椭圆与双曲线的对偶性质
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椭圆与双曲线的对偶性质92条
椭 圆
1.12||||2PF PF a +=
2.标准方程:22
221x y a b
+=
3.11
||
1PF e d =< 4.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.
5.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
7.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
8.设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点,则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆,必与A 1A 2所在的直线切于A 2(或A 1).
9.椭圆22
221x y a b
+=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线
交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
-=.
10.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
11.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则
切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b +=.
12.AB 是椭圆22
221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB 的中点,则
2
2OM AB b k k a
?=-.
13.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+. 14.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
+=+. 15.若PQ 是椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上对中心张直角的弦,则
122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16.若椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为1
Ax By +=
(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b
+=+;(2) L =. 17.给定椭圆1C :2
2
2
2
22
b x a y a b +=(a >b >0), 2C :222222
2
22
()a b b x a y ab a b -+=+,
则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点
M(2222
002
222(,)a b a b x y a b a b
---++. (ii)对2C 上任一点'''
000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点.
18.设000(,)P x y 为椭圆(或圆)C:22
221x y a b
+= (a >0,. b >0)上一点,P 1P 2为曲线C
的动弦,且弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在,记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
12211m b k k m a
+?=-
?-. 19.过椭圆22
221x y a b
+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线
交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20BC b x k a y =(常数).
20.椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为
122
tan 2
F PF S b γ
?=,2
tan )2b P c γ . 21.若P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点,
12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22
a c co a c αβ
-=+.
22.椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式:
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
23.若椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当
0<e 1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
24.P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则
2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立. 25.椭圆22
221x y a b +=(a >b >0)上存在两点关于直线l :0()y k x x =-对称的充要条
件是2222
0222
()a b x a b k
-≤+.
26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28.P 是椭圆cos sin x a y b ?
?=??=?
(a >b >0)上一点,则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条
件是2
21
1sin e ?
=
+.
29.设A,B 为椭圆2222(0,1)x y k k k a b +=>≠上两点,其直线AB 与椭圆22
221x y a b
+=相
交于,P Q ,则AP BQ =.
30.在椭圆22
221x y a b +=中,定长为2m (o <m ≤a )的弦中点轨迹方程为
2222222
22
1()
cos sin x y a b m a b αα
-+=+,其中2222tan b x a y α=-,当0y =时, 90α=. 31.设S 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的通径,定长线段L 的两端点A,B 在椭圆上移
动,记|AB|=l ,00(,)M x y 是AB 中点,则当l S ≥Φ时,有20max ()2a l x c e =-222(c a b =-,c
e a =);当l S
<Φ时,
有0max ()x =0min ()0x =.
32.椭圆22
221x y a b
+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C +≥.
33.椭圆22
0022
()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
34.设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上
任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有
sin sin sin c
e a
αβγ==+.
35.经过椭圆222222
b x a y a b +=(a >b >0)的长轴的两端点A 1和A 2的切线,与椭圆
上任一点的切线相交于P 1和P 2,则2
12||||PA PA b ?=.
36.已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.
(1)22
221111||||OP OQ a b
+=+;(2)|OP|2+|OQ|2
的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最
小值是22
22
a b a b
.
37.MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=(a >b >0)过焦点的任一弦,若AB 是经过椭圆中心O 且平行于MN 的弦,则2
||2||AB a MN =.
38.MN 是经过椭圆2
2
2
2
22
b x a y a b +=(a >b >0)焦点的任一弦,若过椭圆中心O 的半弦OP MN ⊥,则
222
2111
||||a MN OP a b +=+.
39.设椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的
任一点,过M 引一条直线与椭圆相交于P 、Q 两点,则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为对称轴上的两顶
点)的交点N 在直线l :2a x m =(或2
b y m
=)上.
40.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP
和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
41.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
42.设椭圆方程22
221x y a b
+=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l :y kx =的
共轭直线'
y k x =上,而且2'2b kk a =-.
43.设A 、B 、C 、D 为椭圆22
221x y a b
+=上四点,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为,αβ,
直线AB 与CD 相交于P,且P 不在椭圆上,则22222222
||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα?+=?+. 44.已知椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0),点P 为其上一点F 1, F 2为椭圆的焦点,12
F PF ∠的外(内)角平分线为l ,作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ,当P 跑遍整个椭圆时,R 、S 形成的
轨迹方程是222x y a +=(2222222
{[()()]}()[()]b y a ce x c x y cx ce x c +-+?++=+).
