(完整版)解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式
解决不等式恒成立问题的几种方法及指数不等式与对数不等式
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有
1）0)(>x f 对R x ∈恒成立????00a ; 2）0)( ? ?? 例1．已知函数])1(lg[2 2 a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。 解：由题设可将问题转化为不等式0)1(2 2 >+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有 04)1(22<--=?a a 解得3 1 1> - 1()1,(+∞--∞Y 。 若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2．设22)(2 +-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=?m m m 即时，0)(>x F 当0≥?时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ??? ? ???-≤--≥-≥?1 220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 二、最值法（分类讨论） 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a ? 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f 练习、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()23f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a - <-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 7 3 a ∴≤又4a >所以a 不存在； （2） 当222a -≤≤即：44a -≤≤时，()2min 3024a a f x f a ?? =-=--≥ ??? 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤ （3） 当22 a -> 即：4a <-时， ()()min 270f x f a ==+≥ 7a ∴≥-又 4a <-74a ∴-≤<- 综上所得：72a -≤≤ 例4．函数),1[,2)(2+∞∈++= x x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 解：若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，即对),1[+∞∈x ，02)(2>++=x a x x x f 恒成立， 考虑到不等式的分母),1[+∞∈x ，只需022 >++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立而得 而抛物线a x x x g ++=2)(2 在),1[+∞∈x 的最小值03)1()(min >+==a g x g 得3->a 注：本题还可将)(x f 变形为2)(++ =x a x x f ，讨论其单调性从而求出)(x f 最小值。 三、确定主元（变换主元） 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。 例5、若不等式( ) 2 211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。 解：设()() ()2 121f m m x x =---，对满足2m ≤的m ，()0f m <恒成立， ()()()()()()2221210202021210 x x f f x x ?----<- ∴∴??<--- x <<例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2 >-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2 >+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题。 解：令44)2()(2 +-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）。 当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意。 当2≠x 时，应有?? ?>->0 )1(0 )1(f f 解之得31> 注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 的充要条件为?? ?>>0 )(0 )(βαf f 。 三、分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有： 1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >? 2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g 实际上，上题就可利用此法解决。 略解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立，只要x x a 22 -->在),1[+∞∈x 时恒成立。而易求得二次函数x x x h 2)(2 --=在),1[+∞上的最大值为3-，所以3->a 。 例7．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)( 4-< 对]4,0(∈x 恒成立。令x x x x g 2 4)(-=，则min )(x g a < 由14 4)(2 -= -=x x x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0 注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。 四、利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ?????，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围。 例5、当1 ,33x ??∈ ??? 时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围。 解：1log 1a x -< （1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ???? ? ? ????? 3 113 a a ≥??∴?≤?? 3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ????? ? ?????13 13 a a ? ≤ ??∴??≥??103a ∴<≤ 综上所得：1 03 a <≤ 或3a ≥ 五、数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。 例6、若不等式2 3log 0a x x -<在10,3x ??∈ ??? 内恒成立，求实数a 的取值范围。 解：由题意知：2 3log a x x <在10,3x ? ?∈ ??? 内恒成立， 在同一坐标系内，分别作出函数2 3y x =和log a y x = 观察两函数图象，当10,3x ? ?∈ ??? 时，若1a >函数 log a y x =的图象显然在函数23y x =图象的下方，所以不成立； 当01a <<时，由图可知，log a y x =的图象必须过点11,33?? ??? 