，比较发现CB

AB

DC AD =

；

（4）移动点C ，仍然发现

CD CA

DB BA

=

。

验证圆周角与圆心角关系定理步骤如下：

（1）绘制圆O 和圆上的点A 、B 、C ，并连接 OA 、OB 、CA 、CB ； （2）分别度量∠AOB 、∠ACB 的角度；

（3）计算ACB AOB ∠∠，得到0.5ACB

AOB

=∠∠；

（4）移动点C ，仍然发现0.5ACB

AOB

=∠∠。

验证正弦定理步骤如下：

（1）绘制圆O 、圆的半径OB 以及圆上的三角形ABC ；

（2）分别度量线段a 、b 、c 、三角形外接圆O 的半径R 的长度、∠CAB 、∠ABC 、∠BCA 的角度；

（3）计算

s i n ()a C A B ∠、sin()

b ABC ∠、sin()c

BCA ∠、2R ，比较发现

s i n ()

s i n ()s i n ()

2a

b

c

C A B A B C

B C A R ∠∠=

=

=∠；

（4）移动点A 、B 、C ，仍然发现

sin()sin()sin()

2a b c

CAB ABC BCA R ∠∠===∠。

2、对圆上的一段弧，验证:弧长与圆周长的比值、弧度角与圆周角的比值、扇形

面积与圆面积的比值均相等。 步骤如下：

（1）绘制圆O 以及圆O 上一段弧AB ；

（2）分别度量弧AB 、半径OA 的长度、∠BOA 的度数以及扇形的面积； （3）计算弧长与圆周长的比值、弧度角与圆周角的比值、扇形面积与圆面积的比值，发现它们均相等；

（4）改变弧AB 的长度，仍然发现它们均相等。

3、制作验证相交弦定理的课件，设置“移动”按钮给出三种情形。

步骤如下：

（1）绘制圆O以及圆O上的弦AB、CD，P为AB、CD的交点；

（2）分别度量PA、PB、PC、PD；

（3）计算PA*PB、PC*PD；

（4）在圆上绘制如图的两点G、F；

（5）依次选中点B、C，设置“移动”按钮，得到交点在圆上的情况；

（6）依次选中点B、F，设置“移动”按钮，得到交点在圆内的情况；

（7）依次选中点B、G，设置“移动”按钮，得到交点在圆外的情况。

4、探索:推广勾股定理(以直角三角形三边向外作平行四边形，面积之间关系） 步骤如下：

（1）绘制直角三角形ABC ；

（2）作如图的平行四边形ABEE ’、ACF ’F 、BCGG ’，使它们的高分别等于AB 、AC 、BC ；

（3）分别度量平行四边形ABEE ’、ACF ’F 、BCGG ’的面积，发现

'''ABEE ACFF BCGG S S S +=，由于2'ABEE S AB =,2'ACFF S AC =,2'BCGG S BC =，即有

222A B A C B C

+=； （4）随意改变三角形的三边和各个平行四边形，仍然发现

222AB AC BC +=。

实验七 函数图像的绘制

3.绘制出半圆内接矩形面积的函数的图像。 结果如下：

绘制过程：

（1）先以原点为圆心绘制出半圆，接着在半圆上选择一点F 点，做出半圆的内接矩形； （2）度量出F 点的横坐标，以及矩形FGIH 的面积；

（3）以F 点的横坐标为横坐标，以矩形FGIH 的面积为纵坐标，绘制出点J ；

（4）先选择F 点，再选择J 点，利用构造中的轨迹功能，做出半圆内接矩形面积的函数图像。

4.绘制出函数()?

??-+=.05,sin 3

0,4 x x x x x y 的图像。

结果如下：