高中数学竞赛试卷及详细解答

浙江省高中数学竞赛试卷

说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．

化简三角有理式x

x x x x

x x x 2

2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x

解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(

4422s i n c o s s i n

c o s

x x x x =++

。

也可以用特殊值法

2．

若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则

p 是q 的（ B ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．

集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或

C. {6,3}x x x <->或

D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。 画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，

{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4． 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .

若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）

A ．k r ==

B ．k r ==

C ．12k r ±==

D ．11,22

k r --±==

解答．C. P Q Q R P R ==

，

==

。

5． 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=1，则CA 1与C 1B 所成的角的大

小是( C )

A ．60°

B ．75°

C ．90°

D ．105°

解答：C 。建立空间直角坐标系，以11A B 所在的直线为x 轴，在平面111A B C 上垂直于11A B

的直线为y 轴，1BB 所在的直线为z 轴。则11(

2A C (2C

(0,0,1)B ，11111),(0CA C B CA C B =-=?=。 6．

设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以

下结论正确的是（ A ）

A. 22a b >

B. 33a b <

C. 55a b >

D. 66a b > 解答：A 。

11444,1a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得

223355663,2,0,1,a b a b a b a b =======-=得。

7．

若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）

A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项

解答：D. 11512129322,33r r

r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤?≤≤由，，r=10，第11项最大。

8．

设()cos

5x f x =，12111

(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ

===，则下述关系式正确的是（ D ）。

A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>

解答： D 。函数()cos 5x f x =为偶函数，在（0，2

π

）上，()cos f x x =为减函数，

而

121

111log log ,log ,log 2log log e

e e e e e π

πππ

ππ

=-=-=， log 2log 1

05log 554

e e e ππππ<

<<<，所以b a c >>。

9．

下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）

A.

32π B. 23π C. 43π D. 34

π 解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10. 设有算法如下：

如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

正视图： 半径为1的半圆以及高为1的矩形

俯视图： 半径为1的圆

11.

满足方程2=所有实数解为20102011x ≤≤。

解答

201=?≤≤，解得

20102011x ≤≤。

12. ,x R ∈ 函数()2sin

3cos 23

x x

f x =+的最小正周期为12π. 解答 2s i n 43c o s ()12

23

x x

f x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。 13. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹方程为22(10)9x y -+=.

解答 设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22

x y

x y +=

= 00220,2x x y y ?=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹

为22(10)9x y -+=。

14. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角

形，试求△ABC 的最小内角的取值范围为 30

在（1）中，设最小的角为x ，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30

在（2）中，设最小的角为x ，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22.5,所以22.5

，且12w -<<，则z 的实部取值范围为1

12

a -<<. 解答 设2222

120a bi b z a bi a bi b a b a b -=+?-<++

01b a b ?=+=或 当0b =，无解；当22

1112

a b a +=?-<<。

16. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k 的最小值为

1192

. 解答 1

)1(2

2

4+--≥x x x x k 222133131(),124424x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为

448111,(1)222x x x ≤

=-时，取最大值（），所以k 的最小值为1

192

。 17. 设R q p ∈,，q x p x x f ++=||)(2。当函数)(x f 的零点多于1个时，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0或q.

解答 因为函数q x p x x f ++=||)(2为偶函数，由对称性以及图象知道，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 设数列 ,1

,,12,

1,,13,22,31,12,21,11k

k k -， 问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

解（1）将数列分组： ),1

,,12,

1(,),13,22,31(),12,21(),11(k

k k - 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，

所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为57

7

。 --------- 10分

（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ------------ 17分

19. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,,x y z ，则有1,,9x y z ≤≤，且

(10)(10)(10)xyz x y z =--- （*1）

----------------- 5分

即有

50050()5()xyz x y z xy yz zx =-+++++。 （*2）

于是有 5xyz 。因此,,x y z 中必有一个取5。不妨设5x =，代入（*1）式，得到

10y z +=。 ----------------10分

此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x y z ==时二种放法重复。因此可得共有

9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分

20. 已知椭圆)1(1222

>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC

与椭圆交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为

27

8

，求a 的值。 解： 不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11

+-=x k

y 。

由?????=++=1

1

2

22y a

x kx y 得：02)1(2

222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222

111

y x k x y a ?=-+????+=??得：2222

()20a k x a kx +-=22

2

2,C a k x a k ?=+

从而有AB AC

==--------5分

于是

2

44

2222

224

2

1

1(1)

22

1

2(1)()()1 ABC

k

k k k

S AB AC a a

a k a k a k a

k

?

+

+

===

+++++

。

令

1

2

t k

k

=+≥，有

44

22

2222

2

22

,

(1)

(1)

ABC

a t a

S

a

a t a

a t

t

?

==

-

+-

+

--------- 10分因为

22

22

(1)

2(1),

a

a t a a

t

-

+≥-

21

a

t

a

-

=时等号成立。

因此当

23

max2

1

,(),

1

ABC

a a

S

a a

?

-

=

-

t=------------- 14分

令

3

2

2

27

(3)(839)03,

18

a

a a a a a

a

=?---=?==

-

21

21) 3.

a

a a a

a

-

>?>+∴=∴=

不合题意，舍去，--------- 17分

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记

AB

AF

CA

CE

BC

BD

=

=

=γ

β

α,

,。

证明：

ABC

D EF

S

S

?

?

≥αβγ。

证明由

sin

(1).

sin

BFD

ABC

BD BF B

S

S BC BA B

αγ

?

?

?

==-

?

---------5分

(1),(1)

DEC AEF

ABC ABC

S S

S S

βαγβ

??

??

=-=-

同理。---------- 10分

所以，1(1)(1)(1)

ABC BFD DEC AEF

DEF

ABC ABC

S S S S

S

S S

αγβαγβ

????

?

??

---

==------=(1)(1)(1),111

αβγαβγαβγαβγ

---+≥?===

等号成立或或。----20分

因此

ABC

D EF

S

S

?

?

≥αβγ，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B

重合。 ----- 25分 22. （1）设0a >，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线3y ax =过格点（n ，m ），记1x n ≤≤对应的曲线段上的格点数为N 。证明：

3

11n

m

k k N ak mn ==??=+-??∑∑。

(2) 进而设a 是一个正整数，证明：

3

21(1)(31)4an k a n n n n ==+-+∑。 （注[]x 表示不超过x 的最大整数）

证明 （1）考虑区域0,0,x n y m <≤<≤且该区域上的格点为nm 个。又该区域由区域E ：

30,0,x n y ax <≤<≤以及区域F

：0,0y m x <≤<≤组成。 在区域E 上，直线段(,1)x k k N k n +=∈≤≤上的格点为3[]ak 个， 所以区域E 上的 格点数为

31

[]n

k ak =∑

。 ----------------- 5分

同理区域F

上的格点数为

1m

k =∑

。 ----------------- 10分

由容斥原理，3

11n

m

k k N ak mn ==??=

+-??∑∑。 -------------------------15分

（2）当a 是一个正整数时，曲线3

y ax =上的点（3

,k ak ）(,1)k N k n +

∈≤≤都是格点，所以（1）中的N=n 。同时，3

m an =。将以上数据代入（1）得

3

4

31

1an n

k k an a k n ===-+=∑

∑2(1)(31)4a n n n n +-+。 ----------------- 25分