参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计讲义
第七章参数估计
内容介绍
本章主要内容是参数的点估计、估计量的评价标准以及参数的区间估计等.
内容讲解
引言：
本章将讨论统计推断，所谓统计推断就是由样本来推断总体. 当总体的某个参数未知时，用样本来对它进行估计，就是参数估计. 至于参数，目前没有准确的定义，只有一些具体的参数，本书指出三类参数：
①分布中含有的未知参数θ；
②θ的函数；
③分布的各种特证数。
§ 7.1点估计
1.点估计定义：设x1,x2,…x n是总体X的一个样本，θ是它的未知参数，用一个关于x1,x2,…x n的
统计量的取值作为θ的估计值，称为θ的点估计.
2.点估计的两种常用方法
（1）替换原理和矩法估计
① 替换原理：替换原理常指如下两句话：一是：用样本矩替换总体矩；二是：用样本矩的函数替换相应的总体矩的函数.
② 矩估计的方法：根据替换原理，用样本矩或样本矩的函数对总体的矩或矩的函数进行估计。例如：
用样本均值估计总体均值E（X），即；
用样本二阶中心矩估计总体方差，即；
用事件A的频率估计事件A的概率等.
例题1. P146
【例7－1】对某型号的20辆汽车记录其每5L汽油的行驶里程（km），观测数据如下：
29.8 27.6 28.3 27.9 30.1 28.7 29.9 28.0 27.9 28.7
28.4 27.2 29.5 28.5 28.0 30.0 29.1 29.8 29.6 26.9
【答疑编号12070101】
（2）概率函数p（x；θ）已知时未知参数的矩法估计
设总体具有已知的概率函数p（x；θ1，…，θk），（θ1，…，θk）是未知参数或参数向量，x1,…,x n是样本，假定总体的k阶原点矩μk存在，则对所有的j（0 （3）若假设θ1，…，θk能够表示成μ1，…，μk的函数θj=θj（μ1，…，μk），则可给出诸θj的矩法估计。 例题2. P146 【例7－2】设总体为指数分布，其密度函数为 【答疑编号12070102】 这说明矩估计可能是不惟一的，这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。 例题3. P147 【例7－3】设x1,…,x n是来自服从区间（0，θ）上的均匀分布U（0，θ）的样本，θ>0为未知 参数。求θ的矩估计。 【答疑编号12070103】 矩估计法处理三类问题：第一，直接估计参数，第二，通过总体分布已知，但还有未知参数的情况下，对未知参数进行估计的时候，是要通过总体所服从的分布，找到未知参数和X之间的关系，然后对X进行估计，代进去对未知参数进行估计。第三，未知参数的函数的估计。 小概率原理：小概率事件，在一次试验中，几乎不可能发生。在一次事件中就发生的事件，我们认为它是大概率事件。 （4）极大似然估计 设总体的概率函数为p（x,θ），，其中θ是一个未知参数或未知参数向量，是参数θ的取值范围，x1,x2,…x n是该总体的样本，将样本联合概率函数记为，简记为， 则称为样本的似然函数. 如果存在统计量使得 ， 则称为θ的极大似然估计. 例题4. P147 【例7－4】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和一个白球。现随机地抽取一箱，并从中随机抽取一球，结果取得白球，问这球是从哪一个箱子中取出的？ 【答疑编号12070104】 解：不管是哪一个箱子，从箱子中任取一球都有两个可能的结果：A表示取出白球，B表示取出黑球。如果我们取出的是甲箱，则A发生的概率为0.99，而如果取出的是乙箱，则a发生的概率为0.01。现在一次试验中结果A发生了，人们的第一印象就是：“此白球（A）最像从甲箱取出的”，或者说，应该认为试验条件对事件A出现有利，从而可以推断这球是从甲箱中取出的。这个推断很符合人们的经验事实，这里“最像”就是“极大似然”之意。 例题5. P147 【例7－5】设产品分为合格品与不合格品两类，我们用一个随机变量X来表示某个产品是否合格， X=0表示合格品，X=1表示不合格品，则X服从二点分布B（1，p），其中p是未知的不合格品率。 【答疑编号12070105】 总结计算方法： ① 构造似然函数；② 求似然函数的对数. 由于似然函数是以乘积形式构成，对数函数是的 单调增加函数，则似然函数的对数与其有相同的极值点，所以在求导数之前先求似然函数的对数；③ 用导数求似然函数对数的极值，得极大似然估计值. 例题6. P148 【例7－6】设一个试验有三种可能结束，其发生的概率分别为 p1=θ2，p2=2θ（1-θ），p3=（1-θ）θ2。 现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1,n2,n3（n1+n2+n3=n），求似然函数。 【答疑编号12070106】 例题7. P149 【例7－7】对正态总体N（μ，σ2），θ=（μ，σ2）是二维参数，设有样本x1,…x n,求似然函数。【答疑编号12070107】 例题8. P149 【例7－8】（1）设总体X服从泊松分布p（λ），求λ的极大似然估计；【答疑编号12070108】 （2）设总体X服从指数分布E（λ），求λ的极大似然估计。 【答疑编号12070109】 例题9. P150 【例7－9】设x1,x2,…x n是总体的样本，已知总体的密度函数为 试分别求出θ的矩估计和极大似然估计. 【答疑编号12070110】 例题10. P150 【例7－10】设x1，…，x n是来自均匀总体U（0，θ）的样本，试求θ的极大似然估计。 类似地，当总体X～U（a,b）时，参数a、b的极大似然估计为 【答疑编号12070111】 极大似然估计的一个简单而有用的性质：若是θ的极大似然估计，则对任一θ的函数g（θ）, 它的极大似然估计为，这就是极大似然估计的不变性。 例题11 P151 【例7－11】设x1,x2,…x n是来正态总体N（μ，σ2）的样本，求标准差σ和概率P{X≤3}的最大似然估计。 【答疑编号12070112】 § 7. 2点估计的评价标准 1.相合性 （1）定义：设为未知参数，是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何ε>0，有 ， 则称为参数θ的相合估计. 解释：相合性被认为是对估计的一项最基本的要求. 但是，由于此性质需要有n→∞的极限过程，所以，相合性适合的大样本估计的评价。 例题1. P152 【例7－12】设x1,x2,…是来自正态总体N（μ，σ2）的样本，则由大数定律及相合性定义知： 是μ的相合估计； 是σ2的相合估计； 也是σ2的相合估计。 