数值分析试题及答案
数值分析试题
一、 填空题（2 0×2′）
1.
??
????-=?
?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位
有效数字。
2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，
f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____，
‖AX ‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =
(x )在有解区间满足 |
’(x )| <1 ，则使用该迭
代函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。
6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商
公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7.
；
8.
拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n
i i x a 0
)( 1 ；所以
当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。
9. 要使
20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。
10. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收
敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是
(B)<1 。
11. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x
1
2
,
y =f (x ) -2 -1 2
12. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
13. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差
r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 14. *
15.
在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )的二阶导数不变号，则初始点x 0
的选取依据为
f(x0)f ”(x0)>0 。
16. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 二、判断题（10×1′）
1、 若A 是n 阶非奇异矩阵，则线性方程组AX ＝b 一定可以使用高斯消元法求解。( × )
2、 解非线性方程f (x )=0的牛顿迭代法在单根x *附近是平方收敛的。 (
)
3、 若A 为n 阶方阵，且其元素满足不等式 )
,...,2,1( 1
n i a a n
i
j j ij ii =≥∑≠=
则解线性方程组AX ＝b 的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 4、 样条插
值
一
种
分
段
插
值
。
(
)
5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )
6、 \
7、
从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍
入
误
差
。
(
)
8、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX ＝b 。 ( × )
9、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭
代
计
算
的
舍
入
误
差
。
( × ) 10、
数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则
是截断误差＝舍入误差。
(
)
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × ) 三、计算题（5×10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
???
??=++-=+--=+-112123454 3
21321321x x x x x x x x x 解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：
{
???
??=++-=+--=+-1124 123453
21321321x x x x x x x x x
L 21=1/5=,l 31=2/5= 方程化为：
???
??=--=+--=+-8.152.06.26.1 0.4 2.0123453
232321x x x x x x x （,）最大元在第三行，交换第二与第三行：
???
??-=+-=--=+-6.1 0.4 2.08.152.06.2123453
232321x x x x x x x L32==,方程化为：
???
??-==--=+-38466.00.38462 8.152.06.2123453
32321x x x x x x
回代得：
???
??-===00010.1 99999.500005.33
21x x x 2、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P 4(x )，并写出其截断误差的表达式(设f (x )在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 x i
@
1 2
f (x i ) 1 -1 3
f ’(x i )
1
\
5
解答： 做差商表 xi F(xi)
F[xi,xi+1] F[++2] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4] 0
;
1
1
-1
-2
!
1 -1 1 3
2
3
4
—
3
2
3
5
1
-2
-1
P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)
^
R4(x)=f(5)()/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)
3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代
法的迭代公式，并简单说明收敛的理由。
解答：
交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优： ]
雅克比迭代公式：
《计算机数学基础(2)》数值分析试题
一、单项选择题(每小题3分，共15分)
1. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝…a n ×10s (a 10)的绝对误差x *－
x ( )．
|
(A) ×10 s －1－
t (B) ×10 s －
t (C) ×10s ＋1－
t (D) ×10 s ＋
t
2. 以下矩阵是严格对角占优矩阵的为( )．
(A) ????
?
????
???------21001210012100
12，
(B)?
?
???
????
???2100141101410125
???????=-+-=-+=+-=+-3 38 4 65 1 2321432431421x x x x x x x x x x x x ??????
?=+-=-+=-+-=+-6
5 8 4 3 3 1
2431432321421x x x x x x x x x x x x ???????=+-=-+=-+-=+-6
5 8 4 3 3 1
2431432321421x x x x x x x x x x x x
(C) ?
?
???????
???--210014121241
0125 (D) ??
???
??
??
???-513114120141112
4 3. 过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数P (x )=( )
(A) ?????≤<+-≤≤+32103201
23
x x x x (B)
??
???≤<+-≤≤+32103201
2
3
2x x x x (C) ?????≤<+-≤≤-3
2103201
23
x x x x (D)
?????≤<+-≤≤+3
24201
2
3
x x x x 4. 等距二点的求导公式是( )
(A) ???????
-='+-='+++)
(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f
(B) ???
????
-='-='+++)
(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f (C) ???
