(精选)2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2017年湖南省普通高中学业水平考试

数学（真题）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（ ） A 、正方体 B 、圆柱 C 、三棱柱 D 、球

2.已知集合A={}1,0,B={

}2,1,则B A ?中元素的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

3.已知向量a =(x,1),b =(4，2)，c =(6,3).若c=a+b ,则x=( ) A 、-10 B 、10 C 、-2 D 、2

4.执行如图2所示的程序框图，若输入x 的值为-2，则输出的y=（ ） A 、-2 B 、0 C 、2

D 、4

5.在等差数列{}n a 中，已知1121=+a a ，163=a ， 则公差d=（ ）

A 、4

B 、5

C 、6

D 、7 6.既在函数2

1)(x x f =的图像上，又在函数1)(-=x x g 的图像上的点是（ ）

A 、（0，0）

B 、（1，1）

C 、（2，21）

D 、（2

1

，2）

7.如图3所示，四面体ABCD 中，E,F 分别为AC,AD 的中点， 则直线CD 跟平面BEF 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、在平面内 C 、相交但不垂直 D 、相交且垂直

8.已知sin 2sin ,(0,)θθθπ=∈，则cos θ=（ ） A 、23- B 、21- C 、2

1

D 、23

（图1）

俯视图

侧视图

正视图图3

B

D

C

A

E

F 图2

结束输出y

y=2+x

y=2-x

x ≥0?

输入x

开始否

是

9.已知4log ,1,2

1

log 22===c b a ，则（ ）

A 、c b a <<

B 、c a b <<

C 、b a c <<

D 、a b c <<

10、如图4所示，正方形的面积为1.在正方形内随机撒

1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内， 则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）

A 、 54

B 、53

C 、21

D 、5

2

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

11. 已知函数R x x x f ∈=,cos )(ω（其中0>ω）的最小正周期为π，则=ω 12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。

13. 在ABC ?中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a=4,b=3,1sin =C ,则AB C ?的面积为 。

14. 已知点A （1，m ）在不等式组??

?

??<+>>4,0,0y x y x 表示的平面区域内，则实数m 的取值

范围为 。

15. 已知圆柱1OO 及其侧面展开图如图所

示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共有5小题，共40分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分6分）

已知定义在区间[]ππ，-上的函数x x f sin )(=的部分函数图象如图所示。 （1）将函数)(x f 的图像补充完整； （2）写出函数)(x f 的单调递增区间.

4

2

π

O O1

图4

2π 2

π-

π

π- x

y

o

17. （本小题满分8分）已知数列{}n a 满足)(3*1N n a a n n ∈=+，且62=a . （1）求1a 及n a ；

（2）设2-=n n a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .

18. (本小题满分8分)为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图， （1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数； （2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的两人来自同一组的概率.

频率/组距成绩（分）

10090807060500.0400.0200.0150.010

19. （本小题满分8分）

已知函数???≥+-<=.

0,)1(2,

0,2)(2

x m x x x f x （1）若m= -1,求)0(f 和)1(f 的值，并判断函数)(x f 在区间（0，1）内是否有零点；

（2）若函数)(x f 的值域为[-2,∞+),求实数m 的值.

20. （本小题满分10分）

已知O 为坐标原点，点P （1，2）在圆M ：014-22=+++ay x y x 上， （1）求实数a 的值；

（2）求过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程；

（3）过点O 作互相垂直的直线21,l l ，1l 与圆M 交于A,B 两点，2l 与圆M 交于C,D 两点，求CD AB ?的最大值.

2017年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题4分，满分40分)

1. A

2. C

3. D

4.B

5. D

6. B

7. A

8. C

9. A 10. B 二 、填空题(每小题4分，满分20分)

11. 2 12. 1 13. 6 14. （0，3） 15. 4π 三 、解答题(满分40分)

16、（6分）解析：（1）对函数ππ∈f(x)=sinx,x [-,]

的图像补充如下图所示：…………3分

（2）由图可得函数()f x 的单调递增区间为：[,]22

ππ

-

………………………………6分

17、（8分）解析：（1）因为13n n a a += 且26a = 所以2

123

a a =

= ………………2分 所以数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列

所以1

23n n a -=? ……………………………………4分

（2）由（1）知123n n a -=?，故1

2232n n n b a -=-=?- …………5分

所以{}n b 的前n 项和为：

11(22)(62)(182)(232)

(261823)22(31)231321

8n n n n n s n

n

n --=-+-+-++?-=++++?--=--=--分

18、（8分）解析：（1）根据频率分布直方图可估计本次测试成绩的众数为：

7080

=

=752

x +众数 ……………………4分 （2）根据已知条件可得在抽取的20名学生中，

成绩在区间[80,90) 的人数为：200.153?= ，这3人分别记为a,b,c 成绩在区间[90,100] 的人数为：200.102?=,这2人分别记为d,e

若从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，其所有情况有：

ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de 共10个基本事件，

其中两人来自同一组所含基本事件有：ab,ac, bc, de 共4个。 所以选出的两人来自同一组的概率为：42

105

P =

= ……………………8分 y

x

O -1

1

-

π2

π2

π

-π

19、（8分）解析：（1）因为2

2,0,

()2(1)1,0.x x f x x x ?<=?--≥?

所以

(0)211,(1)1

f f =-==- …………………………2分

又因为

[0,1]

x ∈ 时

2()2(1)1

f x x =-- 是连续函数且

(0)(1)0

f f ?<

所以()

f x 在区间(0,1)

内必有零点……………………4分

（2）因为当

x < 时，

()2x

f x = ，此时

0()1

f x << ；

当0x ≥ 时，2

()2(1)f x x m m =-+≥ ………………6分

而()f x 的值域为[2,)-+∞ ，所以2m =- …………8分

20、（10分）（1）因为点P （1，2）在圆M ：014-2

2

=+++ay x y x 上

所以221(2)-41210a +?+?+=

0a ?= ………………3分 （2）因为直线OP 的斜率为20

210

OP k -=

=- ，圆M 的圆心为(2,0)M 所以过圆心M 且与直线OP 平行的直线的方程为：

02(2)y x -=- 即2220x y --=…………6分

（3）因为圆M 的标准方程为：2

2

(2)3x y -+=， 故直线12,l l 的斜率均存在。

设直线1l 的方程为0kx y -= ，则2l 的方程为0x ky += 于是圆心M 到直线1l 的距离为12

|2|1

k d k =

+

于是22

2

1

22

43|AB |2323211

k k d k k -=-=-=++ 圆心M 到直线2l 的距离为12

21

d k =

+

所以22

2

22

431

|CD |2323211

k d k k -=-=-=++

又由123

3

d d ?

222222

(31)(3)

||||41

(31)(3)

241

4

k k AB CD k k k k --?=?

+-+-≤?+= 当且仅当2

2

313k k -=- 即1k =± 时取等号 所以||||AB CD ? 的最大值为4