计算方法在数学建模中的应用

计算方法在数学建模中的应用

王连堂

西北大学数学系

E-mail：wlt800@https://www.360docs.net/doc/9b6782121.html,。

计算方法又称“数值分析”，是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。计算方法在数学建模中有很广泛的应用，特别是处理具有大规模数据的数学建模问题。其中应用最多的是误差分析，数值逼近以及数值积分等。在历年的全国大学生数学建模竞赛(CUMCM)赛题之中，有很多都用到了计算方法，其中以数据拟合方法用得最多，其次就是数值积分方法。下面分别对这些方法进行介绍，并通过几个赛题来熟悉这些方法的具体应用。

计算方法在数学建模中的应用

数据拟合1、数据拟合

在科学试验的统计研究中，往往要从一组测定数据(x i , y i )(i =1,2,…,n )中求出自变量x 与因变量y 之间的近似函数关系式，而这些数据本身具有一定误差而且其数量可能很大，因此不能要求函数关系是满足所有的点，而只是要求其能反映这些实验数据的大体规律或趋势。

对于给定的一组数据(x i , y i )，求一个k 次多项式：

,

2210k

k x a x a x a a y ++++=L

数据拟合

应用最小二乘法，使

取最小。对上式各参变量求偏导数后，令其偏导数为0，就得到了以下线性方程组

从该线性方程组中求解出系数a j (j =1,2,…,k )之后，就可以写出拟合的多项式。

,)]([),,,(12

2

21010∑=++++?=n

i k i k i i i k x a x a x a a y a a a Q L L .,,2,1 ,)(1110k j x y x x a x a a j i

n

i i n i j i k i k i L L ==+++∑∑==

一元多项式拟合示意图(其中粗线为二次拟合曲线，细线

为四次拟合曲线)

有时还会采用三角函数，指数函数等来拟合。一般来说，多项式函数拟合的性态更易描述，而且误差分析较为简单。

数据拟合

例1：CUMCM1992A题施肥效果分析

某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)，磷(P)，钾(K)。某作物研究所在该地区对土豆作了一定数量的实验，实验数据如下页表格所示，其中ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另二个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如土豆产量关于N的施肥量做实验时，P与K的施肥量分别取为195kg/ha 与372kg/ha。

试分析施肥量与生产量之间的关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估价。

CUMCM1992A题施肥效果分析

CUMCM1992A题施肥效果分析

问题的分析和求解

要寻求施肥量与产量之间的关系，最直接的办法就是通过测量数据拟合出其近似关系式。为了减少舍入误差，不妨将施肥量用10 kg/ha的单位来记，这样使得施肥量和产量数字在同一个量级上。首先将各类肥料的施肥量与产量之间对应的散点关系表示在图中，不难看出N肥的施肥量与产量之间存在二次函数关系，设x表示施肥量，y表示产量，建立模型：

2,

=++

y ax bx c

CUMCM1992A题施肥效果分析

然后应用最小二乘法，令

取最小，其中为x i 施肥量，y i 为产量，n 为样本个数。对上式各参变量求偏导数后，令其偏导数为0，就得到了关于a ,b ,c 的线性方程组从中求出这三个系数，进而写出其近似关系式。可以用matlab 软件的polyfit 命令或者mathematics 软件的fit 命令来求出对应的系数。

,)]([12

2

∑=++?=n

i i i i c bx ax y Q .

2,1,0,)]([112==++∑∑==j x y c bx ax x j i n

i i n i i i j i CUMCM1992A 题施肥效果分析

N肥关系式：

N肥施肥效果关系图

7416 .

14

9715

.1

0340

.0

)

(2

1+

+

?

=x

x

x

f

CUMCM1992A题施肥效果分析

类似的可以得到，P 肥关系式：

P 肥施肥效果关系图

0048.321407.10468.00006.0)(2

32++?=x x x x f CUMCM1992A 题施肥效果分析

以及K 肥关系式：

K 肥施肥效果关系图

5490.206847.10454.00004.0)(2

33++?=x x x x f CUMCM1992A 题施肥效果分析

以上结果从数据的分布情况得出的，但根据实际情况，并非施肥量越多，作物的产量就越高。施肥量过高时会导致土壤中溶液浓度过高而导致“烧苗”现象。N 肥的关系式体现出了这一点，但是P 肥和K 肥的关系式则没有体现出这一现象，因此对于P 肥和K 肥也可以利用二次函数进行数据拟合，其拟合结果为：

在实际工作中，三种肥料除了与产量有直接关系外，还有彼此之间的交互关系，因此要准确研究施肥量与产量的关系，还需进一步考虑到几种肥料之间的交互作用。

,

7375.326590.00108.0)( P 2

2++?=x x x f 肥：.4144.247500.00070.0)( K 23++?=x x x f 肥： CUMCM1992A 题施肥效果分析

例2：CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理

电网中每条线路上的有功潮流(输电功率和方向)取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度。如果各机组出力分配方案使某条线路上发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理

CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理

CUMCM2004B题电力市场的输电阻塞管理

问题的分析和求解

题目中给出了0-32号方案中各条线路上有功潮流与各个发电机组的出力，由这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式，最简单而常用的方法是建立它们之间的线性表达式。因而可以用这些数据直接拟合出各线路的有功潮流关于每个发电机组出力的线性函数关系式。不妨令

其中i =1,2,3,4,5,6。

CUMCM2004B 题电力市场的输电阻塞管理

01122334455667788,i i i i i i i i i i i i i i i i i i y a a x a x a x a x a x a x a x a x =++++++++

根据表一和表二中给出的0-32号方案中各条线路上有功潮流与各个发电机组的出力，用最小二乘法，求拟合函数中的54个系数，归结为以下最小化问题：

对上式各参变量求偏导数后，令其偏导数为，就得到了以下线性方程组：

CUMCM2004B 题电力市场的输电阻塞管理

328

2

00min ((), (=1,2,,6).i ij ijk ik k j Q a x y i ===?∑∑L 12

122

832321000(=0,1,,8)()(=1,2,,6)., ij ij ij ik ij k j k k k k j x x a y

x i ====∑∑∑L L

求解以上方程组，得到系数a ij 的值。进而就得到了各线路上的潮流与各机组出力的近似线性关系式为：

CUMCM2004B 题电力市场的输电阻塞管理

112345

678212345

67831 0.08260.04780.05280.1199-0.0257 0.12160.1220-0.0015110.4775;

-0.05470.1275-0.00010.03320.0867 -0.1127-0.01860.0985131.3521;

0.0694-0.06y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x =++++++=+++++=2345

678412345

6785123200.15650.0099-0.1247 -0.00240.00280.2012108.9928;

-0.0346-0.10280.2050-0.0209-0.0120 0.00570.14520.076377.6116;

0.00030.2428-0.0647-0.041x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x +++++=+++++=+45

678612345

6782-0.0655 0.0700-0.0039-0.0092133.1334;

0.2376-0.0607-0.07810.09290.0466 -0.00030.16640.0004120.8481.

x x x x x y x x x x x x x x ++=+++++