专题四第1讲课时训练提能

专题四第1讲空间几何体

课时训练提能

[限时45分钟，满分75分]

一、选择题(每小题4分，共24分)

1．(2012·西城一模)已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为123cm3.其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是

A．43cm2B．23cm2

C．8 cm2D．4 cm2

解析设正六棱柱的底面边长与侧棱都为a，则其体积为

V＝6×

3

4

a2×a＝123，∴a＝2 cm.

正六棱柱的左视图是宽为2 cm，长为23cm的矩形，

所以左视图的面积为2×23＝4 3.

答案A

2．如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是

A．②③④B．①②③

C．①③④D．①②④

解析①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

答案A

3．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是

A.3

2

π B.

5

2

π

C.7

2

π D.

9

2

π

解析依题意可知，△ABC绕直线BC旋转一周，可得如图所示的一个几何体，该几何体是由底面半径为2sin 60°＝3，高为1.5＋2×cos 60°＝2.5的圆锥，挖去一个底面半径为3，高

为1的圆锥所形成的几何体，则该几何体的体积V＝1

3π×(3)2×(2.5－1)＝

3

2

π，故应选A.

答案A

4．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是

A．1 B．2

C．3 D．4

解析命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

答案A

5．(2012·北京东城11校联考)一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是

A．112 B．80

C．72 D．64

解析该几何体是由一个四棱锥与一个正方体拼接而成的，其中四棱锥的高为3、底面是边

长为4的正方形，正方体的棱长为4，∴该几何体的体积为V＝1

3

×3×42＋43＝80.答案B

6．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．48 B．32＋817

C．48＋817 D．80

解析本题主要考查直四棱柱的三视图及四棱柱的表面积公式，由三视图可知该空间几何体是底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，如图所示，则该

直四棱柱的表面积S＝2×1

2

×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48

＋817.

答案C

二、填空题(每小题5分，共15分)

7．(2012·太原模拟)盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下将________cm.

解析设水面将下降x cm，据题意知

π×52×x＝2×4

3π×

?

?

?

?

?5

2

3，解得x＝

5

3

cm.

答案5 3

8．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC的体积等于________．

解析∵PA⊥底面ABC，∴PA为三棱锥P－ABC的高，且PA＝3.

∵底面ABC为正三角形且边长为2，

∴底面面积为1

2

×22×sin 60°＝3，

∴V P－ABC＝1

3

×3×3＝ 3.

答案3

9．(2012·包头二模)四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，四棱锥P－ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为22，则该球表面积为________．

解析∵直线EF被球面所截得的线段长为22，

故AC＝22，∴AB＝2，

设PC的中点为O，易证OP＝OC＝OA＝OB＝OD，

∴O即为球心，则球的半径R＝3，∴S＝12π.

答案12π

三、解答题(每小题12分，共36分)

10．某商店门口标识墩的直观图以及正视图和俯视图如图所示，墩的上半部分是正四棱锥P －EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.

(1)请画出该标识墩的侧视图；

(2)求该标识墩的体积．

解析(1)由于墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH，故其侧视图与正视图全等．该标识墩的侧视图如图所示．

(2)由三视图易得，长方体与正四棱锥的底面均是边长为40 cm的正方形，长方体的高为20 cm，正四棱锥的高为60 cm.

故该标识墩的体积V＝V P－EFGH＋V ABCD－EFGH＝1

3

×40×40×60＋40×40×20＝64 000(cm3)．

11．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

(1)若M为CB的中点，证明：MA∥平面CNB1；

(2)求这个几何体的体积．

解析(1)证明取CB 1的中点P，连接MP，NP.

因为M为CB的中点，所以MP∥BB1，且MP＝1

2BB

1

.

由三视图可知，四边形ABB1N为直角梯形，

AN∥BB

1且AN＝

1

2

BB

1

，则MP∥AN且MP＝AN，

所以四边形ANPM为平行四边形，

所以AM∥NP.

又因为AM?平面CNB1，NP?平面CNB1，

所以AM∥平面CNB1.

(2)因为该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，所以BC ⊥BA，BC⊥B1B.

又BB1与BA相交于点B，连接BN，所以BC⊥平面ABB1N，

所以BC为三棱锥C－ABN的高．

取BB1的中点Q，连接QN，

因为四边形ABB1N是直角梯形且AN＝1

2BB

1

＝4，

所以四边形ABQN为正方形，所以NQ⊥BB1，

又BC⊥平面ABB1N，NQ?平面ABB1N，

所以BC⊥NQ，又BC与BB1相交于点B，

所以NQ⊥平面C1B1BC，所以NQ为四棱锥N－CBB1C1的高．

所以该几何体的体积V＝V C－ABN＋VN－CBB1C1＝1

3

CB·S

△ABN

＋

1

3

NQ·S四边形BCC

1

B

1

＝1

3×4×

1

2

×4×4＋

1

3

×4×4×8＝

160

3

.

12．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．

(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；

(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；

(3)若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．

解析(1)几何体的直观图如图所示，

四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，

故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝1

2×1×3×3＝

3

2

.

(2)证明由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1，

所以B1C1⊥A1C.

因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1，而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.

(3)DE∥平面AB1C1，证明如下：

如图，取BB1的中点F，连接EF，DF，DE.

因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点，所以EF∥AB1，DF∥B1C1.

又AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1，

所以EF∥平面AB1C1.

同理，DF∥平面AB1C1，

又EF∩DF＝F，

则平面DEF∥平面AB1C1.

而DE?平面DEF，所以DE∥平面AB1C1.