证明：是μ的相合估计。 【答疑编号12070201】 （2）相合性判定定理：设是θ的一个估计量，若 ，， 则称为参数θ的相合估计. 例题2. P152 【例7－13】设x1, …，x n是来自均匀总体u（0,θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。【答疑编号12070202】 为了使用定理判断，我们下面求它的数学期望和方差。 2.无偏性 对于小样本，无偏性是一个常用的评价标准。 （1）定义：设是θ的一个估计，θ的参数空间为，若对任意，有 ， 则称为θ的无偏估计；否则称为有偏估计. 解释：无偏估计表示估计值与被估计量之间没有系统偏差. 例题3. P153 【例7－14】对任一总体而方，样本均值是总体均值的无偏估计。当总体k阶矩存在时，样本k阶原点矩a k是总体k阶原点矩μk的无偏估计。但对k阶中心矩则不一样，例如，二阶样本中心矩就不是部体方差σ2的无偏估计。 证明：， 【答疑编号12070203】 （2）几个有用的结论 ①是的无偏估计； ②，即是σ2的渐进无偏估计； ③s2是σ2的无偏估计； ④ 若为θ的无偏估计，一般地，除gθ是θ的线性函数外，不是gθ的无偏估计. 所以，无偏性没有不变性。 3.有效性 （1）定义：设，是θ的两个无偏估计，如果对任意的有 ， 且至少有一个使上式的不等号严格成立，则称比有效. （2）解释：这是在无偏估计中选择更好的估计的评价标准。 例题15. P154 【例7－15】设x1,…,x n是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为σ2，则，都是μ的无偏估计， 【答疑编号12070204】 而，所以比有效。 § 7. 3 参数的区间估计 点估价的两点不足：① 很难准确；② 没有用数量表示的可信度。为此，引入区间估计。 1.置信区间的概念 （1）引例 【例7－17】设某种绝缘子抗扭强度X服从正态分布N（μ，σ2），其中未知，σ2已知（σ＝45公斤·米），试对总体均值μ作区间估计. 分析：首先，通过抽样来估计μ，所以，从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，x n，可得样本 均值，已知是μ的无偏估计，且～，可以在的基础上对μ作区间估计. 【答疑编号12070301】 其次，也是最重要的是，要选择一个合适的统计量作为估计函数. 为了对μ作估计，要求估计函数应该：① 含有待估计参数μ，② 无论μ为何值，估计函数的分布已知，以便通过查该分布的计算表求所需数值. 再次，为了克服点估计的可信程度无法度量的不足，需要设定一个可信概率，记为1－α（0<α<1），称为置信度，依此概率进行估计. 解：从总体X抽取容量为n的样本x1，x2，…，x n，可得样本均值～，从而得到合适的 估计函数为 ～； 因为是μ的无偏估计及标准正态分布概率密度函数的对称性，又置信度为1－α（0<α<1），所以，查表求满足 或 的，即标准正态分布的上分位点. 将不等式转化为，即为 ， 因此有 . 所得区间即为所求的估计区间，由于区间长度随置信度1－α变化而变换，所以称之为置信区间. 小结：步骤：① 选取合适的估计函数；② 根据置信度查表求上分位点；③ 根据样本及相应的置信区间公式，求出置信区间. （2）置信区间的定义：设θ为总体的未知参数，，是由样本x1，x2，…，x n给出的两个统计量，若对于给定的概率1－α（0<α<1），有 ， 则随机区间[]称为参数θ的置信度为1－α的置信区间，称为置信下限，称为置信上限. （3）解释：参数θ落入区间[]的概率为1－α. （4）置信度与精度的关系 ① 在样本容量固定的条件下，置信度增大，将引起置信区间长度增大，使区间估计的精度降低；置信度减小，将引起置信区间长度减小，使区间估计的精度提高； ② 在置信度固定不变的条件下，样本容量增大，将引起置信区间长度减小，区间估计的精度提高；反之，精度降低. 2.单正态总体参数的置信区间 设总体X～N（μ，σ2），x1，x2，…，x n为其样本. （1）σ已知时，μ的置信度为1－α的区间估计 由引例得此置信区间为 . 【例7－18】某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）： 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1. 若总体方差σ2=0.06，求总体均值μ的置信区间（σ=0.05，σ=0.01） 【答疑编号12070302】 【例7－19】用天平称量某物体的质量9次，得平均值为，已知天平称量结果为正态分布，其标准差为0.1g。试求该物体质量的0.95置信区间。 【答疑编号12070303】 解：此外1-α=0.95，α=0.05，查表知u0.025=1.96，于是该物体的体质量μ的0.95置信区间为 =15.4±0.0653， 从而该物体质量的0.95置信区间为[15.3347，15.4653]。 【例7－20】设总体为正态分布N（μ，1），为得到μ的置信水平为0.95的置信区间长度不超过1.2，样本容量应为多大？ 【答疑编号12070304】 （2）σ未知时，μ的置信度为1－α的区间估计 选择统计量～，得到μ的置信度为1－α的置信区间为 ， 其中，是σ2的无偏估计. 《非参数统计》课程教学大纲 Non-parametric statistics 课程代码：课程性质：专业方向理论课/选修 适用专业：统计开课学期：5 总学时数：32 总学分数：2.0 编写年月：2007.5 修订年月：2007.7 执笔：孙琳 一、课程的性质和目的 本课程是学习非参数统计和了解统计前沿的基本课程。本课程结合S-Plus 或R 软件来讲解非参数统计方法的原理与应用。本课程的目的是使学生认识到非参数统计方法是统计中最常用的推断方法之一，理解非参数统计方法和参数统计方法的区别，理解非参数统计的基本概念，掌握非参数统计的基本方法，能应用非参数统计方法去解决实际问题。 二、课程教学内容及学时分配 第一章引言（2学时） 本章内容：统计的概念，非参数统计的方法，参数统计与非参数统计的比较， 本章要求：了解非参数统计的历史，了解非参数统计方法和参数统计方法的区别，认识非参数统计方法的必要性。 第二章 S-Plus基础（6学时） 本章内容：S-Plus环境，向量的定义和表示，向量的基本操作，向量的基本运算，向量的逻辑运算，S-Plus 的图形功能， 本章要求：熟悉在S-Plus命令行中S-Plus基本数据处理，掌握在S-Plus命令行中进行基本数据基本运算，能编写简单的计算函数，会绘制基本图形。 