深圳市必修第二册第五单元《概率》测试卷(包含答案解析)

一、选择题

1．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(,2)p p +称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（ ）． A ．

23

B ．

34

C ．

45

D ．

56

2．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：

其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；

100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）

A ．35

B ．1180

C ．119

D ．56

3．某次战役中，狙击手A 受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A 至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ） A ．0.23

B ．0.2

C ．0.16

D ．0.1

4．一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率依次为1

2，13，14

，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ）

A ．

1

24 B ．

1124

C ．1724

D ．1

5．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a ，则函数()2

24

f x x ax =++至多有一个零点的概率为（ ） A ．

13

B ．

12

C ．

23

D ．

56

6．设两个独立事件A 和B 同时不发生的概率是p ,A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同,则事件A 发生的概率为( )

A ．2p

B ．

2

p C ．1 D ．17．排球比赛的规则是5局3胜制(无平局),在某次排球比赛中,甲队在每局比赛中获胜的概率都相等,均为2

3

,前2局中乙队以2:0领先,则最后乙队获胜的概率是( ) A ．

49 B ．

1927

C ．

1127

D ．

4081

8．将－颗骰子先后投掷两次分别得到点数,a b ，则关于,x y 方程组22

80

40ax by x y +-=??+-=?

，有实数解的概率为（ ）

A ．

29

B ．

79

C ．

736

D ．

936

9．从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是（ ） A ．①

B ．②④

C ．③

D ．①③

10．“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设

李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =；同时，有

n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1.现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，若

21P P ≥，则

n 的最小值是( ) A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

11．口袋内有一些大小相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（ ） A ．0.7

B ．0.5

C ．0.3

D ．0.6

12．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ） A ．

1

6

B ．

13

C ．

15

D ．

25

13．某班级举办投篮比赛，每人投篮两次.若小明每次投篮命中的概率都是0.6，则他至少投中一次的概率为（ ） A ．0.24

B ．0.36

C ．0.6

D ．0.84

二、解答题

14．袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中黑球2个、白球2个、红球2个，规定取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，取出一个红球记2分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3个球，规定取出球的总积分多者获胜.

（1）求甲、乙成平局的概率；

（2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.

15．海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测． 地区 A B C 数量/件

50

150

100

（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

16．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱. （1）摸出的3个球为白球的概率是多少？

（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？

17．为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间（2x s -，2x s +）之外，则认为该零件属“不合格”的零件，其中x ，s ，分别为样本平均数和样本标准差，计算可得：15s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（1）若一个零件的尺寸是97cm ，试判断该零件是否属于“不合格”的零件；

（2）工厂利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，标上记号，并从这6个零件中再抽取2个，求再次抽取的2个零件中恰有1个尺寸不超过50cm 的概率. 18．某企业员工x 人参加“抗疫”宣传活动，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）上表是年龄的频数分布表，结合此表与频率分布直方图，求正整数x，a，b的值；

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，根据频率分布直方图估计该企业

员工的平均年龄；

（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，并且在第3组抽

的人（其中一人叫甲）中再选出两人做演讲活动，求甲被选中的概率.

19．5月4日，修水第二届“放肆青春放肆跑”全民健身彩跑活动在信华城举行，全程约

5.4km，共有2500余名参与者.某单位为了解员工参加彩跑活动是否与性别有关，从单位

随机抽取30名员工进行问卷调查，得到了如下22

?列联表：

男性女性合计参加10

没参加8

合计30

已知在这30人中随机抽取1人抽到参加彩跑活动的员工的概率是

8 15

.

（1）完成答题卡上的22

?列联表，并判断能否有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关？

（2）已知参加彩跑的女性中共有4人跑完了全程，若从参加彩跑的6名女性中任选两人，求选出的两人均跑完了全程的概率.

附：

()

()()()()

2

2

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n a b c d

=+++.

()

2

P K k

≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828

20．某企业为了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作

了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了9个数据作为样本，得到如图

所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过40（分钟），则称这个工人为优秀员工．

（1）求这个样本数据的中位数和众数；

（2）从样本数据用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个，求至少有一个工人是优秀员

工的概率．

21．有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100

分），按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布

直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在[60，

70），[90，100]的数据）．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；

（2）从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加校数学竞赛，求所

抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率；

（3）分数在[80，100]的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女

生的概率．

22．北京市政府为做好APEC会议接待服务工作，对可能遭受污染的某海产品在进入餐饮

区前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知该海产品第一

轮检测不合格的概率为1

6

，第二轮检测不合格的概率为

1

10

，两轮检测是否合格相互没有影

响.

（1）求该海产品不能销售的概率.