45.设△ABC 内接于椭圆Γ,且AB 为Γ的直径,l 为AB 的共轭直径所在的直线,l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ,又D 为l 上一点,则CD 与椭圆Γ相切的充要条件是D 为EF 的中
点.
46.过椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦
MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2PF e
MN =. 47.设A (x 1 ,y 1)是椭圆22221x y a b +=(a >b >0)上任一点,过A 作一条斜率为21
2
1
b x a y -的直线L ,又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
到椭圆两焦点的距离,则
ab =.
48.已知椭圆22221x y a b +=( a >b >0)和22
22x y a b
λ+=(01λ<< ),一直线顺次与
它们相交于A 、B 、C 、D 四点,则│AB │=|CD │.
49.已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分
线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<. 50.设P 点是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点
记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122
tan 2
PF F S b γ?=.
51.设过椭圆的长轴上一点B (m,o )作直线与椭圆相交于P 、Q 两点,A 为椭圆长轴的
左顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN :x n =于M ,N 两点,则
90MBN ∠=2
22
()
a m a a m
b n a -?=++. 52.L 是经过椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)长轴顶点A 且与长轴垂直的直线,E 、F 是
椭圆两个焦点,e 是离心率,点P L ∈,若EPF α∠=,则α是锐角且sin e α≤或
sin arc e α≤(当且仅当||ab
PH c
=时取等号).
53.L 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的准线,A 、B 是椭圆的长轴两顶点,点P L ∈,
e 是离心率,EPF α∠=,H 是L 与X 轴的交点c 是半焦距,则α是锐角且sin e α≤或
sin arc e α≤(当且仅当||ab
PH c
=时取等号).
54.L 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的准线,E 、F 是两个焦点,H 是L 与x 轴的交
点,点P L ∈,EPF α∠=,离心率为e ,半焦距为c ,则α为锐角且2
sin e α≤或
2sin arc e α≤(当且仅当||PH =.
55.已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0),直线L 通过其右焦点F 2,且与椭圆相交于A 、B
两点,将A 、B 与椭圆左焦点F 1连结起来,则2222
112
(2)||||a b b F A F B a
-≤?≤(当且仅当AB ⊥x 轴时右边不等式取等号,当且仅当A 、F 1、B 三点共线时左边不等式取等号).
56.设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,
PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2) 2
tan tan 1e αβ=-.(3) 222
2
2cot PAB a b S b a γ?=-. 57.设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)、外
部的两点,且A x 、B x 的横坐标2
A B x x a ?=,(1)若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点,则PBA QBA ∠=∠;(2)若过B 引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点,则180PBA QBA ∠+∠=.
58.设A 、B 是椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点),外
部的两点,(1)若过A 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点,(若B P 交椭圆于两点,则P 、
Q 不关于x 轴对称),且PBA QBA ∠=∠,则点A 、B 的横坐标A x 、B x 满足2
A B x x a ?=;(2)
若过B 点引直线与这椭圆相交于P 、Q 两点,且180PBA QBA ∠+∠=,则点A 、B 的横坐标
满足2A B x x a ?=.
59.设'
,A A 是椭圆22
221x y a b
+=的长轴的两个端点,'QQ 是与'AA 垂直的弦,则直线AQ
与''
AQ 的交点P 的轨迹是双曲线22221x y a b
-=.
60.过椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的左焦点F 作互相垂直的两条弦AB 、CD 则
2222282()
||||ab a b AB CD a b a
+≤+≤+.
61.到椭圆22221x y a b +=( a >b >0)两焦点的距离之比等于a c
b
-(c 为半焦距)的动
点M 的轨迹是姊妹圆222
()x a y b ±+=.
62.到椭圆22221x y a b +=( a >b >0)的长轴两端点的距离之比等于a c
b
-(c 为半焦距)
的动点M 的轨迹是姊妹圆22
2()()a b x y e e
±+=.
63.到椭圆22221x y a b +=( a >b >0)的两准线和x 轴的交点的距离之比为a c
b
-(c 为
半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆22
222()()a b x y e e
±+=(e 为离心率).
64.已知P 是椭圆22221x y a b
+=( a >b >0)上一个动点,'
,A A 是它长轴的两个端点,
且AQ AP ⊥,''
AQ A P ⊥,则Q 点的轨迹方程是222241x b y a a
+=.
65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴
之长的比例中项.
66.设椭圆22221x y a b +=( a >b >0)长轴的端点为'
,A A ,11(,)P x y 是椭圆上的点过P
作斜率为2121
b x a y -的直线l ,过',A A 分别作垂直于长轴的直线交l 于'
,M M ,则
(1)'
'
2
||||AM A M b =.(2)四边形''
MAA M 面积的最小值是2ab .
67.已知椭圆22
221x y a b
+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F
的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的
中点.
68.OA 、OB 是椭圆
22
22()1x a y a b
-+=( a >0,b >0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标原
点,则(1)直线AB必经过一个定点
2222(,0)ab a b +.(2) 以O A 、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是22222
2222()()ab ab x y a b a b
-+=++(0)x ≠. 69.(,)P m n 是椭圆22
2
2()1x a y a b
-+=(a >b >0)上一个定点,P A 、P B 是互相垂直的弦,则(1)直线AB 必经过一个定点222222222
2()()
(,)ab m a b n b a a b a b
+--++.(2)以P A 、P B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方程是
22224222222222222
[()]
()()()ab a m b n a b n a b x y a b a b a b ++--+-=+++(x m ≠且y n ≠).
70.如果一个椭圆短半轴长为b ,焦点F 1、F 2到直线L 的距离分别为d 1、d 2,那么(1)212d d b =,且F 1、F 2在L 同侧?直线L 和椭圆相切.(2)212d d b >,且F 1、F 2在L 同
侧?直线L 和椭圆相离,(3)2
12d d b <,或F 1、F 2在L 异侧?直线L 和椭圆相交.
71.AB 是椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的长轴,N 是椭圆上的动点,过N 的切线与过
A 、
B 的切线交于
C 、
D 两点,则梯形ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)x a y y +=≠.
72.设点00(,)P x y 为椭圆22221x y a b +=( a >b >0)的内部一定点,AB 是椭圆22
221
x y a b
+=过定点00(,)P x y 的任一弦,当弦AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时22222200max 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b
-+?=.当弦AB 垂直于长轴所在直线时, 22222200min 2
()
(||||)a b a y b x PA PB b -+?=.
73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.
78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.
81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.
82.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.
83.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.
85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.
86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
89. 已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)上有一点P ,过点P 分别作直线
b y x a =及b
y x a
=-的平行线,与直线OP 分别交于,R Q ,O 为原点,则:.
(1)222||||OM ON a +=;(2)222
||||OQ OR b +=.
90. 过平面上的P 点作直线1:b l y x a =及2:b
l y x a
=-的平行线,分别交x 轴于
,M N ,交y 轴于,R Q .(1)若22
2||||OM ON a +=,则P 的轨迹方程是2222
1(0,0)x y a b a b +=>>.(2)若222
||||OQ OR b +=,则P 的轨迹方程是22
22
1(0,0)x y a b a b +=>>. 91. 点P 为椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点,
过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,交直线b
y x a
=-于,Q R ,记 OMQ
?与ONR ?的面积为12,S S ,则:122
ab
S S +=.
92. 点P 为第一象限内一点,过P 引x 轴、y 轴的平行线,交y 轴、x 轴于,M N ,
交直线b y x a =-于,Q R ,记 OMQ ?与ONR ?的面积为12,S S ,已知122ab
S S +=,则P
的轨迹方程是22
221(0,0)x y a b a b
+=>>.
双曲线
1.12||||||2PF PF a -=
2.标准方程:22
221x y a b
-=
3.11
||
1PF e d => 4.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
5.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
6.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
7.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.
8.设A 1、A 2为双曲线的左、右顶点,则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆,必与A 1A 2所在的直线切于A 2(或A 1).
9.双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的
直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22
221x y a b
+=.
10.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程
是00221x x y y
a b
-=. 11.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切
线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
12.AB 是双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB
的中点,则2
2OM AB b k k a
?=.
13.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方
程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
14.若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程
是
22002222x x y y x y a b a b
-=-. 15.若PQ 是双曲线22
221x y a b
-=(b >a >0)上对中心张直角的弦,则
122222121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=-==. 16.若双曲线22
221x y a b
-=(b >a >0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为
1Ax By +=(0)AB ≠,则(1) 22
2211A B a b -=+
;(2) L = 17.给定双曲线1C :222222
b x a y a b -=(a >b >0), 2C :
222222222()a b b x a y ab a b
+-=-,则(i)对1C 上任意给定的点000(,)P x y ,它的任一直角弦必须经过2C 上一定点M(2222
02
222(,)a b a b x y a b a b
++---. (ii)对2C 上任一点'''
000(,)P x y 在1C 上存在唯一的点'M ,使得'M 的任一直角弦都经过'0P 点.
18.设000(,)P x y 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上一点,P 1P 2为曲线C 的动弦,且
弦P 0P 1, P 0P 2斜率存在,记为k 1, k 2, 则直线P 1P 2通过定点00(,)M mx my -(1)m ≠的充要条件是2
122
11m b k k m a +?=
?-. 19.过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直
线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC b x k a y =-(常数).
20.双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意
一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122
t
2
F PF S b co γ
?=
,
2
cot )2
b P
c γ . 21.若P 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2
是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22
c a co c a βα
-=+). 22.双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--.
23.若双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当
1<e
1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中
项.
24.P 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定
点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,
等号成立.
25.双曲线22
221x y a b -=(a >0,b >0)上存在两点关于直线l :0()y k x x =-对称的充
要条件是2222
0222
()a b x a b k +>-.
26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28.P 是双曲线sec tan x a y b ?
?=??=?(a >0,b >0)上一点,则点P 对双曲线两焦点张直角的
充要条件是2
2
11tan e ?
=-. 29.设A,B 为双曲线22
22x y k a b
-=(a >0,b >0,0,1k k >≠)上两点,其直线AB 与双
曲线22
221x y a b
-=相交于,P Q ,则AP BQ =.
30.在双曲线22
221x y a b
-=中,定长为2m (m )0)的弦中点轨迹方程为
222222222
1()
cos sin x y a b m a b αα
--=-,其中2222tan b x a y α=-,当0y =时, 90α=. 31.设S 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的通径,定长线段L 的两端点A,B 在双曲
线上移动,记|AB|=l ,00(,)M x y 是AB 中点,则当l S ≥Φ时,有20min ()2a l x c e =+222(c a b =+,c e a =);当l S <Φ
时,有0min ()x =
32.双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是
22222A a B b C -≤.
33.双曲线
22
0022()()1x x y y a b ---=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222
00()A a B b Ax By C -≤++.
34.设双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双
曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有
sin (sin sin )c
e a
αγβ==±-.
35.经过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的实轴的两端点A 1和A 2的切线,与双曲线
上任一点的切线相交于P 1和P 2,则2
12||||PA PA b ?=.
36.已知双曲线22
221x y a b
-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且
OP OQ ⊥.
(1)22221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2
的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a -.
37.MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)过焦点的任一弦(交于两支),若AB 是
经过双曲线中心O 且平行于MN 的弦,则2
||2||AB a MN =.
38.MN 是经过双曲线22
221x y a b
-=(a >b >0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线
中心O 的半弦OP MN ⊥,则
222
2111
||||a MN OP a b -=-. 39.设双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的
任一点,过M 引一条直线与双曲线相交于P 、Q 两点,则直线A 1P 、A 2Q(A 1 ,A 2为两顶点)的交
点N 在直线l :2
a x m
=上.
40.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
41.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
42.设双曲线方程22
221x y a b
-=,则斜率为k(k ≠0)的平行弦的中点必在直线l :y kx
=的共轭直线'
y k x =上,而且2'2b kk a
=.
43.设A 、B 、C 、D 为双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )上四点,AB 、CD 所在直线的倾
斜角分别为,αβ,直线AB 与CD 相交于P,且P 不在双曲线上,则22222222||||cos sin ||||cos sin PA PB b a PC PD b a ββ
αα
?-=?-.
44.已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0),点P 为其上一点F 1, F 2为双曲线的焦点,
12F PF ∠的外(内)角平分线为l ,作F 1、F 2分别垂直l 于R 、S ,当P 跑遍整个双曲线时,
R 、S 形成的轨迹方程是
222x y a +=(322224223222{()[()]}[()]()a b x c a b x b c a c x c y ab c y -+-+-=).
45.设△ABC 三顶点分别在双曲线Γ上,且AB 为Γ的直径,l 为AB 的共轭直径所在的直线,l 分别交直线AC 、BC 于E 和F ,又D 为l 上一点,则CD 与双曲线Γ相切的充要条件
是D 为EF 的中点.
46.过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N
两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2PF e
MN =. 47.设A (x 1 ,y 1)是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,过A 作一条斜率为21
2
1
b x a y 的直线L ,又设d 是原点到直线 L 的距离, 12,r r 分别是A
到双曲线两焦点的距离,则
ab =.
48.已知双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)和22
22x y a b
λ-=(01λ<< ),一条直线顺
次与它们相交于A 、B 、C 、D 四点,则│AB │=|CD │.
49.已知双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直
平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或22
0a b x a
+≤-.
50.设P 点是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其
焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2) 122
cot 2
PF F S b γ?=.
51.设过双曲线的实轴上一点B (m,o )作直线与双曲线相交于P 、Q 两点,A 为双曲线
实轴的左顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于过B 点的直线MN :x n =于M ,N 两点,则
90MBN ∠=2
22
()a m a a m b n a -?=-++. 52.L 是经过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)焦点F 且与实轴垂直的直线,A 、B 是双
曲线实轴的两个焦点,e 是离心率,点P L ∈,若EPF α∠=,则α是锐角且1
sin e
α≤或
1sin arc e α≤(当且仅当||ab
PH c
=时取等号).
53.L 是经过双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的实轴顶点A 且与x 轴垂直的直线,E 、
F 是双曲线的准线与x 轴交点,点P L ∈,e 是离心率,EPF α∠=,H 是L 与X 轴的交点c
是半焦距,则α是锐角且1sin e α≤或1sin arc e α≤(当且仅当||ab
PA c
=时取等号).
54.L 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)焦点F 1且与x 轴垂直的直线,E 、F 是双曲
线准线与x 轴交点,H 是L 与x 轴的交点,点
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 , 则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.
高考数学椭圆与双曲线重要规律定理
椭圆与双曲线性质--(重要结论) 清华附中高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是 002 2 1x x y y a b + =. 6. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b + =外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是 002 2 1x x y y a b + =. 7. 椭圆 222 2 1x y a b + = (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为1 2 2 tan 2 F P F S b γ ?=. 8. 椭圆 2 2 22 1x y a b + =(a >b >0)的焦半径公式: 10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆 222 2 1x y a b + =的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22 O M AB b k k a ?=- , 即0 2 02 y a x b K AB - =。 12. 若000(,)P x y 在椭圆222 2 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 13. 若000(,)P x y 在椭圆 222 2 1x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 2 2 2 x x y y x y a b a b + = + . 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是 002 2 1x x y y a b - =. 6. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是002 2 1x x y y a b -=. 7. 双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为1 2 2 t 2 F P F S b co γ ?=. 8. 双曲线 2 2 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||M F ex a =+,20||M F ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||M F ex a =-+,20||M F ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 02y a x b K K AB OM = ?,即0 2 02 y a x b K AB = 。 12. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 2 2 00002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - . 13. 若000(,)P x y 在双曲线 222 2 1x y a b - =(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002 2 2 2 x x y y x y a b a b - = - .
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条经典法则
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论) 高三数学备课组 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积 为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式:10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆 准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于 点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-,即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2 的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦 点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和 A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
高考数学椭圆与双曲线的经典性质技巧归纳总结
椭圆的定义、性质及标准方程 高三数学备课组 刘岩老师 1. 椭圆的定义: ⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数 )10(<
圆锥曲线经典性质总结及证明
圆锥曲线的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.(椭圆的光学性质) 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点.(中位线) 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直 径的圆内切.(第二定义) 4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.(求 导) 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=.(结合4) 6. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=.(余弦定理+面积公式+ 半角公式) 7. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).(第二定义) 8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF
9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上,下面证明他在准线上 根据第8条,证毕 10. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即0 20 2y a x b K AB -=。(点差法)
椭圆性质总结及习题
椭 圆 一.考试必“背” 1 椭圆的两种定义: ①平面内与两定点F 1,F 2的距离的和等于定长() 212F F a >的点的轨迹,即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a >|F 1F 2|};(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。其中两定点F 1,F 2叫焦点,定点间的距离叫焦距。 ②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹,即点集 M={P| e d PF =,0<e <1的常数 }。(1=e 为抛物线;1>e 为双曲线) 2 标准方程: (1)焦点在x 轴上,中心在原点:122 22=+b y a x (a >b >0); 焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0)。其中22b a c -= (一个?Rt ) (2)焦点在y 轴上,中心在原点:122 22=+b x a y (a >b >0); 焦点F 1(0,-c ),F 2(0,c )。其中22b a c -= 注意:①在两种标准方程中,总有a >b >0,22b a c -= 并且椭圆的焦点总在长轴上; ②两种标准方程可用一般形式表示:Ax 2+By 2=1 (A >0,B >0,A ≠B ),当A < B 时,椭圆的焦点在x 轴上,A >B 时焦点在y 轴上。 3.参数方程 :椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x )(为参数θ 4.性质:对于焦点在x 轴上,中心在原点:12 2 22=+b y a x (a >b >0)有以下性质: 坐标系下的性质: ① 范围:|x|≤a ,|y|≤b ; ② 对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O (0,0); ③ 顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b ),长轴|A 1A 2|=2a ,短轴|B 1B 2|=2b ; (a 半长轴长,b 半短轴长); ④ 准线方程:c a x 2± =;或c a y 2 ±= ⑤ 焦半径公式:P (x 0,y 0)为椭圆上任一点。|PF 1|=左r =a+ex 0,|PF 2|=右r =a-ex 0; |PF 1|=下r =a+ey 0,|PF 2|=上r =a-ey 0;c a PF c a PF -=+=min max ,
高中数学知识点总结_椭圆及其性质
椭圆及其性质 1.方程 12 2 =+ n y m x 表示椭圆?m >0,n >0,且m ≠n ;2 a 是m ,n 中之较大者,焦点 的位置也取决于m ,n 的大小。 [举例] 椭圆 14 2 2 =+ m y x 的离心率为 2 1,则m = 解析:方程中4和m 哪个大哪个就是2a ,因此要讨论;(ⅰ)若0
双曲线中常见结论
双曲线中常见结论: 1、离心率e=a c =21)(a b 2、焦半径 3、通径及通径长a b 2 2 4、焦点到准线的距离c b 2,中心到准线的距离c a 2
8、双曲线λ=-2222b y a x (λ≠0)和122 22=-b y a x 有相同的渐近线和相同的离心率。 9、P 为双曲线上一点,则21F PF ?的面积为S= θsin b 2 121212线的离心率为e= α ββαsin sin sin -+) (
例(湖南卷)已知双曲线22a x -22 b y =1(a >0,b >0)的右焦点为F ,右准线与一条渐近线 交于点A ,△OAF 的面积为2 2 a (O 为原点),则两条渐近线的夹角为 (D ) A .30o B .45o C .60o D .90o 例双曲线)(0122≠=-m n n y m x 的离心率为2,则n m 的值为( ) A .3 B . 3 1 C .3或 3 1 D .以上都不对
椭圆的几何性质 一、教学目标 (一)知识教学点 通过椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,能正确地画出椭圆的图形,并了解椭圆的一些实际应用. (二)能力训练点 通过对椭圆的几何性质的教学,培养学生分析问题和解决实际问题的能力. (三)学科渗透点 使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法,加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解,这样才能解决随之而来的一些问题,如弦、最值问题等. 二、教材分析 1.重点:椭圆的几何性质及初步运用. (解决办法:引导学生利用方程研究曲线的性质,最后进行归纳小结.) 2.难点:椭圆离心率的概念的理解. (解决办法:先介绍椭圆离心率的定义,再分析离心率的大小对椭圆形状的影响,最后通过椭圆的第二定义讲清离心率e的几何意义.) 3.疑点:椭圆的几何性质是椭圆自身所具有的性质,与坐标系选择无关,即不随坐标系的改变而改变. (解决办法:利用方程分析椭圆性质之前就先给学生说明.) 三、活动设计 提问、讲解、阅读后重点讲解、再讲解、演板、讲解后归纳、小结. 四、教学过程 (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
(一)椭圆的定义: 1、椭圆的定义:平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长(大于12||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。 对椭圆定义的几点说明: (1)“在平面内”是前提,否则得不到平面图形(去掉这个条件,我们将得到一个椭球面); (2)“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”,学习时注意区分; (3)作为到这两个定点的距离的和的“常数”,必须满足大于| F 1F 2|这个条件。若不然,当这个“常数”等于| F 1F 2|时,我们得到的是线段F 1F 2;当这个“常数”小于| F 1F 2|时,无轨迹。这两种特殊情况,同学们必须注意。 (4)下面我们对椭圆进行进一步观察,发现它本身具备对称性,有两条对称轴和一个对称中心,我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1, A 2, B 1, B 2,于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”,且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。同学们想一想其中的道理。 (5)中心在原点、焦点分别在x 轴上,y 轴上的椭圆标准方程分别为: 22 22 2222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是:形状相同、大小相同;都有 a > b > 0 ,2 2 2 a c b =+。 不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同(第一个椭圆的 焦点坐标为(-c ,0)和(c ,0),第二个椭圆的焦点坐标为(0,-c )和(0,c )。椭圆的 焦点在 x 轴上?标准方程中x 2项的分母较大;椭圆的焦点在 y 轴上?标准方程中y 2 项的分母较大。 (二)椭圆的几何性质: 椭圆的几何性质可分为两类:一类是与坐标系有关的性质,如顶点、焦点、中心坐标;一类是与坐标系无关的本身固有性质,如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质,只 要22 22x y 1(a b 0)a b +=>>的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换,就可以得出2222 y x 1(a b 0)a b +=>>的有关性质。总结如下:
椭圆与双曲线的对偶性质92条
椭圆与双曲线的对偶性质92条 椭 圆 1.12||||2PF PF a += 2.标准方程:22 221x y a b += 3.11 || 1PF e d =< 4.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 8.设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点,则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆,必与A 1A 2所在的直线切于A 2(或A 1). 9.椭圆22 221x y a b +=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭 圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10.若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11.若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦 P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 12.AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-. 13.若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 14.若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15.若PQ 是椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上对中心直角的弦,则 122222 121111(||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16.若椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上中心直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,
椭圆性质整理讲解学习
椭圆性质 1. 12||||2PF PF a += 2. 标准方程:22 221x y a b += 3. 11 || 1PF e d =< 4. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 5. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去 长轴的两个端点. 6. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8. 设A 1、A 2为椭圆的左、右顶点,则△PF 1F 2在边PF 2(或PF 1)上的旁切圆,必与A 1A 2所在的直线切 于A 2(或A 1). 9. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 10. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 11. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线 方程是 00221x x y y a b +=. 12. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为AB 的中点,则22OM AB b k k a ?=-. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 14. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 15. 若PQ 是椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上对中心张直角的弦,则 122222121111 (||,||)r OP r OQ r r a b +=+==. 16. 若椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上中心张直角的弦L 所在直线方程为1Ax By +=(0)AB ≠,则
椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>,焦点坐标为(c ,0),(-c ,0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为:()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为(0,c ,)(o ,-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2,y 2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a +c ,最小距离为a -c . (3)在椭圆中,离心率 2 222 2a b a a c a c e -===(4)椭圆的离心率e 越接近1椭圆越扁;e 越接近于0,椭圆就接近于圆; (5)离心率公式:在21PF F ?中,α=∠21F PF ,β=∠12F PF ,()β αβαsin sin sin ++=e 二、椭圆其他结论 1、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b += 若已知切线斜率K ,切线方程为222b k a kx y +±=
椭圆与双曲线的必背的经典结论
椭圆与双曲线的必背的经典结论 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗: 1、销售大厅服务岗岗位职责: 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点; 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1)自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2)检查使用工具及销售大厅物资情况,异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 (糕点) 添加茶水工作1)眼神关注客人,当客人距3米距离侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候:“您好!欢迎光临!”2)在客人前方1-2米距离领位,指引请客人向休息区,在客人入座后问客人对座位是否满意:“您好!请问坐这儿可以吗?”得到同意后为客人拉椅入座“好的,请入座!” 3)若客人无置业顾问陪同,可询问:请问您有专属的置业顾问吗?,为客人取阅项目资料,并礼貌的告知请客人稍等,置业顾问会很快过来介绍,同时请置业顾问关注该客人; 4)问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好,这里是XX销售中心,这边请”5)问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6)关注客人物品,如物品较多,则主动询问是否需要帮助(如拾到物品须两名人员在场方能打开,提示客人注意贵重物品); 7)在满座位的情况下,须先向客人致
待; 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料(糕点服务) 1)在所有饮料(糕点)服务中必须使用 托盘; 2)所有饮料服务均已“对不起,打扰一 下,请问您需要什么饮品”为起始; 3)服务方向:从客人的右面服务; 4)当客人的饮料杯中只剩三分之一时, 必须询问客人是否需要再添一杯,在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触; 5)在客人再次需要饮料时必须更换杯 子; 下班程 序1)检查使用的工具及销售案场物资情况,异常情况及时记录并报告上级领导; 2)填写物资领用申请表并整理客户意见;3)参加班后总结会; 4)积极配合销售人员的接待工作,如果下班
椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点 【知识点1】椭圆的概念: 在平面内到两定点1、2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意:若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; 若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形。 【知识点2】椭圆的标准方程 焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()22 2210x y a b a b += >>,焦点坐标为(c ,0),(-c ,0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为:()22 2210x y a b b a += >>焦点坐标为(0,c ,)(o ,-c ) 【知识点3】椭圆的几何性质: 规律: (1)椭圆焦点位置与x 2,y 2系数间的关系:焦点在分母大的那个轴上. (2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离,且最大距离为a +c ,最小距离为a -c . (3)在椭圆中,离心率2 2 2 22221a b a b a a c a c e -=-=== (4)椭圆的离心率e 越接近1椭圆越扁;e 越接近于0,椭圆就接近于圆; (5)离心率公式:在21PF F ?中,α=∠21F PF ,β=∠12F PF ,()β αβαsin sin sin ++=e 二、椭圆其他结论 标准方程 ()22 22 10x y a b a b += >> ()22 22 10x y a b b a += >> 图形 性质 范围 a x a -≤≤ b y b -≤≤ 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A 1(-a,0), A 2(a,0) B 1(0,-b ),B 2(0,b ) A 1(0,-a ),A 2(0,a ) B 1(-b,0),B 2(b,0) 轴 长轴A 1A 2的长为2a ;短轴B 1B 2的长为2b 焦距 ∣F 1F 2 |=2c 离心率 e= c a ∈(0,1) a ,b ,c 的关系 c 2=a 2-b 2
椭圆和双曲线的方程、性质(学生)
第二讲椭圆和双曲线的方程、性质 教学目标:熟练运用椭圆、双曲线定义和性质解题。 1.一圆形纸片的圆心为O ,点Q 是圆内异于O 的一点,点A 在圆周上.把纸片折叠使点 A 与点Q 重合,然后抹平纸片,折痕CD 与OA 交于P 点,当点A 运动时,点P 的轨迹 是 ( ). 2.已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为 ( ) A . 2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .22 1189x y += 3.椭圆22 :143 x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值范围是( ) A .1324 ??????, B .3384??????, C .112??????, D .314?? ???? , 4.若椭圆1C :1212212=+b y a x (011>>b a )和椭圆2C :122 2 222=+b y a x (022>>b a )的焦 点相同且12a a >.给出如下四个结论: ① 椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点; ② 11 22 a b a b >; ③ 2 2212221b b a a -=-; ④1212a a b b -<-. 其中,所有正确结论的序号是( ) A.①③ B①③④ C .①②④ D .②③④ 5.过椭圆14 162 2=+y x 上一点P 作圆222=+y x 的两条切线,切点为B A ,,过B A ,的直线与两坐标轴的交点为N M ,,则MON ?的面积的最小值为( ) A. 23 B. 32 C. 2 1 D. 2 6.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准 线分别交于A , B 两点, O 为原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积
高中数学 有关圆锥曲线的经典结论
有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
椭圆标准方程及其性质知识点大全
【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全 (一)椭圆的定义及椭圆的标准方程: ●椭圆定义:平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数 )2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦 点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意:①若)(2121F F PF PF =+,则动点P 的轨迹为线段21F F ; ②若)(2121 F F PF PF <+,则动点P 的轨迹无图形 (二)椭圆的简单几何性: ●标准方程是指中心在原点,坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 标准方程 122 22=+b y a x )0(>>b a 12 2 22=+b x a y )0(>>b a 图形 性质 焦点 )0,(1c F -,)0,(2c F ),0(1c F -,),0(2c F 焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤, b y ≤ b x ≤,a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称 顶点 )0,(a ±,),0(b ± ),0(a ±,)0,(b ± 轴长 长轴长12A A ,12A A =a 2,短轴长12B B ,12B B =b 2
离心率 ①(01)c e e a = << ,②21()b e a =-③2 22b a c -= (离心率越大,椭圆越扁) 【说明】: 1.方程中的两个参数a 与b ,确定椭圆的形状和大小,是椭圆的定型条件,焦点F 1,F 2的位置,是椭圆的定位条件,它决定椭圆标准方程的类型,常数a ,b ,c 都大于零,其中 a 最大且a 2= b 2+ c 2. 2. 方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是:ABC ≠0,且A ,B ,C 同号,A ≠B 。A >B 时,焦点在y 轴上,A <B 时,焦点在x 轴上。 (三)焦点三角形的面积公式:122tan 2 PF F S b θ ?=如图: ●椭圆标准方程为:122 22=+b y a x )0(>>b a ,椭圆焦点三角形:设P 为椭圆上任意一点, 12,F F 为焦点且∠12F PF θ=,则△12F PF 为焦点三角形,其面积为122tan 2 PF F S b θ ?=。 (四)通径 :如图:通径长 2 2b MN a = ●椭圆标准方程:122 22=+b y a x )0(>>b a , (五)点与椭圆的位置关系: (1)点00(,)P x y 在椭圆外?22 00 221x y a b +>;(2)点00(,)P x y 在椭圆上?220220b y a x +=1; (3)点00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< (六)直线与椭圆的位置关系: ●设直线l 的方程为:Ax+By+C=0,椭圆122 22=+b y a x (a ﹥b ﹥0),联立组成方程 组,消去y(或x)利用判别式△的符号来确定: (1)相交:0?>?直线与椭圆相交;(2)相切:0?=?直线与椭圆相切; M N F x y