经济管理数学模型案例教程总

[2-1-12] 利益分配的合作博弈模型

1、问题的提出

在经济和社会活动中，若干实体（如个人、公司、党派、国家等）相互合作结成联盟或者集团，常能获利得比他们单独行动时更大的经济或社会效益，并且，通常这种利益是非对抗性的。合理地分配这些效益的方案是促成合作的前提，那么，应该如何分配利益才算是合理？

2、模型的构建

若干方合作获利的效益分配问题，称为合作博弈。1953年，L.S.Shapley 给出了n 人合作博弈问题的一种方法。

假定在n 方合作博弈中，若干人的每一种组合（特别，单人也看作为一种组合）都会得到一定的效益，合作中人数的增加不会引起效益的减少，于是，全体人员的合作将带来最大效益，在这种假定下，Shapley 提出了一系列的公理的唯一的分配这个最大效益的一种方案，并且严格证明了这种方案是满足这组公理的唯一的分配。

设},,2,1{n I =为合作博弈的n 方。对于参加者的某种组合(即I 的一个子集)S,以)(S v 记其相应的效益(它是一种有特定含义的特征函数).。用i P 表示I 中第

i 位成员从合作收益中应得到的一份收入。称T n v p v p v p P ))(,),(),((21 =为Shapley 值，它由效益函数)(S v 确定它的计算公式为

∑∈=-=i

S s i n

i i S v S v S w p )17.1.2(,,2,1)],\()()[(

其中i S 是I 中包含i 的所有子集，S 是子集S 中的元素个数（组合S 中的参加者数量），)(S w 是加权因子

!

)!

1()!()(n S S n S w --=

注意到)(S v 是有第i 方参加的某种合作方案S 的获利，

)\(i S v 表示在这种合作方

式中第i 方退出以后的获利。因此，)\()(i S v S v -可以看成在这种合作方案中第i 方的“贡献”

。根据前面的假设，任何一方在任何合作方案中的贡献都是非负的。而i P ()v 则是在各种有第i 方参加的合作方案i S 中第i 方“贡献”的加权总和。通俗地说，就是按照贡献大小分配利益。

可以证明，这种分配方案满足：i ）不贡献的不得利（即如果他在各种合作方案中所有的贡献值都为零，则他的获利为零）：ii ）各合作方的获利总和等于总收益。

3模型求解与应用

下面通过实例说明模型如何根据)17.1.2(求解合作获利的效益分配，沿河有1、2、3三个城镇，地理位置及各城镇的距离如图2-9所示。

城镇排放的污 需经过处理才能排入河中，三个城镇既可以单独建污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污 集中处理（污水 必须从上游城镇送往下游城镇，处理厂必须建在下游位置。）按照经验公式，建造污水处理厂的费用1p 和铺设管道的费用2p 分别为

)(73712.01千元Q p =

02=p )(66.51.0千元L Q

其中Q 表示污水处理量（吨/秒），L 表示管道长度（km ）、如果三城镇的污水量分别为===62135，Q ，Q Q 6，试从节约总投资的角度为三城镇制定建厂方案。如果联合建厂，费用应如何分担。 三城镇建厂方案一共有以下5种 （1） 城镇分别建造，建造费用分别为

73)1(=F ×，。)(23057120千元=?=73)2(F )(1603712.0千元=

，

F )(260673)3(712.0千元=?=

总投资额为)(650)3()2()1(千元=++F F F

（2） 城1，2合作，在城2处建厂，城3单独建，建造费用为

)(35020566.0)35(73)2,1(51.0712.0千元=??++?=F ，总投资额为

)(610)3()2,1(千元=+F F 。

（3） 城2，3合作，在城3处建厂，城1单独建.建造费用为

)(39038366.0)63(73)3,2(51.0712.0千元=??++?=F ，总投资额为

)(620)1()3,2(千元=+F F 。

（4） 城1，3合作，在城3处建厂，城2单独建.建造费用为

)(49058566.0)65(73)3,1(51.0712.0千元=??++?=F ，总投资额为

)(650)2()3,1(千元=+F F 。

（5） 三方合作建厂.建造费用为

)(58038)35(66.020566.0)635(73)3,2,1(51.051.0712.0千元=?+?+??+++?=F

比较以上方案，费用最省的自然是第5种，三城镇自然都会考虑合作建设。那么，应该如何分担这笔合作建造费用？

如果不采用Shapley 的方法，人们首先会想到根据排放污水量平均分担的办法.于是，城1应该分担

)(2075806

355

)1(千元=?++=

V ，

同样，城2应分担)(124)2(千元=V ，城3应分担)(249)3(千元=V 。

然而，按照这样的方案，城1可以节省23千元。城3可以节省36千元，城3 却只能节省11千元似乎并不尽合理。

考虑到合作建厂的费用由建处理厂和铺设管道两部分组成，城3提出另外的方案：建处理厂费用应按排污量平均分担，而2，3段管道费用应由1，2两城分担，1，2段管道费用由城1单独承担.这种方案貌似公平，但仔细算来，城3只需承担费用

