线性代数考试练习题带答案(3)
线性代数考试练习题带答案
一、单项选择题(每小题
3分,共15分)
1.设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型.
(A )
1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥.
4.初等矩阵(A );
(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,,
,n ααα线性无关,则(C )
A. 12231,,
,n n αααααα-+++必线性无关;
B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;
C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;
D. 以上都不对。
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t
7.设矩阵020003400A ??
?
= ? ???
,则1A -=
8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。
9.行列式1112
13
2122
23313233
a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;
10. 设A 是4×3矩阵,()2R A =,若102020003B ?? ?
= ? ???
,则()R AB =_____________;
三、计算题(每小题10分,共50分)
11.求行列式11
12
13
2122
233132
33
a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
12.设矩阵111111111A -?? ?
=- ? ?-??
,矩阵X 满足*12A X A X -=+,求X 。
13. 求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1
341321230
2432143214
321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
14.已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T
T
T
T
αααα====-,求出它的秩及其一个最大无关组。
15.设A 为三阶矩阵,有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值
123,,,λλλ的特征向量,令123βααα=++, 若3A A ββ=,求A 的特征值并计算行列式23A E -.
四、解答题(10分)
16. 已知100032023A ?? ?
= ? ???
,求10A
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解,12,,
,r ηηη为对应的齐次线性方程
组0AX =的一个基础解系,证明:向量组12,,,,r ξηηη线性无关。
18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵,判定1E A --是否为正定矩阵,说明理由.
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设,A B 为n 阶矩阵,下列运算正确的是( )。
A. ();k k k AB A B =
B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆,0k ≠,则111()kA k A ---=;
2.下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是( )。
A .12,,,s ααα???都不是零向量;
B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( )。
A .列向量组线性无关; B. 列向量组线性相关; C. 行向量组线性无关; D. 行向量组线性相关;
4. 如果( ),则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =; B. ()()r A r B =; C. A 与B 有相同的特征多项式;
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同;
5.二次型()222123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( )时,是正定二次型。 A. 1λ>-; B. 0λ>; C. 1λ>; D. 1λ≥。
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.设300140003A ??
?
= ? ???
,则()12A E --= ;
7.设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131
D =中元素ij a 的代数余子式,则
11
12
2122
A A A A = ;
8.100201100010140001201103010?????? ?????
????? ?????-??????
= ;
9.已知向量组123,,ααα线性无关,则向量组122313,,αααααα---的秩为 ;
10. 设A 为n 阶方阵, A E ≠, 且()()3R A E R A E n ++-=, 则A 的一个特征值
λ= ;
三、计算题(每小题10分,共50分)
11.设()1111222
20+a
a A a n
n n n a +??
?+
?
=≠ ?
???
,求A 。 12.设三阶方阵A ,B 满足方程2A B A B E --=,试求矩阵B 以及行列式B ,其中
102030201A ?? ?= ? ?-??
。
13.已知111011001A -??
?
= ? ?-??
,且满足2A AB E -=,其中E 为单位矩阵,求矩阵B 。
14.λ取何值时,线性方程组1231231
232124551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解,有唯一解或有无穷多解?当
有无穷多解时,求通解。
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-,求该向量组的秩和一个极大无关组。
四、解答题(10分)
16.已知三阶方阵A 的特征值1,2,3对应的特征向量分别为1α,2α,3α。其中:
()11,1,1T α=,()21,2,4T α=,()31,3,9T α=,()1,1,3T
β=。
(1)将向量β用1α,2α,3α线性表示;(2)求n A β,n 为自然数。
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.设A 是n 阶方阵,且()()R A R A E n +-=,A E ≠;证明:0Ax =有非零解。 18. 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3,向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3,向量组(III)
1235,,,αααα的秩为4,证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
线性代数期末试卷(本科A)
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.满足下列条件的行列式不一定为零的是( )。
(A )行列式的某行(列)可以写成两项和的形式; (B )行列式中有两行(列)元素完全相同; (C )行列式中有两行(列)元素成比例; (D )行列式中等于零的个数大于2
n n -个.
2.下列矩阵中( )不满足2
A E =-。
(A )1211-?? ?-??; (B )1211--?? ???; (C )1211-?? ???; (D )1121?? ?--??