或在这个点的上方，则，11log 33 a ≥ 127a ∴≥ 1127 a ∴>≥ 综上得：1 127 a >≥ 上面介绍了含参不等式中恒成立问题几种解法，在解题过程中，要灵活运用题设条件综合分析，选择适当方法准确而快速地解题。 指数不等式的解法 是利用指数函数的性质化为同解的代数不等式 ()()()()1()();()();f x g x f x g x a a a f x g x a a f x g x >>?> () ()()()01()();()(); f x g x f x g x a a a f x g x a a f x g x <<>?<时 例1：解不等式：221 0.2 0.04x x -->解 (1)原不等式 221 2 2 0.2 0.2212(1)(3)013 x x x x x x x --?>?-- 所以原不等式的解集为{}|13x x -<< 例2：2 24,(01)x x x a a a a -+>>≠且 解：2 24 22(1)124 340 (4)(1)014; x x x a a a x x x x x x x x x -+>>?->+?-->?-+>?<->当时或 2 24 22(2)0124 340(4)(1)014 x x x a a a x x x x x x x x -+<<>?-<+?-- 所以原不等式的解集为：{}1|14a x x x ><->时或 {}01|14a x x <<-<<时 对数不等式的解法a>1时 ()0 ()()()0 ()()log log a a f x f x g x g x f x g x >?? ?? ()0()()()0 ()()log log a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? 对数不等式的解法（0 ()0()()()0 ()()log log a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? ()0()()()0 ()()log log a a f x f x g x g x f x g x >?? ??>? 例3：112 2 log (32)log (1)x x ->+ 解：原不等式32010321x x x x ->?? ?+>??-<+?23132x x x ?>???>-??? 2332x ∴<< 所以原不等式的解集为23| 32x x ? ?< 例4 解不等式1318329x x +-+?> 解:原不等式可化为：23(3)293180x x ??-?+>(39)(332)0x x ?-?-> 23933x x ?><或322log 3x x ?><或∴原不等式的解集为32|2log 3x x x ? ?> ?或 y = 例5：求 解：要使此函数有意义：只须0.1(21)0log x -≥210211 x x ?->???-≤??01x x >??? ≤?01x ∴<≤ ∴原不等式的解集为{}|01x x <≤ 指数不等式、对数不等式的解法·例题 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x 2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x 2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于 所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。 注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。 例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t 2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t 2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。 【课堂例题】 例1.试解下列不等式： (1)123 9x x ->; (2) 1()32x ≤; (3)2lg lg(6)x x >+； (4)0.5log 1x >-. 课堂自测 1.解下列不等式： (1)23712 ()2x x +-> (2)11332 log ()log x x x -> (3)11() 93x -< (4)2lg(6)1x -≤ 2.解下列不等式： (1)469x x x +>; (2)2log log 430x x +-≤; 3.解不等式：2 (2)log (34)0x x x ---< (选用)例2.解关于x 的不等式：2log (2)log 20,(0,1)a a a x a x a a -++>>≠. 【知识再现】 下列常见指数不等式与对数不等式的等价变形为： ()()(0,1)f x g x a a a a ?>≠>??? (0,1)log ()log ()a a a a f x g x ?>≠>??? 【基础训练】 (解不等式的结果一律集合(区间)表示) 1.解下列不等式： (1)352114()2x x +->; (2)451381x -≥. 2.解下列不等式： (1)222log log x x ≥; (2)0.5log 2x ≤-. 3.(1)不等式11()161282 x <≤的整数解的个数为( )； A.10 B.11 C.12 D.13 (2)不等式3log |2|2x -<的整数解的个数为( )； A.15 B.16 C.17 D.18 (3)若2log 13 a <，则a 的取值范围是( ). A.2(0,)3 B.2(,)3+∞ C.2(,1)3 D.2(0,)(1,)3+∞ 4.解不等式：2log (6)2x x x -->. 5.解不等式：2882lg33 10x x +->. 指数不等式、对数不等式考试试题及答案 例5-3-7 解不等式： 解(1)原不等式可化为 x2-2x-1＜2(指数函数的单调性) x2-2x-3＜0 (x+1)(x-3)＜0 所以原不等式的解为-1＜x＜3。 (2)原不等式可化为 注函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的重要依据。例5-3-8 解不等式log x+1(x2-x-2)＞1。 解[法一] 原不等式同解于 所以原不等式的解为x＞3。 [法二] 原不等式同解于 log x+1(x2-x-2)＞log x+1(x+1) 所以原不等式的解为x＞3。 注解这类对数不等式，要注意真数为正数，并须对底数的分类讨论。 解原不等式可化为 22x-6×2x-16＜0 令2x=t(t＞0)，则得 t2-6t-16＜0 (t+2)(t-8)＜0 -2＜t＜8 又t＞0，故0＜t＜8即0＜2x＜8，解得x＜3。 注解这类指数不等式，常常需要通过变量代换把它变为整式不等式来解。 解原不等式可化为 解得t＜-2或0＜t＜1，即 注解不同底的对数不等式，应先化为同底对数的不等式，再利用对数函数的单调性将它转化为整式不等式求解。这时也常常用到换元法。 例5-3-11设a＞0且a≠1，解不等式 解原不等式可化为 令log a x=t，则得 当0＜a＜1时，由指数函数的单调性，有 4-t2＜1-2t t2-2t-3＞0 (t+1)(t-3)＞0 t＜-1，或t＞3 当a＞1时，则有 4-t2＞1-2t t2-2t-3＜0 (t+1)(t-3)＜0 -1＜t＜3 注解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底，求单一”，即把不同底的指数或对数化为同底的，再通过函数的单调性将复合情形转化为只含指数或对数的单一情形求解。 例5-3-12设f(x)是定义在实数集R内的函数，对任意x，y∈R，有f(x+y)=f(x)·f(y)；并且当x＞0时，f(x)＞1，f(1)=a。解关于x的不等式f(x2+x-4)＞a2。 