高中数学高一(上册)复习资料全

第一章 集合与简易逻辑

一、集合： 1. 集合的定义： 集合的表示方法：

数集：*,,,,,N N Z Q R C (复数集)

集合的特性： 2. 元素与集合的关系： 集合与集合的关系：

空集是任何集合的__________，是任何非空集合的_______________。 任何一个集合都是他自身的____________。

集合{123,,,,n a a a a L } 的子集个数有____个，真子集有____个，非空真子集有____个。 当A B ?时，一般要分A =?与A ≠?两种情况。 3. 交集是指A 与B 中公共元素构成的集合，A ∩B={x| } 并集是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，A ∪B={x| } 一般采用画出数轴来求两个集合的交集或并集。

有关系式：①若A ∩B=A ，则____________；②若A ∪B=A ，则_____________；

③()()U U C A C B =∩

__________ 、()()U U C A C B =∪____________。 二、不等式解法：

①||(0)ax b m m m ax b m +<>?-<+< ②||(0)ax b m m ax b m ax b m +>>?+>+<-或

③||||||ax b n

n ax b m ax b m +>?<+

+

2. 二次不等式：220(0)ax bx c ax bx c ++>++<与二次函数2y ax bx c =++

0()()0ax b

ax b cx d cx d +>?++>+

()()000ax b cx d ax b cx d cx d ++≤?+≤??+≠+?

形如

x a

c x b

+>+类型的可移项

0x a c x b +->+化简来解。 4. 简单高次不等式：利用数轴标根法求解集。

5. 指数不等式：()()f x g x a a >?

01,__________1,___________

a a <<>①时②时

6. 对数不等式：log ()log ()a a f x g x <可转化为不等式组

①当01a <<时，______________________??? ；当1a >时，______________________???

。

解指数不等式，对数不等式时，必须考察函数的单调性问题，特别注意不能忽视了对

数的真数必须大于0，不等式的解集必须用集合或区间表示出来。 三、逻辑联结词：或（并集）、且（交集）、非（补集） 1. 命题可分为真命题、假命题，也可以分为简单命题、复合命题。 复合命题形式有“p 或q ”，“p 且q ”，“非p ”三种形式。

① 原命题为真，则其逆命题与否命题不一定为真，而其逆否命题一定为真。 ② 互为逆否命题的真假相同，逆命题与否命题的真假相同。 4. 充要条件：

①若A B ?但B A ，则A 是B 的___________条件。 ②若A B 但B A ?，则A 是B 的___________条件。 ③若A B ?，则A 是B 的___________条件。

④若A B 且B A ，则A 是B 的___________条件。 四、恒成立问题：

1. 20ax bx c ++>恒成立，可令2()f x ax bx c =++，函数图象恒在x 轴上方。

等价于：000a b c =??

=??>?

①

00

a >???

b

c =??

=??

①

00a

②

例：已知不等式22(1)2(1)30a x a x ----<恒成立（或解集为R ），求a 的取值范围。

第二章 函数

一、函数()y f x =及有关性质。 1. 函数定义：

()y f x =中，自变量x 的取值范围为函数的定义域。当x a =时，()y f a =叫函数值。

所有函数值的集合叫做函数的值域。

2. 映射的定义： :f A B →

两个允许： 两个不允许： 3. 同一函数：①_______相同。②_________相同。③值域相同。（可由①②得③） 4. 函数定义域求法：使函数有意义的条件。

①整式函数（一次函数、二次函数）定义域为R 。 ②分式函数的分母不为0。

③偶次根式函数，被开放数大于或等于0。

()0f x >）

④对数函数的底数大于0且不等于1，真数大于0。 有多个限制条件的转化为不等式组求定义域。 5.函数的单调性：①定义： ②逆运用：

当()y f x =在区间[m ，n]上为增函数时，若[()][()]f x f g x ?>则有：()()()()x g x x n g x m ??>??

≤??≥?

当()y f x =在区间[m ，n]上为减函数时，若[()][()]f x f g x ?>则有：()()()()x g x x m g x n ??

≥??≤?

③常用函数的单调性：

Ⅰ.一次函数y kx b =+，当0k >时为增函数；当0k <时为减函数。 Ⅱ.二次函数2y ax bx c =++，当0a >时在(,]2b a -∞-为减函数；在[,)2b