第三章单一样本的推断问题（6学时） 本章内容：单样本推断问题，中心位置推断，符号检验，游程检验，Cox-staut趣势检验，分位数检验，Wilcoxon符号秩检验，分布检验，Kolmogorov-smirnov正态检验，Liliefor正态检验，中位数 检验问题、定性数据检验问题和成对数据检验问题，秩和检验。 极坐标与参数方程 一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念 （1）极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系. 注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴 为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可?但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系? （2）极坐标 设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为；以极轴0X为始边，射线0M为终边的角XOM叫做点M的极角，记为?有序数对（，）叫做点M的极坐标，记作M （,）. 一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数? 特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0，）（€ R）.和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示? 如果规定0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（，）表示； 同时，极坐标（，）表示的点也是唯一确定的? 2.极坐标和直角坐标的互化 （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系 中取相同的长度单位，如图所示: ⑵互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（，）（ 0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角 注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2 ),(, ),(, ),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的 唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足 极坐标方程即可.例如对于极坐标方程，点M(,)可以表示为 4 4 5 (, 2 )或(， 2 )或(-, 等多种形式,其中,只有(，)的极坐标满足方 4 4 4 4 4 4 4 4 程 、考点阐述考点1、极坐标与直角坐标互化 非参数统计讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 第一章 绪 论 本章主要内容： 1．非参数方法介绍 2．预备知识 第一节 非参数方法介绍 一． 非参数方法的概念和实例 复习参数方法定义：设总体X 的分布函数的形式是已知的，而未知的仅仅是分布函数具体的参数值，用样本对这些未知参数进行估计或进行某种形式的假设检验，这类推断方法称为参数方法。 先来看两个实例。 例 供应商供应的产品是否合格 某工厂产品的零件由某个供应商供应。合格零件标准长度为（±）cm 。这也就是说合格零件长度的中心位置为8.5cm ，允许误差界为0.1cm ，即长度在－8.6cm 之间的零件是合格的。为评估近年来供应的零件是否合格，随机抽查了n=100个零件，它们的长度数据X 见第一章附表。 解答： 根据我们已学过的参数统计的方法，如何根据数据来判断这批零件合格否 用参数数据分析方法，在参数统计中，运用得最多的是正态分布，所以考虑假设供应商供应的零件长度X 服从正态分布，即 X ～),(2σμN 其中两个参数均未知，但可用样本均值估计μ，样本方差估计2σ。 由已知的数据计算可得：零件的平均长度，即样本均值为x =8.4958cm ，样本标准差为s=0.1047cm 。 则零件合格的可能性近似等于 )/)4.8(()/)6.8(()6.84.8(σμσμ-Φ--Φ=≤≤X P )1047.0/)4958.84.8(()1047.0/)9458.86.8((-Φ--Φ≈ %66≈ 这个说明：约有三分之一的零件不合格，该工厂需要换另一个供销商了。 但这个结论与实际数据符不符合呢这是我们要思考的问题。 我们可以对数据做一个描述性分析，先对这100个样本数据做一个频率分布。 观察到：在这100个零件中有91个零件的长度在8.4cm ～8.6cm 之间，所以零件合格的比例为91%，超过66％很多！ 统计分析的结论与数据不吻合的！这是什么原因呢 我们可以作出数据的直方图来分析数据的分布情况。由图知，该数据的总体不是近似服从正态分布的！所以我们对于数据的总体分布的假设错了！问题就出在假设总体是正态分布上！继续看直方图，能否很容易就观察出来它大概 2018届高三文科数学讲义 极坐标和参数方程 一：极坐标 公式：cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+，tan y x θ=（0x ≠） （一）：自我训练： 1.将以下极坐标转化为直角坐标 (1) ??? ??32π， （2?? ? ??324π， 2.由直角坐标（x.y ）转化为极坐标()θρ， （1）()2-2-， （2）（4，0） （3）（0，4） 3.将直角坐标方程转化为极坐标方程 （1）直角坐标方程x+y+2=0转化为极坐标方程为： （2）. 圆直角坐标方程122=+y x 转化为极坐标方程为： 4、将极坐标方程转化为直角坐标方程 （1）直线2)4cos(=-π θρ的斜率为： （2）直线4 π θ=的直角坐标方程为： （3）化极坐标方程2cos ρθ=为直角坐标方程为： (4)圆的极坐标方程是 2=ρ，则其表示的曲线方程为 二 参数方程 参考公式： 1cos sin 22=+αα， αααcos sin 22sin ?=， ααα2 2s i n 211c o s 22c o s -=-= 直线的参数方程为：?? ?