指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： （1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=； （2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： （1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=； （2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=； （3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： （1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >. 指数、对数方程与不等式的解法 注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： １、指数方程的解法： （1）同底去底法:()()()()f x g x a a f x g x =?=; （２)化成对数式:log () ()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： (１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=; (2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=; （３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： (1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式: 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >. 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()() 1.(1)()();(01)()() 2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0; ()()()0log ()log ()(01)()0 ()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >?? >>?>??>?>?? ><??x x x 例2.解不等式15 4log 的一个解，解此关于x 的不等式. 例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 1 2>++-+x x x x a a a 练习 1. 不 等 式 log log 22 1>x 的解集 为……………………………………（ ） （A ）{x|x<2} （B ）{x|0 指数方程与指数不等式、对数方程与对数 不等式的解法 指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： (1) 同底去底法：a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f (x) log a b a f(x ：)log a b ； (3)取同底对数：a f(x) b g(x) f(x) lg a lg b g(x) f (x)l g a g(x)lg b 2、对数方程的解法： (1)同底去底法：log a f (x) log a g(x) f (x) g(x )； (2)化成指数式：log a f (x) b lo g a f (x) log b a a f(x) a b ； (3)取同底指数:log a f (x) b a log a f(x) b a f(x) b a . 3、 指数不等式的解法： (1) 同底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f(x) g(x)； 0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2) 化成对数式： a 1 时，a f (x) b a f(x) a logab f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f (x) b a f (x) a logab f (x) log a b ； (3) 取同底对数：a f (x) b g(x) Ig a f(x) Ig b g(x) f (x)lg a g(x)lg b . 4、 对数不等式的解法： (1)同底去底法： a 1 时，log a f(x) log a g(x) 0 f(x) g(x)； 指数不等式与对数不等式的解法 主标题：指数不等式与对数不等式的解法 副标题：为学生详细的分析指数不等式与对数不等式的解法的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：不等式，指数不等式与对数不等式的解法，知识总结 难度：3 重要程度：5 考点剖析：1.利用指数函数的定义域和单调性将指数不等式转化为一元二次不等式； 2.利用对数函数的定义域和单调性将对数不等式转化为一元二次不等式； 3.利用换元法将含指数或对数的不等式进行合理转化. 命题方向： 考查指数不等式或对数不等式，往往考查其定义域与单调性，将其合理转化为一元一次不等式或一元二次不等式进行求解. 规律总结： 1.? ? ?<<<>>?>10),()(1 ),()()()(a x g x f a x g x f a a x g x f , 2.?>)(log )(log x g x f a a ???<<<<>>>1 0),()(01 ,0)()(a x g x f a x g x f 3.对于02>++C Ba Aa x x ，令t a x =，可转化为02>++C Bt At 来解（但要注意 0>=x a t ），再利用t x a log =求解; 4.对于0log )(log 2>++C x B x A a a ,令x t a log =，可转化为02 >++C Bt At ，再利用 t a x =求解 知识点总结： 1.指数函数的图象与性质 a >1 00时，1)(>x f ；当 x <0时，1)(0< 一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 2 131)a 1()a 1(->- B. 23)a 1()a 1(+>- c. 1)a 1()a 1(>-+ 343的结果为() A 、5 B 、5 C 、－5 D 、－5 4、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x －1) D 、y=log (x+1)5 5、函数f x x ()=-21，使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{}x x <0 B 、{}x x <1 C 、{}x x =0 D 、{}x x =1 6、设 5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则 A 、y 3＞y 1＞y 2 B 、y 2＞y 1＞y 3 C 、y 1＞y 2＞y 3 D 、y 1＞y 3＞y 2 7、25532lg 2lg lg 16981-+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 8. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( ) 二、填空题： 1、已知21366log log x =-，则x 的值是 。 2、计算：21 0319)41()2(4)21(----+-?- ＝ ． 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为（－∞，1），则a= 。 4、当x ∈［－2，2)时，y =3－x －1的值域是 _ ． 