.
3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。
(A)AB BA =; (B) 存在可逆矩阵1
,P P AP B -=使; (C) 存在可逆矩阵,T
C C AC B =使; (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4.向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是( ) (A )错误!未找到引用源。均不为零向量;
(B )错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关; (C )错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例;
(D )错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。
5.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( )。
(A )充分条件; (B )充要条件; (C )必要条件; (D )无关条件;
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.设???
?
?
??=101020101A ,则22A A -= ;
7.已知(),,,,,,??
?
??==31211321βα设,A T βα=则A = ;
8.设A 是三阶方阵,且1A =-,则*12A A --= ;
9.已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;
10. 已知111242335A -?? ?=- ? ?--??,00020002B λ??
?
= ? ???
,且A 于B 相似,则λ= 。
三、计算题(每小题10分,共50分)
11.12
3
12
11111
1111111(0)1
1
1
1n n n
a a D a a a a a ++=
+≠+
12.12.已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123
2202030x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=? 的解.
①求λ的值;②证明0B =.
13.设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,
其中311110012,102,004202A B ???? ? ?== ? ? ? ?????
求矩阵X 。 14.求向量组123411343354,,,,22323342αααα--????????
? ? ? ?
-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?
-- ? ? ? ?
--????????
53101α?? ? ?= ? ?-?? 的秩及最大
无关组。
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ;
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
四、解答题(10分)
16. 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-
3(1,2,2)T b a b α=---+, 试讨论b a ,为何值时 (1)β不能用321,,ααα线性表示;
(2)β可由321,,ααα唯一地表示,并求出表示式;
(3)β可由321,,ααα表示,但表示式不唯一,并求出表示式。
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.设12,,
,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量,证明它们线性无关的充
分必要条件是:任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。
18.设A 为对称矩阵,B 为反对称矩阵,且,A B 可交换,A B -可逆,证明:
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
。
线性代数期末试卷(本科A) 解答与参考评分标准
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设,A B 为n 阶矩阵,下列运算正确的是( D )。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=-
C. 22()();A B A B A B -=-+
D. 若A 可逆,0k ≠,则111()kA k A ---=; 2.下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是( B )。
A .12,,,s ααα???都不是零向量;
B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;
C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;
D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;
3. 设A 为m n ?矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A )。
A .列向量组线性无关; B. 列向量组线性相关; C. 行向量组线性无关; D. 行向量组线性相关; 4. 如果( D ),则矩阵A 与矩阵
B 相似。 A. A B =; B. ()()r A r B =; C. A 与B 有相同的特征多项式;
D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同;
5.二次型()222
123123
(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型. A. 1λ>-; B. 0λ>; C. 1λ>; D. 1λ≥。
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.设300140003A ?? ?
= ? ?
??
,则()12A E --=1
011
022001??
? ?-
? ??
?; 7.设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131
D =
中元素ij a 的代数余子式,则
11
12
2122
A A A A = -1 ;
8.100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????=210104350??
? ? ?
?
?;
9.已知向量组123,,ααα线性无关,则向量组122313,,αααααα---的秩为 2 ; 10. 设A 为n 阶方阵, A E ≠, 且()()3R A E R A E n ++-=, 则A 的一个特征值
λ= -3 ;
三、计算题(每小题10分,共50分)
11.设()111122220+a
a A a n
n n n a +??
?+ ?
=≠ ?
???
,求A 。 解:11111111
011
110
02222000
+00
a a A a
a n
n
n a
n a
+-==+-- ....................5分 1111111000
(1)10002
00
n
i n
n n n i i a
a i n n a a a a a a
=-=++?
?=
=+=+ ???∑
∑.
.................10分 12.设三阶方阵A ,B 满足方程2A B A B E --=,试求矩阵B 以及行列式B ,其中
102030201A ?? ?= ? ?-??
。
解:由2A B A B E --=,得()2A E B A E -=+,即
()()A E A E B A E +-=+ ......................3分
由于202040202A E ??
?
+= ? ?-??
,320A E +=≠,
002020200A E ?? ?
-= ? ?-??