????-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f
(D)
…
5. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是
)(2
1
1c p k y y y +=
+ 那么y p ,y c 分别为( )．
(A) ???+=+=+)
,()
,(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y (B)
????
?+=+=+)
,()
,(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y
(C) ?????+=+=),(),(p k k c
k k k p y x f y y y x f y y (D)
????
?+=+=+),()
,(1p k k c
k k k p y x hf y y y x hf y y 二、填空题(每小题3分，共15分)
6. 设近似值x 1,x 2满足(x 1)=，(x 2)=，那么(x 1x 2)= ．
7. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．
8. 牛顿－科茨求积公式
∑?
=≈n k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，则∑=n
k k A 0
＝ .
9. 解方程f (x )=0的简单迭代法的迭代函数(x )满足在有根区间内 ，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．
《
10. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是
预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ． 三、计算题(每小题15分，共60分)
11. 用简单迭代法求线性方程组
???
??=++=-++=+-36
12363311420238321
321321x x x x x x x x x 的X (3)．取初始值(0,0,0)T ，计算过程保留4位小数．
12. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．
13.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分
?
+3
1
2d 1x x ，计算过程保留4位小数．
14. 用牛顿法求115的近似值，取x =10或11为初始值，计算过程保留4位小数． 四、证明题(本题10分) ! 15. 证明求常微分方程初值问题
??
?=='00
)()
,(y x y y x f y 在等距节点a =x 0 y (x k +1) y k +1=y k + 2 h [f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)] 其中h =x k +1－x k (k =0,1,2,…n －1) 《计算机数学基础(2)》数值分析试题答案 一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1. A 2. B 3. A 4. B 5. D 二、填空题(每小题3分，共15分) ` 6. x 2+ x 1 7. 3次多项式 8. b －a 9. (x ) r <1 10. y k + )],(),([2 11+++k k k k y x f y x f h hf (x k ＋1, 1+k y ) ． 三、计算题(每小题15分，共60分) 11. 写出迭代格式 ?? ???++--=+++-=+-+=+++3025.05.039090.006363.05.225.0375.00)(2)(1)1(3) (3)(1) 1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x X (0)=(0,0,0)T . ?????=++?-?-==+?++?-==+?-?+=3 30025.005.03309090.0006363.05.25.2025.00375.00) 1(3) 1(2)1(1x x x 得到X (1)＝，3，3)T ?????=++?-?-==+?++?-==+?-?+=0 000.130325.05.25.07363.2339090.005.26363.0875.25.2325.03375.00) 2(3) 2(2)2(1x x x 得到X (2)=， 7， 0)T [ ?????=++?-?-==+?++?-==+?-?+=6 971.0307363.225.0875.25.06045.2319090.00875.26363.04136.35.2125.07363.2375.00) 3(3) 3(2)3(1x x x 得到X (3)= 4， 6， 6)T . 12. 计算均差列给出． k x f (x k ) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 \ 0 6 1 10 4 ￥ 3 46 18 14/3 4 82 " 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 ( f (0,1,3,4,6)= 15 1 f (4, 1, 3)=6 13. f (x )=21x +,h =25.08 2 =．分点x 0=，x 1=，x 2=，x 3=，x 4=，x 5=，x 6=，x 7=，x 8=. 函数值：f = 2，f = 8，f = 8，f = 6，f = 1，f = 2，f = 6，f = 2，f = 3． )()([2 d )(803 1 x f x f h x x f +=? ))]()()()()()()((27654321x f x f x f x f x f x f x f +++++++ (9分) = 2 25 .0×[ 2+ 3+2× 8+ 8+ 6 + 1+ 2+ 6+ 2)] =× 5+2× 3)= 1 14. 设x 为所求，即求x 2－115=0的正根．f (x )=x 2－115． ： 因为f (x )=2x ，f (x )=2，f (10)f (10)=(100－115)×2<0，f (11)f (11)=(121－115)×2>0 取x 0=11． 有迭代公式 x k +1=x k －) ()(k k x f x f '=k k k k k x x x x x 2115 221152 + =--(k =0,1,2,…) x 1=11 2115 211?+ ＝ 3 x 2= 3727.102115 23727.10?+＝ 8 x 3= 8 723.102115 28723.10?+＝ 8 x * 8 四、证明题(本题10分) 15. 