+=+=α αsin cos 00t y y t x x )(为参数t ，其中α为直线的倾斜角； 圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的参数方程为：?? ?+=+=θθ sin cos r b y r a x )(为参数θ 椭圆)0(,122 22>>=+b a b y a x 的参数方程为：?? ?==θ θsin cos b y a x )(为参数θ 一、直线方程的互化 1.直线 ? ??==t y t x 2)(为参数t 的普通方程为 ，斜率为： 【例1】 曲线cos 1 :sin 1x C y θθ=-??=+? （θ为参数）的普通方程为（ ） A ．()()22 111x y -++= B ．()()22 111x y +++= C ．()()2 2 111x y ++-= D ．()()2 2 111x y -+-= 【例2】 将参数方程12cos , 2sin ,x y θθ=+??=? （θ为参数）化成普通方程为 ． 【例3】 若直线112:2.x t l y kt =-??=+?，（t 为参数）与直线2:12.x s l y s =??=-? ， （s 为参数）垂直，则 k = ． 【例4】 若直线1223x t y t =-??=+? （t 为参数）与直线41x ky +=垂直，则常数k = ． 【例5】 若直线340x y m ++=与圆1cos 2sin x y θ θ=+??=-+? （θ为参数）没有公共点，则实数m 的 取值范围是 ． 【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1 1x y t =??=+? （参数t ∈R ），圆C 的参 数方程为cos 1 sin x y θθ=+??=? （参数[)0,2πθ∈），则圆心到直线l 的距离是 ． 【例7】 已知曲线C 的参数方程为cos , 2sin ,x y θθ=??=-+? ()θ为参数，则曲线C 的普通方程 是 ；点A 在曲线C 上，点(,)M x y 在平面区域22020210x y x y y -+?? +-??-? ≥≤≥上，则 典例分析 板块一.参数方程.学生版 AM 的最小值是 ． 【例8】 已知曲线C 的参数方程为13x y t t ? =?? ????=+ ????? （t 为参数，0t >）．求曲线C 的普通 方程． 【例9】 在平面直角坐标系xOy 中，设()P x y ，是椭圆2 213 x y +=上的一个动点，求 S x y =+的最大值． 【例10】 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+??=+?（t 为参数），28cos :3sin x C y θ θ=??=? （θ为参数）． 化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线． 【例11】 若1C 上的点P 对应的参数为π 2 t = ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线332,:2x t C y t =+??=-+? （t 为参数）距离的最小值． 【例12】 已知曲线1C ：cos ()sin x y θθθ=?? =?为参数，曲线2C ：2()x t y ?=-????=??为参数． ⑴指出1C ，2C 各是什么曲线，并说明1C 与2C 公共点的个数； ⑵若把1C ，2C 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C '，2C '．写出1C '，2C '的参数方程．1C '与2C '公共点的个数和1C 与2C 公共点的个数是否相同？说明你的理由． 第二节 参数方程 ———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程． 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数??? x ＝f (t )， y ＝g (t )并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定 的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么??? x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x ，y 的取值范围保持一致． 3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y －y 0＝tan α(x －x 0) ??? x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2 ??? x ＝r cos θ，y ＝r sin θ (θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0) ? ?? x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) 温馨提示：在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离． ——基础梳理—— 1．椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在(h ，k)的椭圆的普通方程为－a2＋－b2＝1，则其参数方程为__________． 2．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________． (2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2 ＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________． 3．抛物线的参数方程 (1)抛物线y2＝2px(p ＞0)的参数方程为__________，t ∈__________. (2)参数t 的几何意义是__________． [答案] 1．(1)????? x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数) [0,2π) (2)????? x ＝h ＋acos φy ＝k ＋bsin φ (φ为参数) 2．