)(205)635(736

356

)3(712.0千元=++??++=

V

而城2和城1的费用将分别达到130千元和245千元（计算略）.城1甚至超过

单独建厂的费用,这显然更是不合理的。

如果采用Shapley 的方法，我们可以把合作方案节省的投资额看成收益，它将符合特征函数的要求，因此，可以要Shapley 值计算各方节省的资金额。更方便地，可以直接用各种合作方案的建造费用作为效益函数计算 Shapley 值，其结果就是各方应承担的投资费用.用上述数据计算，以第1城为例，可得下表

表2-1-6

即得)(2101千元=p 。类似地可以计算得到)(1252千元=p ，

)(2453千元=p .也就是说，如果三方合作，则各方投资应按上述比例分摊.这

时，各方按排污量平均每秒吨的投资额分别为42千元、41.67千元、和40.83千元.排放距离即铺设管道长些，承担费用略大些。各方节省额的差额比按照排放污水量平均分担方案小些，这种分摊结果还是更合理些。

[2-4-1]钢管的订购和运输模型

1、问题的提出

2000年全国大学生数学建模竞赛B 题《钢管的订购种运输》，问题是要铺设天

然气输送管道，在若干钢管生产厂以及不同的运输路径、方案中，如何进行选择，确定购运计划，才能使总费用最小。 2．模型和构建

《钢管的订购和运输》赛题提出的大到上是这样的问题：

要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图2-24所示。

经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有7,2,1,S S S .图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设管道的地方（假设沿线原有公路或建有施工公路），每段铁路和公路旁的数字表示路段长（单位：km ）.为和距离有所区别，1 km 长的钢管称为1个单位。

钢厂i S 在指定期限内该种钢管的最大生产能力为i s 单位（如下表）：

表2-4-1

1单位钢管的铁路运价如下表：

表2-4-2

注：1000km 以下每增加1~100 km ，运价增加5运价（万元）。

公路运价不1单位钢管每千米路程0.1运价（万元）（不足1km 部分按1 km 计算）.钢管可从某几家钢厂订购，由铁路、公路运往各铺设点（不足是运到,15,2,1,A A A 而是管道的全线）。请制定订购和运输计划，我们应当分成几个层面和的子问题考虑：

首先需要计算出单位长度钢管从各钢厂S ，运到需要铺设点P ，（以1km 管道为一个点，总共有5171个点）的最小运输费用).5171,,2,1;7,,2,1(( ==j i c ij

钢管可以通过铁路或公路运输。公路运费是运输里程的线性函数（稍有不同的是不足1km 要进整），但是铁路运价却是一种分段的阶跃的常数函数。因此在计算时，不管对运输里程还是费用而言，都不具有可加性。图论中用以计算最短路的Dijkstra 算法和Floyd 算法等都将失效，只能将铁路运价（即由运输总里程找出对应费率）和公路运价分别计算后再迭加，好在整个图形比较简单，钢厂出来都是铁路，铺设点沿线都是公路。而且通常情况下平均每千米的铁路运价要低于公路运价，所以只要在优先考虑尽量使用铁路运输的前提下，通过可能方案的枚举，就能找到费用最小的路径和费用。（根据题目提供的数据，铁路运价中601km 段的运价比分解为300+301段的运价要高，从而带来计算的问题。这可能是命题者的疏忽。此外，有个别点对j i P S →在运输方案的枚举计算时会出现意外，但这不具一般性。）

其实，并不需要逐一求出所有点对j i P S →的费用ij c 。因为从i S 到j P 总要经过某个枢纽站。假定j P 位于构纽站k A 和1+k A 之间，那么只要比较从j k i P A S →→和j k i P A S →→+1两者的大小。也就是说，只要先求出k i A S →的费用（15,,3,2;7,,2,1 ==k i ），再在1+k k A A 段上找出通过两侧到达铺设点j P 费用相同的平衡点ik Q ，显然如果j P 在平衡点的左侧应该经过k A ，在平衡点的右侧则应该经过1+k A 到达。这样就可以大大减少计算量。（直接计算ij c 需要算7×5171个量，而计算k i A S →的费用则需要7×14个，平衡点ik Q 共7×13个，总共119个量。每个点的费率再需加一小段公路运费即可）。根据题意，公路路段的费用，行驶里程不足1km 部分按1km 计算。因此，平衡点ik Q 的小数部分是不起作用的，不妨均取整数，根据铺设点j P 在平衡点的哪一侧来确定费率ij c 。

知道了从钢厂到铺设点的费率，就容易得出原问题的数学模型——运输问题模型。

模型一：线性规模型

用ik X 表示铺设点j P 的钢管是否从第i 家钢厂购运而来。如果是则取1，否则取0。那么，总的运输费用便是：

∑∑?=i

j

ij ij x c W .