5. 若函数=y 2x l o g 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 三、解答题： 1、（8分）已知函数f (x )=a x ＋b 的图象过点(1，3)，且它的反函数f －1(x )的图象过(2，0) 点，试确定f (x )的解析式． 2、（8分）设A ＝｛x ∈R ｜2≤ x ≤π｝，定义在集合A 上的函数y =log a x (a ＞0，a ≠1)的最大值比最小值大1，求a 的值 3. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=. (1) 若≤-)x (f 1)x (g ，求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1-- =，当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域. 指数不等式、对数不等式的解法 指数不等式：转化为代数不等式 ()()()()()1.(1)()(); (01)()() 2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b >>?>><>>??> 对数不等式：转化为代数不等式 ()0log ()log ()(1)()0; ()()()0log ()log ()(01)()0 ()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >??>>?>??>? >??><??x x x 例2.解不等式15 4log 例4.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a 例5．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x a a a 练习 1.不等式0 log log 221>x 的解集 为……………………………………（ ） （A ）{x|x<2} （B ）{x|0 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，? ??<-≥==)0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1）3 2 8 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32 322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ） 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么 （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1） 与 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 与 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 二．指数、对数不等式的解法 （一）．常见题型及等价转化： (1) (a>0,a ≠1)。当0 例2.解不等式15 4log 1、解不等式()223 3(1) 12()2:3,2x x x answer ---<- 上课了!!! 2、解不等式 ()123318329 3131829329180 2:,log 2,3x x x t t t t t answer +-+?>=+?>-+>??-∞?+∞ ?? ? 换元 3、 解不等式 3log (1)2(4,5]x x --≥ 讨论 4、 解关于x 的不等式 )1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 5、 解不等式24log a x x x x a > 一、 总结与提高： ).x (g )x (f 1a );x (g )x (f 1a 0a a )x (g )x (f >><<时当时当 b log )x (f 1a ;b log )x (f 1a 0)0b (b a a a )x (f >><<>时当时当 0 )x (g )x (f 1a );x (g )x (f 01a 0)x (g log )x (f log a a >>><<<时当时当 b log )x (f 1a ;b log )x (f ,1a 0b )x (f log a a a >><<时当时当 二、 作业： 解下列不等式 1．)10(,422≠>>+-a a a a x x x 且 (当a >1时),4()1,(+∞?--∞∈x 当0--x x x (-2 2019-2020学年高三数学总复习 指数不等式与对数不等式教案 教材：指数不等式与对数不等式 目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。 过程： 一、 提出课题：指数不等式与对数不等式 强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题 因此必须注意它们的“底”及它们的定义域 二、 例一 解不等式)1(332)2 1(22--- .选择题 1. 设x . 0且() A. b ::: a ::: 1 1 ：：：a ::: b ::b x::1, a,b (0,：：)， B. a ■■■■ b ::: 1 C. b 的大小关系 1 ：：： b ：：： a D. 2. ( 女口果0 ::: a ::: 1 ) 那么下列正确的 3、 1 1 A. (1—a)3(1—a)2 B. (1 -a)3■ (1 a)2 c. (1 -a)(1 a)化简 - 3 :3( _ 5): &的结果为() C 、 4、函数y=5x+1的反函数是 A、y=log 5(x+1) B、y=log x5+1 C、y=log 5(x — 1) y=log(x+1)5 5、函数f(x)二-1, f (x)乞0成立的x的值的集合是 ；xx : 0? B、 'XX ： ： 1 c 、 0 9 6、设y〔二4 , y2二 8 0.44 7 、 ig 8. A、y3>%>y2 B、y2> y1> y3c 、 y1> y2> y3y1> y3> y2 A、lg2 B、lg3 c 、 lg4 lg5 a 1时，在同一坐标系中，函数y a」与y = log a x 的图象是图中 、填空题: 1、已知2log6 x =1 — log 6 3，贝y x 的值是_______________ 。 . . J 2、计算：(丄)二_4 (_2)：(丄)。_9 2 = _____________________________ . 2 4 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为(一00, 1),则a= ______________ 。 4、当x€ [—2, 2)时，y=3一x- 1 的值域是____ ___________________ . 5?若函数y = logx?2的反函数定义域为(3, ?：：)，则此函数的定义域为_______________ . 三、解答题： x —1 1、 (8分)已知函数f(x)=a + b的图象过点(1, 3)，且它的反函数f (x)的图象过(2, 0) 点，试确定f(x)的解析式. 2、(8分)设A={ x€ R | 2 W x W兀},定义在集合A上的函数y=log a x (a>0, 1 的最大值比最小值大1,求a的值 3.已知函数f(x)=2x-1 的反函数为f'(x), g(x) = log4(3x ? 1). (1)若f」(x) —g(x)，求x的取值范围D; 1 』 ⑵设函数H(x) =g(x) f (x)，当x ? D时，求函数H(x)的值域.高二数学辅导精讲：指数不等式、对数不等式的解法·例题
4.8.2 指数不等式与对数不等式(含答案)
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