,80A E -=≠,...........................6分
()()()()1
11100200110200102200100B A E A E A E A E -----????
? ?
=-++=-== ? ? ? ?
-????
,....8分
所以18B =。......................................................10分
13.已知111011001A -??
?
= ? ?-??
,且满足2A AB E -=,其中E 为单位矩阵,求矩阵B 。
解:因为111
01110001A -==-≠-,所以A 可逆,...........................2分 由2A AB E -=,得2A E AB -=,故()121A A E A AB ---=,即1A A B --=,....4分
不难求出 1112011001A ---??
?
= ? ?-??,.................................8分
因此1111112021011011000001001000B A A ----??????
? ? ?
=-=-= ? ? ? ? ? ?--??????
。...............10分
14.λ取何值时,线性方程组1231231
232124551
x x x x x x x x x λλ+-=??
-+=??+-=-?无解,有唯一解或有无穷多解?当
有无穷多解时,求通解。
解:由于方程个数等于未知量的个数,其系数行列式
()()221
11541544
5
5
A λ
λ
λλλλ-=-=--=-+;.......................3分 1.当45
λ=-时,有()421
15
104555
,112455104000945
51A b r ?
?-
- ?
--??
? ?
?=-
--- ? ?
? ???-- ? ??
?,
()()2,3R A R A b =≠=,原方程组无解;
..............................5分 2.当1λ=时,有()211103331001,111211120111455109990000A b r r ---??????
? ? ?
=---- ? ? ? ? ? ?----??????,
所以原方程的通解为1230111,10x x k x ?????? ? ? ?
=+- ? ? ? ? ? ???????
..................................8分
3.当4
1,5λ≠-时,方程组有唯一解。....................................10分
15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-,求该向量组的秩和一个极大无关组。 解:
()2
13
41021102110211441~0462~0462023102310000T
T T
T
A αααα------??????
? ? ?== ? ? ? ? ? ???????
.6分
所以向量组的秩为2,.................................................8分
因为任意两个向量均不成比例,
所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。......................10分
四、解答题(10分)
16.已知三阶方阵A 的特征值1,2,3对应的特征向量分别为1α,2α,
3α。其中:()11,1,1T
α=,()21,2,4T
α=,()31,3,9T
α=,()1,1,3T
β=。 (1)将向量β用1α,2α,3α线性表示;(2)求n A β,n 为自然数。 解:(1)把β用123,,ααα线性表示,即求解方程
112233x x x αααβ++=
111111111002123101200102149300110011r r ??????
? ? ?- ? ? ? ? ? ???????
故12322βααα=-+。.................................................5分 (2)()1231232222n n n n n A A A A A βαααααα=-+=-+
11211122331233222322223223.223n n n n n n n n n n n λαλαλαααα++++++??
-+ ?
=-+=-+=-+ ? ?-+??
..........10分
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.设A 是n 阶方阵,且()()R A R A E n +-=,A E ≠;证明:0Ax =有非零解。 证明:()01A E A E R A E ≠?-≠?-≥,................................2分 ()()()()1R A R A E n R A n R A E n +-=?=--≤-,
........................4分 所以0Ax =有非零解。.................................................5分 18. 已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3,向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3,向量组(III)
1235,,,αααα的秩为4,证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。
证明:向量组123,,ααα的秩为3,向量组1234,,,αααα的秩为3,所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组,因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示;....2分 假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4,又因为向量组123,,ααα的秩为3,所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3,因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示;...4分 因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示,而向量组1235,,,αααα的秩为4,即
1235,,,αααα线性无关,因此5α不能由123,,ααα线性表示,矛盾,因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。.............................................5分
武汉科技大学
2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)
解答与参考评分标准
一、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.满足下列条件的行列式不一定为零的是( A )。
(A )行列式的某行(列)可以写成两项和的形式;(B )行列式中有两行(列)元素完全相同; (C )行列式中有两行(列)元素成比例; (D )行列式中等于零的个数大于2
n
n -个.
2.下列矩阵中( C )不满足2
A E =-。
(A )1211-?? ?-??; (B )1211--?? ???; (C )1211-?? ???; (D )1121?? ?
--??
. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( D )。
(A)AB BA =; (B) 存在可逆矩阵1
,P P AP B -=使;
(C) 存在可逆矩阵,T
C C
AC B =使; (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使.
4.向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是( D )
(A )错误!未找到引用源。均不为零向量; (B )错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关;
(C )错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例;
(D )错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。 5.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的( B )。
(A )充分条件; (B )充要条件; (C )必要条件; (D )无关条件.
二、填空题(每小题3分,共15分)
6.设???
?
? ??=101020101A ,则22A A -= 0 。
7.已知(),,,,,,??
? ??==31211321βα设,A T
βα=则A =1112322
133312
?? ?
? ? ? ? ? ??
?
; 8.设A 是三阶方阵,且1A =-,则*12A A --= 27 ;
9.已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 2 ;
10. 已知1112
42335A -?? ?=- ? ?--??,00020002B λ?? ?
= ? ???
,且A 于B 相似,则λ= 6 。 三、计算题(每小题10分,共50分)
11.123
121111
111
11111(0)1
1
1
1n n n a a D a a a a a ++=+≠+
解:1213211111111
111
101111
11101111
1
110
1
1
1n n
n
a a a D a a a a +++=+=+++ 5分
11122
111
1111
1
110000010000010
n
i i
n
n
a a a a a a a =+-=-=-∑
8分
12111n
n i i
a a a a =??=+ ???
∑ 10分
12.已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123
2202030x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=? 的解.
①求λ的值;②证明0B =.
解:①因为非零矩阵B 的每一列都是齐次方程组的解,所以齐次线性方程组123123123
22020
30x x x x x x x x x λ+-=??
-+=??+-=?有非零解,即1
22
2
104513
1
1
λλλ--=?+=?=- 5分
②由题意可得1222110()()3311B R B R A n -?? ?
-=?+== ? ?-??
, 8分
因为()1R A >,所以()3R B <,即B 不可逆,所以0B = 10分 注:第二问也可以用反证法,方法对即可。
13.设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102.004202A B ????
? ?
== ? ? ? ?????
求矩阵X 。
解:()22AX B X A E X B =+?-=1112012,002A E ?? ?
-=- ? ??? 3分
()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ???--?
? ?
-=- ? ? ? ?????
8分
所以111100101X --?? ?
= ? ???
。 10分
14.求向量组123451134333541,,,,2232033421ααααα--??????????
? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?---??????????
的秩及最大无关组。
解:()123451134
3113433
354100488,,,,~2232000369334210051010ααααα----???? ? ?
----
? ?
= ? ?---- ? ?
-----????
1134300488~0000000000--?? ?--
? ? ???
, 6分 所以()12345,,,,2R ααααα=,任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。 10分
15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??
?? ?
?= ? ? ? ?????
1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ;
2. 求A 的特征值和对应的特征向量。
解:1. 二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??
?
= ? ???
, 3分
2.()()2
10003201505,10
2
3A E λ
λλλλλλ
--=
-=?--=?=-(二重) 6分
当5λ=时,()40010050022~011022000A E x -????
? ?
-=?-- ? ? ? ?-????
,
所以1011k ??
?
? ???为5λ=对应的特征向量。 8分
当1λ=时,()0000000022~011022000A E x ???? ? ?
-=? ? ? ? ?????
,
所以23100,101k k ????
? ?
- ? ? ? ?????
为1λ=对应的特征向量。 10分
四、解答题(10分)
16. 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-3(1,2,2)T b a b α=---+, 试讨论b a ,为何值时
(1)β不能用321,,ααα线性表示;(2)β可由321,,ααα唯一地表示,并求出表示式;(3)β可由321,,ααα表示,但表示式不惟一,并求出表示式.
解:问题转化为方程组求解问题??
?
??
-=++-=+-++=-+3
)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x
增广矩阵11
1111112223~010323000A a b a b a a b a b --???? ? ?=+--- ? ?
? ?-+--???? 5分
(1)0a =时,(若b=0则2)(,1)(==A R A R ,若≠b 0则()2,()3R A R A ==) 方程组无解,即β不能用321,,ααα线性表示 6分 (2)0,0≠-≠b a a 时,()()3R A R A ==,方程组有唯一解,即β可由321,,ααα唯一地表示,求表示式:
111111110110010100101000000100010a a A a b a a b --??