(1)????? x ＝asec φy ＝btan φ (φ为参数) [0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2 (2)????? x ＝btan φy ＝asec φ(φ为参数) 3．(1)????? x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) (－∞，＋∞) (2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数 自主演练 1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则() A ．m ＜1 B ．－1＜m ＜1 C ．m ＞1 D ．0＜m ＜1 [解析]方程化为x2＋y21m ＝1，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要1m ＞1，解得0＜m ＜1.故应选D. 第七章 非参数统计 非参数统计（亦称非参数检验），是根据样本资料对总体的某 种性质或关系进行假设检验的统计推断方法。 主要特点 （1）不要求总体分布已知或对总体分布作任何限制性假定； （2）不以估计总体参数为目的； （3）能用于定性变量（即定名测定和序列测定的变量）； （4）方法直观，易于理解，运算比较简单。 （5）缺点是检验的功效不如参数检验方法。 本章主要内容 介绍χ2检验、成对比较检验、曼—惠特尼U 检验、游程检验和等级相关检验等几种常用的检验方法。 第一节 χ2检验 一、什么是χ2检验 χ 2 检验是运用χ 2 分布作为理论工具，在非参数统计中可用 于对总体的分布或随机变量的独立性进行的检验。 （一）χ2分布 χ 2 分布是由正态分布推导出来的一种连续型随机变量的概 率分布。 1．χ2分布的数学形式 设随机变量x 1，x 2，…，x k 相互独立且都服从正态分布N （μ， σ2）。将它们标准化转变为标准正态变量Z 1，Z 2，…，Z k ，k 个独立标准正态变量的平方和被定义为χ2分布的随机变量χ2。 21 2 1 2 2 22212 )(1 )( )( )( i k i i k i k Z x x x x ∑∑===-= -++-+-=μσσ μ σ μ σ μ χ χ2~χ2(k)，k 是自由度，表示定义式独立变量的个数。 当k=1时， 2．χ2分布的性质 （1）χ2分布的值恒为正值，且 ?(χ2, k) d χ2 =1； （2）χ2分布的数学期望是自由度k ，方差为2k ； （3）χ2分布取决于自由度k ，随着自由度增大而趋于对称。 一般当k ≥30时，χ2分布可用正态分布近似计算。 （二）χ2检验的原理 在实践中，经常要对一些观察值的实际频数与某种理论频数进行比较，以判断实际结果与理论是否一致。 设有k 个观察值，f 0为它们的实际频数，f e 为理论频数。构造 一个统计量 数理统计证明，在大量试验中，若f 0与f e 相一致时，χ2服从χ2分布。 （f 0-f e ）比较小时，χ2值也较小；（f 0-f e ）比较大时，χ2也较 大。当χ2值大到按χ2分布超过设定的临界值时，即为小概率事件，就可以认为实际结果与理论假设不一致。 2 22)(Z x =-=σμχ? (χ2) χ2 (k) k=15 k=1 k=3 k=5 ? (χ2 ) χ2 χ2 0.05(4) ) (/)(21 2 为自由度k f f f e e o k i -=∑=χ∞0 高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况． 1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3) 坐标系与参数方程 一、知识点梳理 (一)平面直角坐标系中的伸缩变化 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称 ?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 （二）极坐标系与极坐标 1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点 M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标 系。 2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位； 图1 (4)角度单位及它的方向。 3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。 4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点） （1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示： （2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角 坐标是），（y x ,极坐标是），（θρ，于是极坐标与直角坐标的互化 公式如图一： （图一） （图二） 5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。 （三）常见曲线的极坐标方程 （四）参数方程 1参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 第七章参数估计练习题 一．选择题 1. 估计量的含义是指（） A. 用来估计总体参数的统计量的名称 B. 用来估计总体参数的统计量的具体数值 C．总体参数的名称 D．总体参数的具体取值 2．一个95%的置信区间是指（） A. 总体参数有95%的概率落在这一区间内 B. 总体参数有5%的概率未落在这一区间内 C. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间包含该总体参数。 D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，有95%的区间不包含该总体参数。 %的置信水平是指（） A. 总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是95% B．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为95% C．总体参数落在一个特定的样本所构造的区间内的概率是5% D．