在子区间[x k +1,x k ]上，对微分方程两边关于x 积分，得 （ y (x k +1)－y (x k )= ? +1 d ))(,(k k x x x x y x f 用求积梯形公式，有 y (x k +1)－y (x k )=))](,())(,([2 11+++k k k k x y x f x y x f h 将y (x k ),y (x k +1)用y k ,y k +1替代，得到 y (x k +1) y k +1=y k + 2 h [f (x k ,y k )+f (x k +1,y k +1)](k =0,1,2,…,n －1) 数值分析期末试题 一、# 二、 填空题（20102=?分） （1)设???? ??????---=283012251 A ，则 =∞A ______13_______。 （2)对于方程组? ??=-=-34101522121x x x x ，Jacobi 迭代法的迭代矩阵是=J B ??? ???05.25.20。 （3) 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的3 1 倍。 （4）求方程)(x f x =根的牛顿迭代公式是) ('1) (1n n n n n x f x f x x x +-- =+。 （5）设1)(3 -+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f 1 。 （6）设n n ?矩阵G 的特征值是n λλλ,,,21 ，则矩阵G 的谱半径=)(G ρi n i λ≤≤1max 。 （7）已知?? ? ? ??=1021A ，则条件数=∞)(A Cond 9 （8）为了提高数值计算精度，当正数x 充分大时,应将)1ln(2-- x x 改写为)1ln(2++-x x 。 （9）n 个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为1-n 次。 、 （10）拟合三点))(,(11x f x ，))(,(22x f x ，))(,(33x f x 的水平直线是)(313 1 ∑==i i x f y 。 三、（10分）证明：方程组??? ??=-+=++=+-1 2112321 321321x x x x x x x x x 使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。 证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为 ?? ??? ?????---=05.05.01015.05.00J B J B 的特征多项式为 )25.1(5.05.011 5 .05.0)det(2+=---=-λλλ λλ λj B I J B 的特征值为01=λ，i 25.12=λ，i 25.13-=λ，故25.1)(=J B ρ＞1，因而迭代法不收 敛性。 四、（10分）定义内积 ? = 1 )()(),(dx x g x f g f 试在{}x Span H ,11=中寻求对于x x f = )(的最佳平方逼近元素)(x p 。 < 解：1)(0≡x ?，x x ≡)(1?， 1),(1 00== ? dx ??，2 1 ),(1 01= = ? xdx ??，3 1 ),(1 211= =? dx x ??，3 2),(1 0= =? dx x f ?， 5 2),(1 1= = ? dx x x f ?。 法方程 ???? ??????= ??????????? ?? ???5232312 1211 10c c 解得1540= c ，15 121=c 。所求的最佳平方逼近元素为 x x p 15 12 154)(+=，10≤≤x 五、（10分）给定数据表 试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。 , 解:3 32210)(x c x c x c c x y +++= ????? ?? ?????????----=84211111000111118421A ， ????? ? ??????= 130034003401034010001005A A T T T y A )4.14,7,2.4,9.2(= 法方程 y A Ac A T T = 的解为4086.00=c ，39167.01=c ，0857.02=c ，00833.03=c 得到三次多项式 3200833.00857.039167.04086.0)(x x x x y +++= 误差平方和为000194.03=σ 五. (10分) 依据如下函数值表 【 建立不超过三次的Lagrange 插值多项式，用它计算)2.2(f ，并在假设1)()4(≤x f 下，估计计算误差。 解:先计算插值基函数 147 8781)40)(20)(10()4)(2)(1()(230+-+-=------= x x x x x x x l x x x x x x x l 38 231)41)(21)(01()4)(2)(0()(231+-=------= x x x x x x x l -+-=------= 2324 5 41)42)(12)(02()4)(1)(0()( x x x x x x x l 12 1 81241)24)(14)(04()2)(1)(0()(233+-=------= 所求Lagrange 插值多项式为 12 1 445411)(3)(23)(9)()()()(2332103 03+-+- =+++==∑=x x x x l x l x l x l x l x f x L i i i 从而0683.25)2.2()2.2(3=≈L f 。 据误差公式))()()((! 4) ()(3210)4(3x x x x x x x x f x R ----= ξ及假设1)()4(≤x f 得误差估计： 0396.09504.0! 41 )42.2)(22.2)(12.2)(02.2(! 4)()()4(3=?≤ ----= ξf x R 、 六. (10分) 用矩阵的直接三角分解法解方程组 ? ? ??? ? ??????=????????????????????????71735 3010 3421101002014321x x x x 解 设 ????? ?????? ???????? ?????=????????????443433 24232243 42 41 3231 2102011111 3010342110100201u u u u u u l l l l l l 由矩阵乘法可求出ij u 和ij l ????? ???????=????????? ???1010121101111143 42 41 323121 l l l l l l ????? ? ??????=????????? ?? ?2121010201020 1443433 242322 u u u u u u 解下三角方程组 ????? ???????=????????????????????????7173510101211014321y y y y 有51=y ，32=y ，63=y ，44=y 。再解上三角方程组 · ? ???? ???????=????????????????????????463521************x x x x 得原方程组的解为11=x ，12=x ，23=x ，24=x 。 