根据钢厂生产能力有以下不等式：

7,,2,1,

=≤∑i s x

j

i ij

于是，原问题就可以表示成：

∑∑?=i

j

ij ij x c W .min

.

5171,,2,1,7,,2,1,

1,0,

7,,2,1,

.

. ====≤∑j i x i s x

t s ij i j

ij

这就是原问题的运输问题模型。

用该模型求解，显然存在变量过多（共有7×5171个）的困难。考虑到前文所述钢厂到铺设点的运输必定要经过枢纽站，因此可以用下述方式简化。

模型二：二次规划模型

用ik x 表示从钢厂i S 运到枢纽站k A 、k Z 分别表示从枢纽站k A 向右边（即

k A 1+k A 段）及左边（即1-k A k A 段）的钢管总量，（这里假设k y 、k Z 都是整数）。

注意到将总量为k y 的钢管运到每单位铺设点，其运费应为第一公里、第二公里……直到第k y 公里的运费之和，即为)21(1.0k y +++? 。往左也一样。又因为从枢纽站运往两边的量受路段长度制约，故有.||11++=+k k k k A A z y

综上所述，原问题的模型为：

,2)1(2)1(1.02

1min .∑∑∑???

???+++??+?=i j k k k k k ik ik z z y y x c W .

14,,3,2,7,,2,1,

0,,|,|,14,,3,2|,|,

7,,2,1,

.

.121211 ==≥===+=≤+++∑k i z y x A A z K A A z y i s x

t s k k ij K k k k i j

ij

用该模型，变量个数从7×5171=36197减少到7×14+2×13=114个。

上述模型，其目标函数是一个二次函数，而约束条件则是线性方程和线性不等式组。这种形式的数学规划问题称为二次规划。它的一般形式为：

.

.,2

1min(max)≥=++X b

AX t s d X C QX X T T

对于二次规划的讨论，可参阅有关文献。 3、模型的求解

对于所构建的线性规划——运输问题模型，一般数学软件包都有相关的软件可以采用。由于约束条件的系数矩阵的全幺模性，用普通的线性规划方法直接可以得到整数解，不用作特别处理，只是由于变量较多，可能有的计算机容纳不了。

至于模型二的二次规划模型，同样有软件可以。

[2-4-12]大型超市购物者付款排队系统优化模型

1．问题的提出

大型超市收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致的成本增加又困扰着商场经营者。前者影响到公司在消费者心中的形象，后者影响到商场的经营效益。

窗口开得多好还是开得少好？采取什么优化措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？

2．模型的构建

购物者到达的时候是随机的，购物者交费的时刻也是随机的。若开放的窗口过少，购物者等待时间会很长，很可能会选择临近的商场；若开放的窗口过多，虽然减少了购物者的等待时间，但将导致收银员空闲，增加商场的经营成本。

显而易见，商场经营者解决这一问题的基本思路是：构建数学模型，在消费者能够忍受的等待时间条件下，求解使经营成本最小的窗口设置数目。

很多文献均把购物者由于等待所产生的费用假设为一个已知量，将等待费用和服务成本的总费用作为目标函数得到最优的控制策略，但在实际应用中购物者

的等待费用往往很难确定。例如，一个70岁的退休老人与一个30岁的年轻人同样等待1个小时所产生的损失费用显然是不同的，同一个人在不同时间的等待损失费用也是不同的。另一方面，由于这类企业竞争激烈，应提高服务质量，把令购物者满意放在首位。因此，上述方法在实际中往往是不可行的。基于此，通过调查获得购物者能接受的平均等待时间)(N D T ，提出了以)(N D T 为约束条件的优化模型，在此约束条件下求得使服务成本最小的收费台数。

（1）系统描述

大型超市购物者交费排队系统是一个随机服务系统，有如下特征： （i ）购物者达到收费系统是相互独立的，购物者相继到达的时间间隔是随机的；

（ii ）服务规则遵从先到先服务原则，且为等待制，即购物者接受服务需要等待；

（iii ）购物者交费时间是相互独立的。

系统运行较长时间达到稳态，进入系统的购物者可随时改变其队列，假设购物者的到达服从泊松分布，其交费时间服从负指数分布，因此这个收费系统是M/M/C/∞/∞的一个排队系统。

变量设置：)(i λ为购物者平均到达率，μ为服务员的服务率，c ρ为系统的服务强度，)(c n ρ为开放c 台收银机时在统计平衡状态下系统中有n 个购物者的概率，)(i c 为i 时段使服务成本最小的收费台数，)(N D T 为白天或晚上购物者能够接受的平均等待时间。

当到达率为)(i λ，服务率为μ的生灭过程达到稳态时，可得

1

1

00)()(1!1)(!1)(--=??