（2）如果该海产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果该海产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）.已知一箱中有该海产品4件，记一箱该海产品获利X 元，求X的分布列，并求出数学期望()

E X.

23．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共

鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为4

5

，女生认为《少年的你》值得看的概

率为3

4

，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）

（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；

（2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望. 24．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：

（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；

（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；

（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读时间在7590之间的概率．

25．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．

（1）求抽取的学生身高在[120，130）内的人数；

（2）若采用分层抽样的方法从身高在[120，130），[130，140），[140，150]内的学生中共抽取6人，再从中选取2人，求身高在[120，130）和[130，140）内各1人的概率．

26．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7

组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中a的值；

（2）由频率分布直方图；

（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

【分析】

列举出30以内的素数组成的孪生素数对有4个，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有3个，由此能求了这对孪生素数的积超过20的概率.

【详解】

30以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数n=4，

这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共3个，

所以这对孪生素数的积超过20的概率为

3

4 p=，

故选：B

【点睛】

本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.

2．A

解析：A

【分析】

根据互斥事件的和的概率公式求解即可.

【详解】

由表知空气质量为优的概率是

1 10

，

由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，

所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率

113

1025

P=+=，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.

3．A

解析：A

【解析】

A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.20.40.1

、、,未命中敌机的概率为0.3,且各次射击相互独立，若A射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为

0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中利敌机的机首，概率为

0.20.20.04

?=；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为

0.90.1?0.09

?=,若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.1?0.04?0.09?0.23

++= ,故选A.

4．B

解析：B

根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A 解出而其余两人没有解出，一是B 解出而其余两人没有解出，一是C 解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解. 【详解】

()()()

12311312111

23423423424

P P ABC P ABC P ABC =++=??+??+??=.

故选：B 【点睛】

本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.

5．A

解析：A 【分析】

由函数()f x 至多有一个零点，求得22a -≤≤，得到a 的取值有1，2，共2个可能结果，结合古典概型及概率的计算公式，即可求解. 【详解】

由题意，抛掷一枚质地的均匀的骰子，正面向上的点数包含6个可能结果，

又由函数()2

24f x x ax =++至多有一个零点，则24160a ?=-≤，解得22a -≤≤，

又因为a 为正整数，故a 的取值有1，2，共2个可能结果， 所以函数()2

24f x x ax =++至多有一个零点的概率为

13

. 故选：A . 【点睛】

本题主要考查的是古典概型及其概率计算公式，解题时准确找出试验包含的基本事件的个数，求得函数至多一个零点所包含的的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

6．C

解析：C 【分析】

利用A 发生B 不发生与A 不发生B 发生的概率相同，事件A 和B 同时不发生的概率是p ，建立方程，即可求得事件A 发生的概率． 【详解】

根据题意设事件A 发生的概率为a ，事件B 发生的概率为b ， 则有(1)(1)(1)(1)a b p a b a b --=??

-=-?①

②

由②知a b =，代入①

得1a =

【点睛】

本题主要考查相互独立事件的概率的计算，解题的关键是正确理解题意，列出方程，属于中档题.

7．B

解析：B 【分析】

最后乙队获胜的概率含3种情况：第三局乙胜，第三局甲胜第四局乙胜，第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜，由此能求出最后乙队获胜的概率． 【详解】

最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜，其概率为13

； 第三局甲胜，第四局乙胜，其概率为

212339

?=； 第三局和第四局都是甲胜，第五局乙胜2

2143327???= ???

；

故最后乙队获胜的概率12419

392727

P =++=， 故选：B . 【点睛】

本题主要考查概率的求法，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用，属于中档题．

8．B

解析：B 【分析】

利用圆心到直线的距离不大于半径可得,a b 的不等式关系，从而得到方程组有解的(),a b 个数，利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】

因为方程组22

8040

ax by x y +-=??+-=?有解，故直线80ax by +-=与圆22

4x y +=有公共点，

2≤即2216a b +≥，

当1a =时，4,5,6b =，有3种情形；

当2a =时，4,5,6b =，有3种情形； 当3a =时，3,4,5,6b =，有4种情形； 当4,5,6a =时，1,2,3,4,5,6b =，有18种情形；

故方程有解有28种情形，而(),a b 共有36种不同的情形，故所求的概率为287369

=. 故选：B. 【点睛】

古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时可采用枚举法、树形图等帮助计数（个数较少时），也可以利用排列组合的方法来计数（个数较大时）.