七. (10分) 试用Simpson 公式计算积分 dx e x ? 2 1 1 的近似值, 并估计截断误差。 解： 0263.2)4(61 221 5.112 1 1 =++-≈? e e e dx e x x e x x x x f 1 5678) 4()2436121(+++= 43.198)1()(max )4()4(2 1==≤≤f x f x 截断误差为 ￥ 06890.0)(max 2880)12()4(2 15 2=-≤≤≤x f R x 八. (10分) 用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求 81 10--<-k k k x x x 。 解：此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。设 2ln )(--=x x x f 则 x x f 11)('- =， 21 )(''x x f = Newton 法迭代公式为 1) ln 1(112ln 1-+= - --- =+k k k k k k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s 。 九. (10分) 给定数表 求次数不高于5的多项式)(5x H ，使其满足条件 ???====2 ,0 ),()(3 ,2 ,1 ,0 ),()(' 55i x f x H i x f x H i i i i 其中,1i x i +-= 3 ,2 ,1 ,0=i 。 解：先建立满足条件 )()(3i x f x p =， 3,2,1,0=i 的三次插值多项式)(3x p 。采用Newton 插值多项式 [][]))((,,)(,)()(1021001003x x x x x x x f x x x x f x f x p --+-+=+ []))()((,,,2103210x x x x x x x x x x f --- )1()1(61 )1()1(410-+-+-++=x x x x x x 326 1 61914x x x --+ = 再设 )2)(1()1)(()()(35--+++=x x x x b ax x p x H ，由 ???=-++==-+-+-=-1.0)2)(()1()1(1 )6)(()1()1(' 3'5 ' 3'5b a p H b a p H 得 ?? ??? = +=+-6017811b a b a 解得36059- =a ，360 161 =b 。 故所求的插值多项式 )2)(1()59161(360 1 6161914)(2325---+--+ =x x x x x x x x H 第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+< 第一章绪论 习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。 解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有 已知x*的相对误差满足，而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限 有２位有效数字， 有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2） 解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限 ，因, 故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令 因?得 3. 若,求和. 解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则 第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??== 数值分析 第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证： （1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q (1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= -- 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c 第一章 绪 论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 数值分析第四版习题及答案 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能 使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； ()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ 500 .0105.0102.0||3412≈*? 第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快. 第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。 第一章 绪论 p19 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7．求方程2 5610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982 =）。 解：2 5610x x -+= ， 故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ？ 解：正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章 插值法p48 1．当1,1,2 x =-时，()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知， 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数 字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.最新第六章习题答案-数值分析
数值分析习题与答案
数值分析第4章答案
最新应用数值分析第四版第一章课后作业答案
数值分析课后题答案
数值分析第四章数值积分与数值微分习题答案
应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章
数值分析第五版全答案chap1
数值分析第四版习题及答案
第六章习题答案数值分析.docx
数值分析第四版习题及答案
数值分析第四版习题及答案
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
数值计算第四章课后习题答案
数值分析 第六章 习题
第六章非线性方程的数值解法习题解答
数值分析第五版答案
数值分析第四版习题及答案