a

-+∞为增函数。当0a >时在(,]2b a -∞-

为增函数；在[,)2b

a

-+∞为减函数。与开口方向和对称轴有关。

Ⅲ.反比例函数1y x =

在()(),00-∞+∞与，上均为减函数；1

y x

=-在()(),00-∞+∞与，

上均为增函数。 Ⅳ.x

y a = ()01a a >≠且，当01a <<时为减函数；当1a >时为增函数。

Ⅴ.log a y x = ()01a a >≠且，01a <<时，在()0,+∞上为减函数；当1a >时，在

()0,+∞上为增函数。

6.反函数：求函数()y f x =的反函数的方法： （1） 先根据原函数的定义域求出其值域 （2） 由()y f x =解出()x y ?=

（3） 将()x y ?=中的,x y 互换，即得反函数1

()y f x -=标明定义域

有关性质：（1） 原函数()y f x =与反函数1

()y f

x -=的定义域和值域正好互换，原

函数过点(),a b ，则反函数过点(),b a 。

（2） 互为反函数的图象关于y x =成轴对称图形。

（3） 原函数与反函数的单调性相同。

7.函数得奇偶性：存在奇偶性得条件时定义域必须关于原点对称，在定义域内，将

x x -换成后（1）若()()f x f x -=，则()y f x =为偶函数。（2）若()()f x f x -=-，

则()y f x =为奇函数。

有关性质：（1） 偶函数得图象关于y 轴对称，在对称区间上的单调性相反。 （2） 奇函数得图象关于原点对称，在对称区间上的单调性相同。 8.求函数值域的基本方法

（1） 利用函数的单调性求值域：若()y f x =在[],m n 上为增函数则其值域为

[](),()f m f n

若()y f x =在[],m n 上为减函数则其值域为[](),()f n f m 。

（2）配方法：二次函数2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++ ()x R ∈ 当0a >时，有最小值2

44ac b a -，值域为244ac b a ??-+∞????

，；

当0a <时，有最大值244ac b a -，24,4ac b a ??

--∞????

。

（3）反表示法：即利用反函数的定义域既为原函数的值域。例如：求21

21

x x y +=-的值域。

（4）换原法： 还原注意新元素的范围。 例如：求y x =

（5）判别式法：形如：2111

2a x b x c y ax bx c

++=++类型，可转化为关于x 的一元二次方程有解，

0?≥ 求值域。

（6）图象法。

9.周期性：若函数()y f x =对于最小正周期T ，使()()f x T f x +=，则称T 为函数

()y f x =的最小正周期。

10.对称性：若()()f t x f t x +=-则称x t =为()y f x =的对称轴 二、指数函数与对数函数 （一） 指数

1

=

= p

a

-= =1p

a ??

???

运算法则：m

n

a a ?= m n a a

= ()n

m a = ()m ab =

m

a b ??= ?

??

n =

= 2 指数函数的图象和性质：x

y a = ()01a a >≠且

3 指数方程：（1）()

()()()f x g x a

a f x g x =?= （化成底数相等）

（2）2

()0x x

a ma n ++= 可换元后求解，令x

t a = (0)t >

4 指数复合函数的单调性：()

u x y a

=

（1）01a <<时，()

()u x y a u x =与的单调性相反

（2）1a >时，()

()u x y a

u x =与的单调性相同（一致）

（二） 对数函数

1 对数式与指数式互化：log b a a N N b =?=；log 1a = log a a = log n

a a =

2 对数的运算法则：log log a a M N += log log a a M N -=

log n

a M =

log a

=

对数恒等式：log a N

a

=

换底公式：()

()log log lg c a b

b a

=

=

log

m

a b = 1

1

log a

b

= ()

1

log a b =

3 对数函数log a y x = ()01a a >≠且的图象和性质

（1） 当a 与b 都大于1或都小于1时，log 0a b > （2） 当a 与b 一个大于1另一个小于1时，log 0a b <

4 对数方程：()()

log ()log ()()0()0a a f x g x f x g x f x g x =??

=?>??>?

5 对数函数复合形式的单调性：log ()()0a y u x u x =>在的定义域内 （1）01a <<时，log ()()a y u x u x =与的单调性相反， （2）1a >时，log ()()a y u x u x =与的单调性相同。

三 二次函数2

y ax bx c =++ ()0a ≠，判别式2

4b ac ?=-

1 2

y ax bx c =++与x 轴的交点个数：（1）0?>，有 个交点（2）0?=，有 个交点，（3）0?<，无交点。

当0?≥时，方程2

0ax bx c ++=有两个实根：12,x x 。则由韦达定理（根与系数的关

系）知：12x x += ，12x x =

2 一元二次方程2

0ax bx c ++=实根问题（以0a >为例）

（1） 有两正根12120

00x x x x >??

?+>???≥? 00??

? ???≥ ??? ?? ?? ?

>???

或f(0)>0b -2a

（2） 有两个负根12120

00x x x x >??

?+

或f(0)>0b -2a

（3） 有一正一负的根120

0x x

((0)0)f <或

3 2

0ax bx c ++=(0a >)区间根问题

x

象

4 二次函数2

()f x ax bx c =++ (0a >)在区间[],m n 内的最值 问题: (1)当2b

m a

-

≤时,函数在[],m n 上为增函数。min ()y f m =,max ()y f n =; (2)当22b m n m a +<-≤时。min ()2b

y f a =-,max ()y f n =;

(3)当22m n b n a +<-≤时。min ()2b y f a =-,max ()y f m =;

(4)当2b

n a

->时, 函数在[],m n 上为减函数。min ()y f n =，max ()y f m =。

例:已知2

2

()32(1)f x x a x a =+-+在[]1,1x ∈-上的最小值为13,求a 的值.