???

?

?????????? ?????? ??-+???? ??=∑c c k k i c i c i k c p μλμλμλ ???

????+=???? ??=?

??

? ??=-.

2,1),

()(!1,

,2,1),()(!1)(00 c n c p i c c c n c p i n c p n

c n n

n μλμλ

由定义可得，在M/M/C/∞/∞系统中，对于时段)14,,2,1( =i i ，当系统达到统计平衡状态时，每个购物者在系统中的等待时间W 的均值为

,)

(!1)()1()()(2

02λμμ

μλρμ-???? ??=-=n n n t p c c p W E n

c c 其中

μ

λρc i c )(=

本文的模型是，当系统达到统计平衡状态时，一个购物者在收费系统中的平均等待时间)(W E 不超过购物者能够接受的平均等待时间)(N D T 的条件下，求最小的收费台开放数。

{}???

???

???????????≤≤≤-??

?

???????≤≤≤-=≤=,1410,])1([)(min ,91,])1([)(min )(|min )(22

)(i T c c P c i T c c P c T W E c i c N c c D c c N D ρμρμ 设i X 表示在时段i ，当收费台开放数为)(i c 时，)(i c 个收费台中正在工作的台数，则i X 的分布为

,1)(,,1,0)),(()(-===i c k i c p k X P k i

)).((1))((1

)(0

i c p

i c X P i c k k

i ∑-=-

==

所以，

.))((1)())(()(1)(01

)(0???

???-+=∑∑-=-=i c kp i c i c kp X E i c k k i c k k i

因此，收费台的有效工作率为

.)

()

(i C X E i （2）实际数据的收集与整理对成都某大型超市进行调查，数据如下： （i ）共设有40台收银机，这些收银机各时段的开放情况见表2-4-18.

表2-4-18 各时段样本均值 单位:人/小时

（ii ）在收费系统现场连续记录了150名购物者各自进入系统的时刻，利用文献中定数检验法得到一天i 时段内进入收费系统的购物者流是一个符合泊松分布的购物者流，其平均到达率记为)(i λ（数据见表2-4-18）。值得注意的是，进入收费系统的购物者流在一个时段内是一平稳泊松流，但在整个一天内却不是一个平稳泊松流。

（iii ）利用计算机收费记录数据，随机选取了400名购物者交费时所需的时间数据，通过统计检验得到购物者交费时所需的时间v ，是服从负指数分布且其均值为

。v E 小时人即人分钟/8.36,/629.1)(1===-μμ

（iv ）通过对100名随机选择的购物者的调查，获得了购物者在交费时能够接受的等待时间数据。对这些数据的分析发现，9：00—19：00购物者能够接受的等待时间均值为11.00=T 小时，19：00—23：00的均值为13.0=N T 小时。这说明，晚上购物者的时间没白天那么紧迫，所以晚上能够接受的等待时间大于白天能够接受的等待时间。

3．模型求解

根据上述模型，借助MATLAB 软件，代入以上的商场数据即可研究该排队系统中服务台数的优化设计问题。编写含有5个子程序（关于)(),(),(),(0i c W E c p c p n 和))(i X E 的MATLAB 源程序来实现如下功能：给定购物者在各时段的平均到达率)(i λ、平均服务率μ，以及服务台数起始变化值及终止值（需要注意最小开放服务台数应保证系统服务率1)

(0 μ

λρc i =

，才能使系统达到统计平衡）的情况下，算出各时段购物者等待时间不超过)(N D T 的)(i c 值，再算出)(i X E 值及

)

()

(i c X E i 的

值，计算结构见表2-4-19。

从表2-4-19可见，在时段9:00—11:00及17:00—21:00优化的台数)(i

c小于实际开放的的台数，可见这些时段实际开放的台数过多，而11:00—17:00和21:00—23:00期间实际开放的收费台数又太少，尤其是22:00—23:00时段，这样购物者等待的时间将会超过他们能接受的等待时间，从而使得购物者不满意。

从表2-4-19还可看到，优化后各时段收费系统的有效工作率

()

()

i

E X

c i

均在95%以上，说明收

银员的工作量比较饱和，避免了由于收银台开放数过多造成的人员浪费。

大型超市的排队系统还可设置少许辅助人员，在客流量大时作收银员，客流量小时可将购物者准备购买但排队时又放弃购买的货物整理放回货架，这样既可进一步优化排队系统，也是降低成本的一种途径。

4．模型的应用

本文通过都市一大型超市的调查数据，利用上述排队模型理论，对收银台开放数目进行优化，