在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为5% 4. 根据一个具体的样本求出的总体均值的95%的置信区间（） A．以95%的概率包含总体均值 B．有5%的可能性包含总体均值 C. 一定包含总体均值 D．要么包含总体均值，要么不包含总体均值 5. 当样本量一定时，置信区间的宽度（） A.随着置信水平的增大而减小 B. .随着置信水平的增大而增大 C．与置信水平的大小无关D。与置信水平的平方成反比 6. 当置信水平一定时，置信区间的宽度（） A.随着样本量的增大而减小 B. .随着样本量的增大而增大 C．与样本量的大小无关D。与样本量的平方根成正比 7. 在参数估计中，要求通过样本的统计量来估计总体参数，评价统计量的标准之一是使它与 总体参数的离差越小越好。这种评价标准称为（） A．无偏性 B. 有效性 C. 一致性 D. 充分性 8. 置信水平（1-α）表达了置信区间的（） A．准确性 B. 精确性 C. 显着性 D. 可靠性 9. 在总体均值和总体比例的区间估计中，边际误差由（）A．置信水平决定 B. 统计量的抽样标准差确定 C. 置信水平和统计量的抽样标准差 D. 统计量的抽样方差确定 10. 当正态总体的方差未知，且为小样本条件下，估计总体均值使用的分布是（） A.正态分布 B. t 分布 C.χ2分布 D. F分布 非参数统计学讲义 第二章 单样本模型 §1 符号检验和有关的置信区间 在有了一个样本 n X X ,,1 之后，很自然地想要知道它所代表的总体的“中心”在哪里．例如，在对人们的收入进行了抽样 之后，就自然要涉及“人均收入”和“中间收入”等概念．这就与统计中的对总体的均值(mean)，中位数(median)和众数(mode)等位置参数的推断有关。例如，在知道总体是正态分布时，要检验其均值是否为μ；一个传统的基于正态理论的典型方法是t 检验．它的检验统计量定义为 n s X t /μ-= 这里 X 为样本均值，而2 1 1 )(X X n S -∑-= 为样本标准差。t —检验的统计量在零假设下有n —1个自由度的t —分布。 检验统计量是用样本标准差s 代替了有标准正态分布的检验统计量的总体标准差后而产生的在大样本时，二者几乎相等。t —检验也许是世界上用得最广泛的检验之一。但是，t —检验并不稳健，在不知总体分布时，特别是小样本时，应用t —检验就可能有风险。这时就要考虑使用非参数方法。对于本章所要介绍的数据趋势或随机性检验，就不存在简单的参数方法．非参数方法总是简单实用的。 本章所介绍的一些检验有代表性，因此这里的讨论将比其它章节更为仔细．一旦熟悉了非参数方法的一些基本思路，后面的内容就很容易理解了． 一、问题的提出 【例2-1】联合国人员在世界上66个大城市生活花费指数（以纽约市1962年12为100）按自小至大的次序排列如下（这里北京的指数为99）： 表2-1 生活花费指数数据 66 75 78 80 81 81 82 83 83 83 83 84 85 85 86 86 86 86 87 87 88 88 88 88 88 89 89 89 89 90 90 91 91 91 91 92 93 93 96 96 96 97 99 100 101 102 103 103 104 104 104 105 106 109 109 110 110 110 111 113 115 116 117 118 155 192 在例子中，人们可能会问：①总体的平均（或者中间）水平1 是多少？②北京是在该水平之上还是之下？ 可以假定这个样本是从世界许多大城市中随机抽样而得的所有大城市的指数组成总体．可能出现的问题是：这个总体的平均(或者中间)水平是多少?北京是在该水平之上还是之下?这里的平均(或中间)水平是一个位置参数。一般的统计书中的均值就是一个位置参数．中位数是另一个位置参数．它们都是数据总体中心位置的度量和位置参数相对的一个参数为尺度参数；比如在标准统计课本中的描述数据集中和分散程度的方差或标准差． 这个例子经过简单计算，得到样本均值为96.45，而样本中位数为91；它们都可作为总体的中心的估计，除此之外，众数(频率最大的点，本例是88)可作为中间位置． 通常在正态总体分布的假设下，关于总体均值的假设检验和区间估计是用与t 检验有关的方法进行的。然而，在本例中，总体分布是未知的为此首先看该数据的直方图从图中很难说这是什么分布。在右边的两个点分别是东京和香港。 1 刻划位置参数的量有：①平均值：∑i x n 1；②中位数：? ??+=++为偶数为奇数n x x n x M n n n 2/)(2/)1()()1(；③修整均值：∑-+=-=j n j i i j n x j T 1)(2)(， 2 n j < ；④众数；⑤中列数：2/)()1()(X X n -。 极坐标与参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构 1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数 ? ? ?==),(), (t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 常见的曲线的参数方程 2.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．．) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ? ? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1 tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是?? ?+=+=? ? sin cos r b y r a x (φ是参数) (2)椭圆 椭圆122 22 =+b y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是?? ?==?? sin cos b y a x (φ为参数) 椭圆122 22=+b y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是 ?? ?==? ? sin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22 =的参数方程为()为参数t pt y pt x ? ? ?==222 4.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴. ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素， 第8 讲参数估计 本讲的主要内容 8.1 参数估计的一般问题 8.2 一个总体参数的区间估计 8.3 两个总体参数的区间估计 8.4 样本量的确定 学习目标 1.估计量与估计值的概念 2.点估计与区间估计的区别 3.评价估计量优良性的标准 4.一个总体参数的区间估计方法 5.两个总体参数的区间估计方法 6.样本量的确定方法 8.1 参数估计的一般问题 8.1.1 估计量与估计值 估计量与估计值(estimator & estimated value) 1.估计量：用于估计总体参数的随机变量 如样本均值，样本比例, 样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值m 的一个估计量 2.参数用θ表示，估计量用表示 3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值?x=80，则80就是m的估计值 8.1.2 点估计与区间估计 点估计 (point estimate) 1.用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 2.无法给出估计值接近总体参数程度的信息 ⑴虽然在重复抽样条件下，点估计的均值可望等于总体真值，但由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值 ⑵一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量 区间估计 (interval estimate) 1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95% 区间估计的图示 《非参数统计》课程教学大纲 课程代码：090531007 课程英文名称：Non-parametric Statistics 课程总学时：40 讲课：32 实验：8 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 《非参数统计》是应用统计学专业的一门专业基础课，是统计学的一个重要分支。课程主要研究非参数统计的基本概念、基本方法和基本理论。本课程在教学内容方面除基本知识、基本理论和基本方法的教学外，着重培养学生的统计思想、统计推断和决策能力。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1．掌握非参数统计方法原理、方法，具有统计分析问题的能力； 2．具有根据具体情况正确选用非参数统计方法，正确运用非参数统计方法处理实际数据资料的能力； 3．具有运用统计软件分析问题，对计算结果给出合理解释，从而作出科学的定论的能力； 4．了解非参数统计的新发展。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：掌握符号检验、Wilcoxon符号秩检验、Cox-Stuart趋势检验、游程检验、Brown-Mood中位数检验、Wilcoxon秩和检验、Kruskal-Wallis检验、Jonckheere-Terpstra检验、Friedman检验、Page检验、Siegel-Tukey检验、Mood检验、Ansari-Bradley检验、Fligner-Killeen检验等非参数统计方法。 2.基本理论和方法：掌握单样本模型、两样本位置模型、多样本数据模型中的位置参数非参数统计检验方法，掌握检验尺度参数是否相等的各种非参数方法，掌握各种回归的方法，掌握分布检验的各种方法，要求能在真实案例中应用相应的方法。 3.基本技能：掌握非参数统计方法的计算机实现。 （三）实施说明 1. 本大纲主要依据应用统计学专业2017版教学计划、应用统计学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定并根据我校实际情况进行编写。 2．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；增加讨论课，调动学生学习的主观能动性；注意培养学生提高利用统计软件分析问题的能力。讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 3．教学手段：在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行，本课程的先修课程为概率论与数理统计。要求学生取得概率论与数理统计课程学分。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 对重点、难点章节应安排习题课，例题的选择以培养学生消化和巩固所学知识，用以解决实际问题为目的。 坐标系与参数方程 一、知识点梳理 (一)平面直角坐标系中的伸缩变化 伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ? ? ?>?='>?=').0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 （二）极坐标系与极坐标 1定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点，引一条射线Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内的任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示从Ox 到OM 的角，ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。 2极坐标有四个要素：（1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位及它的方向。 3极坐标与直角坐标的不同点是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的。 图1 4极坐标与直角坐标互化公式（以坐标原点为极点）（1）互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同长度的单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是） x, ， （y 极坐标是） ρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如图一： ， （θ （图一） （图二） 5极坐标方程定义：用坐标系中的点与原点的距离以及该点与原点 的连线与坐标轴的夹角来表示点的方法。 （三）常见曲线的极坐标方程 （四）参数方程 1参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 2常见的参数方程 （1）直线的参数方程 过定点),(00y x 且倾角为θ的直线00()(tan )y y k x x k θ-=-=的参数方程为：? ? ?+=+=θθ sin cos 00t y y t x x （t 为参数，其他都是已知量） （2）曲线的参数方程 圆：中心在),(00y x ，半径等于r 的圆22200()()x x y y r -+-=的参数方程为? ? ?+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） 椭圆：中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆12222=+b y a x （a>b>0) 或122 22=+a y b x 的参数方程分别为： ?? ?==θθ sin cos b y a x 或 ? ? ?==θθ sin cos a y b x （θ为参数） 极坐标参数方程讲义 2016-6 姓名 班级 一、基本知识 1、极坐标方程与直角坐标方程的互化：极坐标P (),,θρθ为终边与极轴的逆时针交角 [)()πθρθρθρ2,0,0sin cos ∈≥???==y x ()?? ? ??≠=+=0tan 2 22x x y y x θρ 2、常见的参数方程的标准形式 （1）圆：[)()πααα α 2,0,sin cos 00∈?? ?+=+=为参数r y y r x x （2）椭圆：[)()παααα 2,0,sin cos ∈? ??==为参数b y a x ，a ，b 为半轴长 （3）直线：()为参数t t y y t x x ?? ?+=+=θ θ sin cos 00 其中M 0（x 0,y 0）是直线上的一个定点，M （x,y ）表示直线上的动点， ||0t M M =ρ （注意方向），t>o,M 在M 0上方，t 1、（2010福建）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ??? ????+=- =22522 3。在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为25sin ρθ=。 （Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。 2、（2015昆明摸底）已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣2cos θ﹣4sin θ=0，以极点为平面直角坐 标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程是 （t 是参数）． （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，与y 轴交于点E ，求|EA|+|EB|． 3、（2015鞍山一模）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2，直线l 的倾斜角为45°且经过点P （﹣1，0） （Ⅰ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程 （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于两点A ，B ，求|PA|2+|PB|2的值． 2013届选修4—4《极坐标与参数方程》复习讲义 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程. 二、知识结构 1.参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数 ? ? ?==),(), (t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称 参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 常见的曲线的参数方程 2.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ???+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数，其几何意义是．．．．．PM ．．的数量．．． ) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ? ? ?+=+=bt y y at x x 00(t 为参数，1 tan t α=) ② 3.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是?? ?+=+=? ? sin cos r b y r a x (φ是参数) (2)椭圆 椭圆122 22 =+b y a x (a ＞b ＞0)的参数方程是?? ?==?? sin cos b y a x (φ为参数) 椭圆122 22=+b y a y (a ＞b ＞0)的参数方程是 ?? ?==? ? sin cos a y b x (φ为参数) (3)抛物线 抛物线px y 22 =的参数方程为()为参数t pt y pt x ? ? ?==222 4.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极《-非参数统计-》课程教学大纲上课讲义
极坐标与参数方程讲义
非参数统计讲义
2018届高三文科数学讲义 极坐标和参数方程
高中数学专题讲义-参数方程
参数方程--讲义
高中数学 选修4-4参数方程讲义
第七章讲义非参数统计
高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44
参数方程讲义
参数估计练习题
非参数统计学讲义(第二章)讲稿
极坐标与参数方程数学讲义知识讲解
统计学——参数估计
《非参数统计》教学大纲
参数方程讲义
极坐标参数方程讲义--2016
极坐标与参数方程数学讲义教师版