解

:

2

2

2

222

22

1()32(1)3

1441

(1)4332213280(1)13

124

11

24243(2)(1)2(1)14520013()133331(3)a f x x a x a x a a a a a a a a f a a a a a a a a a a a a f φ-=+-+=

-≥≥≤-???=-++=--=-=--<<-<<-<<-<

?????????????????????????Q 的对称轴为或2

22221

1332213212011(1)13

a a a a a a a a a a f ≤-≤-≤-≥????=-+-+=+-==-=?????

?????????或

综上所述:满足条件的4a =或1a =-- 四 图象变换，设0,0a b >> 1.平移：

()(),()()a a y f x y f x a y f x y f x a =??????→=-=??????→=+向右平移个单位向左平移个单位

2.()(),()()b y f x y f x b y f x y f x b =??????

→=+=??????→=-向上平移b 个单位

向下平移个单位

3.对称：()(),()()x y y f x y f x y f x y f x =????

?→=-=?????→=-关于轴对称

关于轴对称

()()y f x y f x =?????

→=--关于原点对称

4.()()x y f x y f x =????????????→=保留轴上方的图象，把下方图象对称到上方

()()y f x y f x =??????????→=关于y 轴对称，保留y 轴右边的图象

五 复合函数：

1 若函数(),()y f t t x ?==，则称[]()y f

x ?=为关于x 的复合函数。

（1）()t x ?=为内函数，()y f t =为外函数。 （2）()t x ?=的值域，既为()y f x =的定义域。 2 已知[]()y f

x ?=的表达式，求()y f x =的表达式，可采用换元或凑项的方法。

例：已知函数1)f x =+，求()f x

(法一)：令1t =

1t =-，()2

1x t =-

()()2

2()1211,1f t t t t ∴=-+-=--2既f(x)=x

（法二）：)

2

1)11f x =+=-Q 1x 换成

2()1f x x ∴

=-

3已知[]()y f

x ?=的定义域，求()y f x =的定义域

例 已知[]2

(2)1,3y f x =-∈的定义域为x ，求()y f x =的定义域

解：Q []2

(2)1,3y f x =-∈的定义域为x ，令[]2

2,t x =-∈则值域为t -1,7 将[]()t y f x ∴=换成x ，的定义域为-1，7。 4 复合函数的单调性规律

第三章 数列

一、数列的基本知识： 1.数列的定义：

2.数列的基本表示方法：123,,n a a a a ……

3.通项公式：()n a f n =，用含有n 的代数式表示n a 。

4.数列{}n a 的前n 项和123(1)n n S a a a a n =++++≥…， 11231(2)n n S a a a a n --=++++≥…，11S a = 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求n a 的方法： ①n=1时，11a S =；②2n ≥时，1n n n a S S -=-

验证，11a S =是否适合n a ，

若适合，则1n n n a S S -=-；若不适合，则11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥? 也可以判断0S 是否等于0，若00S =则1n n n a S S -=-；若00S ≠，11(1)

(2)n n

n S n a S S n -=?=?-≥?

二、等差数列{}n a 1.定义：

即：1(2)n n a a d n --=≥，首项为1a ，公差d 。

2.通项公式：n a = = （关于n 的一次函数）

前n 项和公式：n S = = = （关于n 的二次函数，不含常数项）可化为2n S an bn =+。 3.等差数列的性质：①()n m a a n m d =+-

②若m+n=p+q ，则： 若m+n=2k ，则：

2

n k n k

n a a a -++=

③232,,k k k k k S S S S S --仍成等差数列

④若10,0a d ><，则数列{}n a 为_______________数列。前n 项和有_______值。 满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求）

若10,0a d <>，则数列{}n a 为_______________数列。前n 项和有_______值。 满足: ，找分界项。（也可以用二次函数特点求） 例：已知等差数列{}n a 的首项为31，公差为-4，求n S 的最大值。 ⑤若等差数列{}n a 共有2n+1项，则1211(1)()

____2

n n n a a S a ++++==奇，

221()

____2

n n n a a S a ++=

=偶，______S S ∴-=奇偶 1211(21)()

____2

n n n a a S a ++++==2n+1。

三、等比数列{}n a 。 1.定义： 即：

1

n

n a q a -=，首项1a ，公比为q （q ≠0）

。 2.通项公式：n a =

前n 项和公式：n S = = ；当q=1时，1n S na =。 3.等差数列的性质：①n m n m a a q -=

②若m+n=p+q ，则： 若m+n=2k ，则： ③232,,k k k k k S S S S S --仍成等比数列

四、数列求和方法：

1.特殊数列求和：①等差数列求和；②等比数列求和；③常数数列求和；

2.分组求和法：一般可转化为等差数列，等比数列求和。通项结构n n n c a b =+

例：求1111

12324

82

n n

++++L 的和。 3.裂项求和法：

例：求

1111

122334(1)

n n ++++

???+L 的和。 4.错位相减法：（q 倍求和法）通项结构n n n c a b =? 例：求231232222

n n

++++L 的和。