???? ? ? ??-?? ? ? ? ? ? ?-??????
1112(1)a a βαα?=-+ 8分
(3)0,0a a b ≠-=时,()()2R A R A ==,β可由321,,ααα表示,但表示式不惟一,
求表示式:11111110010101100000000a a A a a --????
? ??-?- ? ? ? ????
? 11
123(1)()a a k k βααα?=-+++, 10分
五、证明题(每小题5分,共10分)
17.设12,,
,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件
是:任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。
证明:充分性:12,,
,n ααα是一组n 维向量,任一n 维向量都可由它们线性表示。因此有E
可由12,,
,n ααα线性表示,因此有
()()()n R E R A n R A n =≤≤?=?12,,,n ααα线性无关。 3分
必要性:,n b R ?∈12,,
,n ααα线性无关,因此有12,,
,,n b ααα线性相关,即
()12,,
,n x b ααα=有惟一解,所以向量b 可由向量组12,,
,n ααα线性表示,由b 的任意性
可得任一错误!未找到引用源。维向量都可由12,,
,n ααα线性表示。
5分
18.设A 为对称矩阵,B 为反对称矩阵,且,A B 可交换,A B -可逆,证明:
()()
1
A B A B -+-是正交矩阵。
证明:A 为对称矩阵T A A ?=,B 为反对称矩阵T B B ?=-,
,A B 可交换()()()()AB BA A B A B A B A B ?=?+-=-+, 2分
()()
()
()()
()
()
()()
()
()()()
11
11
1
T
T
T
A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B E
-----+-+-=
-++=+-+-= 4分
所以()()1
A B A B -+-是正交矩阵。 5分
线性代数习题和答案
第一部分 选择题 (共28分)
一、单项选择题(本大题共14小题,每小题2分,共28分)在每小题列出的四个选项中只有
一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 111221
22=m ,a
a a a 131123
21=n ,则行列式a
a a a a a 111213
21
2223
++等于( D )
A. m+n
B. -(m+n)
C. n -m
D. m -n
2.设矩阵A =100020003?? ??
?
??,则A -1等于( B )
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
??
C
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
3
1
D
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3.设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是( B )
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有( D )
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩(A T)等于( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则( D )
A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0
B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+…+λs(αs+βs)=0
C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1(α1-β1)+λ2(α2-β2)+…+λs(αs-βs)=0
D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+
λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
7.设矩阵A的秩为r,则A中( C )
A.所有r-1阶子式都不为0
B.所有r-1阶子式全为0
C.至少有一个r阶子式不等于0
D.所有r阶子式都不为0
8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( A )
A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.1
2
η1+
1
2
η2是Ax=b的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b的一个解
9.设n阶方阵A不可逆,则必有( A )
A.秩(A) B.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 10.设A是一个n(≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( B ) A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,则λ是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2, λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关 11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必 有( A ) A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是( B ) A.|A|2必为1 B.|A|必为1 C.A-1=A T D.A的行(列)向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则( D ) A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为( C ) A.2334?? ??? B.3426?? ?? ? C.100023035--?? ? ???? D.111120102?? ?? ??? 第二部分 非选择题(共72分) 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)不写解答过程,将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。 15.111 35692536 = 6 . 16.设A =111111--?? ???,B =112234--?? ???.则A +2B = 337137--?? ? ? ? . 17.设A =(a ij )3×3,|A |=2,A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式(i,j=1,2,3),则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a )线性相关,则a= -10 . 19.设A 是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解,则它的通解为 η1+c(η2-η1)(或η2+c(η2-η1)),c 为任意常数 20.设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r( 23.设矩阵A =010********---?? ?????,已知α=212-?? ?? ? ??是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 1 . 24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 z z z z 12223242 ++- . 三、计算题(本大题共7小题,每小题6分,共42分) 25.设A =120340121-?? ? ? ? ?? ,B =223410--?? ???.求(1)AB T ; (2)|4A |. 26.试计算行列式31125134 20111533 ------. 27.设矩阵A =423110123-?? ?? ? ??,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .