函数图像切线问题

函数图像的切线问题

要点梳理归纳

1.求曲线 y＝ f(x) 的切线方程的三种类型及其方法

(1)已知切点 P(x 0， f(x 0)) ，求 y＝ f(x) 在点 P 处的切线方程：

切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝ f(x) 的切线方程：

设切点为P(x 0， y0) ，通过方程k＝f ′(x 0) 解得 x0，再由点斜式写出方程.

(3)已知切线上一点 ( 非切点 )A(s,t) ，求 y＝ f(x) 的切线方程：

设切点为 P(x 0，y0) ，利用导数将切线方程表示为y－ f(x 0) ＝f ′(x 0)(x － x0) ，再将 A(s,t)代入求出x0.

2．两个函数图像的公切线

函数 y=f(x) 与函数 y=g(x)存在公切线，

f′ x0＝ g′ x0，

若切点为同一点P(x0，y0)，则有

f x0＝

g x0 .

若切点分别为 (x,f(x)),(x,g(x f (x1 ) g(x2 )

12)), 则有 f (x1) g ( x2 ).

12

x2

x1

题型分类解析

题型一已知切线经过的点求切线方程

例 1. 求过点P(2,2)与已知曲线S : y 3x x3相切的切线方程.

解：点 P 不在曲线S上.

设切点的坐标x , y

0，则 y03x0x03 ，函数的导数为y '33x2，

切线的斜率为 k y '

x x

33x 2，切线方程为 y y0(3 3x02 )( x x0 ) ，00

点 P(2,2)在切线上，2y0(33x02 )(2x0 ) ，又 y03x0x03 ，二者联立

可得

x0 1,或 x013, 相应的斜率为 k0 或 k9 63

切线方程为 y 2 或 y 9 6 3 (x 2) 2 .

例 2.

设 函 数 f

x

g x

x 2 ， 曲 线 y g x 在 点 1,g 1

处的切线方程为

y 2x 1，则曲线 y

f x 在点 1, f 1 处的切线方程为 ________

解析：由切线过

1, g 1 可得： g 1 3 ，所以 f

1 g 1

12 4 ，另一方面， g ' 1 2 ，且 f ' x g ' x

2x ，所以

f ' 1

g ' 1 2

4 ，从而切线方程为：

y 4 4 x

1

y 4x

例 3. 已知直线 y kx 1与曲线 y

x 3 ax b 切于点 (1,3) ，则 b 的值为 _________ 解析：代入

(1,3)可得： k

2 ， f '

x 3x 2 a ， 所以有

f 1 a b 1 3 a 1

f ' 1

3 a

2

，解得

3

b

题型二

已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）

例 4. 已知函数 f x ln x 2 x ，则：

（1）在曲线 f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 4x y 2 0 平行

（2）在曲线 f x

上是否存在一点，在该点处的切线与直线

x y

3 0 垂直

解：设切点坐标为

x 0 , y 0

f ' x 0

1 2

由切线与 4 x

y

2 0 平行可得：

x 0

f '

x 0

1 2 4

x 0

1 y 0 f 1

ln

1

1

x 0

2

2 2 切线方程为： y

1 ln 2

1 y

4 x

ln 2 1

4 x

2

（2）设切点坐标x0 , y0 f ' x01 2 ，直线x y 3 0 的斜率为 1

x0

f ' x0121 x01而 x00,

x03

x01

不在定义域中，舍去3

不存在一点，使得该点处的切线与直线x y 30 垂直

例 5. 函数f x a ln x bx2上一点P 2, f2处的切线方程为y3x 2ln2 2 ，求a, b 的值

思路：本题中求 a, b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线y3x2ln2 2上，y 3 22ln222ln24，即 f 2 =2ln24，得到 a,b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到x 2 的导数值，进而得到a,b 的另一个等量关系，从而求出a, b 解：P 在 y3x 2ln2 2 上，f2 3 22ln222ln24 f2 a ln24b2ln24

又因为 P 处的切线斜率为3 f ' x a2bx

x

a a ln 24b2ln 24

a2

f '24b 3 ,a

4b3b1

22

例 6.设函数f x x3ax29x 1 a0，若曲线 y f x的斜率最小的切线与直线 12x y 6 平行，求 a 的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12 ，进而可得导函数的

最小值为12，便可求出a的值

2 a 1 a2 1 a2 1 a2

解： f 'x3x22ax9 3x29 3x 1 a29

39333

f ' x min f 1 a 1 a29直线 12x y 6 的斜率为12，依题意可得：

33

1 a29 1

2 a

3 a 0 a3

3

题型三公切线问题

例 7.若存在过点 (1,0)的直线与曲线y x3和 y ax215x 9 都相切,则a等于()

4

A.1或25

B. 1 或

21

C.

7

或

25

D.

7

或 7 6444644

思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线y ax215 x9 含有参数，所以考虑

4

先从常系数的曲线 y x3入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线

y ax215 x9 求出a的值.设过1,0的直线与曲线y x3切于点x0 , x03,切线方4

程为 y x033x02x x0，即 y 3x02 x 2 x03，因为 1,0在切线上，所以解得：x00

或 x03，即切点坐标为0,0 或3,27.当切点0 , 0 时，由 y0与228

y ax215 x9 相切可得

4

225

，同理，切点为3

,

27

解得a

154a90a1 46428

答案： A

小炼有话说：（ 1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁

. 所

以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系

（2）在利用切线与 y

ax 215 x 9 求 a 的过程中， 由于曲线 y

ax 215 x 9 为抛物

4

4

线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的

0 来求解，减少了运算量 . 通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一

方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若

曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）

例 8. 若曲线 C 1：y x 2 与曲线 C 2： y ae x 存在公切线，则 a 的最值情况为（

）

A ．最大值为 8

B

．最大值为

4 C

．最小值为

8 D

．最小值为

4

e 2

e 2

e 2

e 2

解析：设公切线与曲线 C 1 切于点

x 1, x 12

，与曲线 C 2 切于点 x 2 ,ae

x 2

，由

y ' 2 x 可得：

y '

ae

x

ae

x

2

x

2

2x 1

2 x 1 x 12 x 1 2x 2

2

x 2

2x 1

x ，所以有

x 2 x 1

ae 4x 2

4 ，

ae 2

x 2 1

，所以

x 1

2x ae

x

2

1

即 a

4 x 2 1 ，设 f x

4 x 1 ，则 f ' x

4 2 x . 可知 f x 在 1,2 单调递

e x 2

e x

e x

增，在

2,

单调递减，所以 a max

f 2

4 e

2

12

6 10

4 8

2 6

4

a 2ae^x

2 x^2

5

a

510

4

2

4

x^22

5101520

l O

510

ae^x

2

15202530

4

题型四4切线方程的应

用

6

6

例 9. 已知直线y kx y ln x k.

与曲线有公共点，则的最大值为

6

解：根据题意8画出右图，由图可知，当直线和曲线相切

时，k 取得最大值.

8

设切点坐标为x0 , y0，则 y0ln x0， y '1

y 'x10 x

1

，切线方程为x

x0

y ln x01

( x x0 ) ，原点在切线上，ln x01，x0e12斜率的最大值为 1 . x0e

例 10. 曲线y e x在点2, e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A. e2

B.2e2

C.4e2

D.e2

2

思路： f 'x e x由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出

切线方程 f '2e2所以切线方程为：y e2e2x2即 e2 x y e20 ，

与两坐标轴的交点坐标为1,00,e2S11e2e2

22

例 11. 一点P在曲线y x3x2上移动，设点 P 处切线的倾斜角为，则角的取值

3

范围是( )．

A. 0,

B.0,3,

C.3,

D.

2, 3

22444

思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来. y'3x2 1 ，对于曲线上任意一点 P ，斜率的范围即为导函数的值域：y'=3x211,，所以倾斜角的范围

是 0,

23 ,.答案：B 4

例 12.已知函数 f x2x33x ，若过点 P 1, t 存在3条直线与曲线 y f x 相切，求 t 的取值范围

思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点x0 , y0，

切线斜率为 k ，则满足y02x033x0

，所以切线方程为 y y0k x x0，k f 'x06x023

即

y 2 x033x06x023x x0，代入P1, t 化简可得：t4x036x02 3 ，所以若存在 3 条切线，则等价于方程t4x036x02 3 有三个解，即y t 与g x4x36x23有三个不同交点，数形结合即可解决

解：设切点坐标x0 , y0，切线斜率为 k ，则有：

y02x033x0

切线方程为： y2x033x06x02 3 x x0

k f ' x06x023

因为切线过 P1, t ，所以将 P 1, t代入直线方程可得：

t 2 x033x0 6 x02 3 1 x0

t6x02 3 1 x02x033x0

6x02 3 6x033x0 2 x033x04x036x023

所以问题等价于方程 t4x036x02 3 ，令g x 4 x36x23

即直线 y t 与 g x 4 x36x23有三个不同交点

g' x12x 212x12x x1

令g'x0解得 0x1所以 g x 在,0, 1,单调递减，在0,1 单调递增

g x

极大值g 11,g x

极小值g03

所以若有三个交点，则t3,1

所以当 t3, 1时，过点 P1,t存在 3 条直线与曲线y f x 相切

例 13.已知曲线C:x 2=y，P 为曲线 C 上横坐标为1的点，过 P 作斜率为 k(k ≠ 0) 的直线交C

于另一点 Q，交 x 轴于 M，过点 Q且与 PQ垂直的直线与 C 交于另一点 N，问是否存在实数

k，使得直线 MN与曲线 C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由 .

思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点 P1,1 ，则可求出

PQ : y kx k 1，从而与抛物线方程联立可解得Q k 1, k

2

1 ，以及M点坐标，

从而可写出 QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从 M , N 坐标入手得到 MN 方程，再根据相切0 求 k ，方法可以但计算量较大. 此时可以着眼于N为切点，考虑抛物线 x2y 本身也可视为函数 y x2，从而可以 N 为入手点先求出切线，再利用切

线过 M 代入 M 点坐标求k，计算量会相对小些.

解：由 P 在抛物线上，且P 的横坐标为 1 可解得P 1,1

设 PQ : y 1 k x 1 化简可得： y kx k1M k

1

,0 k

y x 2

k 1 消去 y ： x 2

kx k 1 0

y kx

x 1 1,x 2 k 1

Q k 1, k 2

1

设直线 QN : y

k

1

1 x

k

1

即 y k 1

2 1 x k 1

2

k

k

y x 2

联立方程：

y

k 2 1 x k

1

1

k

x 2

1 x k

1

k 1 1

k

k

x Q x N

k 1 k 1

1

x N

1 k

k 1

k

1

1 2

N

k 1

k

1

,

k

k

由 y

x 2 可得： y ' 2x

切线 MN 的斜率 k MN

y ' |x x N

2 k 1

1

k

2

1 1 MN : y k 1

1

2 k 1

k

k

x k 1

k

代入 M

1

k

,0 得：

k

1 2

1 1

1

k

2 k 1

1

k

1

k k

1

k

k

k 1 1

2k k 2k 1 0 ,k 1 5 k2

小炼有话说：（ 1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，

椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要

比联立方程计算0 简便

（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的

横坐标求出 N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交

点求另一交点的问题 .

322

例 14. 设函数 f(x)＝x＋2ax＋bx＋a，g(x)＝x－3x＋2，其中x∈ R，a、b为常数，已知

曲线 y＝ f(x) 与 y＝ g(x) 在点 (2,0)处有相同的切线l.

(1) 求 a、 b 的值，并写出切线l 的方程；

(2) 若方程 f(x)＋g(x)＝mx有三个互不相同的实根0、 x1、 x2，其中 x1

的 x∈ [x 1， x2] ，f(x)＋g(x)

【解答】(1)f ′(x) ＝ 3x2＋ 4ax＋ b，g′(x) ＝ 2x－ 3.

由于曲线y＝ f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，

故有 f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.

8＋ 8a＋ 2b＋ a＝0，a＝－ 2，

由此得解得

12＋ 8a＋b＝ 1，b＝ 5.

所以 a＝－ 2， b＝ 5，切线 l 的方程为x－ y－2＝ 0.

(2)由 (1) 得 f(x) ＝ x3－ 4x2＋ 5x－ 2，

所以 f(x) ＋ g(x) ＝ x3－ 3x2＋ 2x.

依题意，方程20 有三个互不相同的实根12，

x(x－ 3x＋ 2－ m)＝0、 x、 x 故 x 、 x2－ 3x＋ 2－ m＝0的两相异的实根．

是方程 x

12

1

所以＝ 9－ 4(2 － m)>0，即 m>－4.

又对任意的x∈[x 1， x2] ， f(x) ＋ g(x)

特别地，取 x＝x1时， f(x 1) ＋g(x 1) － mx1<－m成立，得 m<0.

由韦达定理，可得 x1＋ x2＝ 3>0， x1x2＝ 2－m>0，故 0

任意的 x∈ [x 1，x2] ，有 x－ x2≤0， x－ x1≥0， x>0，

则 f(x) ＋ g(x) － mx ＝ x(x － x 1)(x － x 2) ≤0，又 f(x 1) ＋ g(x 1) － mx 1＝ 0，

所以函数 f(x) ＋ g(x) － mx 在 x ∈ [x 1， x 2] 的最大值为 0.

1

于是当－ 4

1

综上， m 的取值范围是 －4， 0 .

例 15. 如图 3－ 1，有一正方形钢板 AB CD 缺损一角 ( 图中的阴影部分 ) ，边缘线 OC 是以直线

AD 为对称轴，以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割

下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为

2 米，问如何画切割线 EF ，可

使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

解法一： 以 O 为原点，直线 AD 为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系，依题意， 可设抛物线弧 OC 的方程为 y ＝ ax 2(0 ≤ x ≤2) ，

∵点 C 的坐标为 (2,1) ，

2

1

∴ 2 a ＝ 1， a ＝ 4，

1 2

故边缘线 OC 的方程为 y ＝ 4x

(0

≤ x ≤2) ，

要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线

OC P

1 2 (0< t <2) 弧

t ， t

，

相切，设切点坐标为

4

1

1 2

t

∵ y ′＝ 2x ，∴直线 EF 的方程可表示为 y －

4t

＝ 2( x － t ) ，

1 1 2

1

2

1 2

即 y ＝ 2tx － 4t

. 由此可求得 E 2， t － 4t ， F 0，－ 4t

.

∴|

1 2 1 2

| ＝ － t － － 1

＝ 1－

，

AF

4

4t

|

1

2

＝－ 1

2

＋1.

| ＝ t － t

－ － 1

4t

＋

BE

4 t

设梯形 ABEF 的面积为 S ( t ) ，则

1 55 5

S t AF BE

11/12

答：当 AF ＝ 0.75 m ， BE ＝ 1.75 m

时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为

2.5 m 2.

解法二： 以 A 为原点，直线 AD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛

物线的方程为

y ＝ ax 2＋1(0 ≤ x ≤2) ．

2

1

∵点 C 的坐标为 (2,2) ，∴ 2 a ＋ 1＝ 2， a ＝ 4，

故边缘线 OC 的方程为 y ＝ 41

x 2＋1(0 ≤ x ≤2) ．

要使梯形

ABEF 的面积最大，则

EF 所在的直线必与抛物线弧

OC 相切，设切点坐标

为

P t ， 1

t 2＋ 1 (0< t <2) ，

4

∵ ′＝ 1 ，∴直线

EF 的方程可表示为

y － 1 2

－1＝ 1 ( x － ) ，

y

2x

4t

2t

t

1

1 2

即 y ＝ 2tx － 4t ＋ 1，

由此可求得 E 2，t － 1

t 2

＋ 1 ， F 0，－ 1

t 2

＋ 1 .

4 4

∴ | AF | ＝ 1－ 1t 2， | BE | ＝－ 1

t 2＋ t ＋ 1，

44

设梯形 ABEF 的面积为 S ( t ) ，则

1 AF | ＋ | BE |)

S ( t ) ＝ | AB | ·(|

2 1 2 1 2 1 2

＝ 1－4t ＋ － 4t ＋ t ＋ 1 ＝－ 2t ＋ t ＋ 2 1 2 5 5 ＝－ 2( t － 1) ＋ 2≤2.

5

∴当 t ＝ 1 时， S ( t ) ＝ 2，

故 S ( t ) 的最大值为 2.5. 此时 | AF | ＝ 0.75 ， | BE | ＝ 1.75.

答：当 AF ＝ 0.75 m ， BE ＝ 1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 2.5 m 2.

【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点

P 的函数，

再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．