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

依照对立事件的概念，依次判断即可． 【详解】

∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件，

在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选C ． 【点睛】

本题主要考查对立事件的概念，意在考查学生的数学抽象能力．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，则021(0.9)n n P C =-，由21P P ，得10.9

0.3n -， 由此能求出n 的最小值． 【详解】

李某智商较高，他独自一人解决项目M 的概率为10.3P =，

有n 个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M 的概率都是0.1， 现在李某单独研究项目M ，且这n 个人组成的团队也同时研究M ， 设这个n 人团队解决项目M 的概率为2P ，

则0

21(0.9)n n

P C =-， 21P P ，10.9

0.3n

∴-， 解得4n ≥．

n ∴的最小值是4．

故选B ．

本题考查实数的最小值的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率的计算

公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

11．A

解析：A 【分析】

设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ，求出

()P B 、(C)P 的值，相加即可求解．

【详解】

设摸出红球的概率为()P A ，摸出黄球的概率是()P B ，摸出白球的概率为(C)P ， 所以()()0.4,()()0.9P A P B P A P C +=+=，且()()()1P A P B P C ++=， 所以()1()()0.6P C P A P B =--=，()1()()0.1P B P A P C =--=， 所以()()0.7P B P C += 【点睛】

本题主要考查了互斥事件的概率加法公式的应用，其中解答中熟记互斥事件的概率加法公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

12．B

解析：B 【分析】

本题可以先算出在六个手套中取回两个有多少种可能，再计算出事件A 中有多少种可能，最后得出结果． 【详解】

分别设3双手套为：121212a a b b c c 、、，111a b c 、、分别代表左手手套，222a b c 、、分别代表右手手套；

从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：

n 6636=?=，共有36个基本事件；

事件A 包含：()()()()()122112212112a b b a a c c a a b b a ，、，、，、，、，、，、

()()()()()()211212212112a c c a b c c b b c c b ，、，、，、，、，、，一共12个基本事件，

故事件A 的概率为()121

P 363

A ==，故选

B ． 【点睛】

在计算过程中，一定要注意左右手的手套是不一样的．

13．D

解析：D 【分析】

先求出对立事件：一次都未投中的概率，然后可得结论．

由题意小明每次投篮不中的概率是10.60.4-=，再次投篮都不中的概率是20.40.16=， ∴他再次投篮至少投中一次的概率为10.160.84-=． 故选：D ． 【点睛】

本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，在出现至少、至多等词语时，可先求其对立事件的概率，然后由对立事件概率公式得出结论．

二、解答题

14．（1）2

5

；（2）不影响比赛的公平性.. 【分析】

（1）将甲的可能取球基本事件一一列举出来，甲乙平局时的基本事件列举出来，根据古典概型概率公式计算即可；

（2）结合（1）计算先取者（甲）获胜的概率，后取者（乙）获胜的概率，比较即可得出结论. 【详解】

解：（1）记黑球为1，2号，白球为3，4号，红球为5，6号，

则甲的可能取球共有以下20种情况：123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，

甲乙平局时都得3分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共8种情况， 故平局的概率182205

P =

=. （2）甲获胜时，得分只能是4分或5分，即取出的是2红1白，1红2白，2红1黑共6种情况，

故先取者（甲）获胜的概率2632010P =

=， 后取者（乙）获胜的概率3233151010

P =-

-=， 所以23P P =，故先取后取获胜的概率一样. 【点睛】

求古典概型概率的步骤：

（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；

（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ； （3）利用公式()m

P A n =

，求出事件A 的概率． 15．（1）1，3，2；（2）415

. 【分析】

（1）由分层抽样的性质运算即可得解；

（2）利用列举法，结合古典概型概率的计算公式，即可得解. 【详解】

（1）由题意，样品中来自A 地区商品的数量为6

50150150100

?=++，

来自B 地区商品的数量为6

150350150100?=++，

来自C 地区商品的数量为6

100250150100

?

=++；

（2）设来自A 地区的样品编号为a ，来自B 地区的样品编号为1b ,2b ,3b ， 来自C 地区的样品编号为1c ,2c ，

则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:

()1,a b ,()2,a b ,()3,a b ,()1,a c ,()2,a c ,()12,b b ,()13,b b ,()11,b c ,

()12,b c ,()23,b b ,()21,b c ,()22,b c ,()31,b c ,()32,b c ,()12,c c ,共15个；

抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:

()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,()12,c c ,共4个；

故所求概率415

P =. 【点睛】

本题考查了分层抽样的应用及古典概型概率的求解，考查了运算求解能力，属于中档题. 16．（1）0．05；（2）0．45；（3）1200. 【分析】

（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果. 【详解】

把3只黄色乒乓球标记为A 、B 、C ，3只白色的乒乓球标记为1、2、3．

从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC 、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个. (1)事件E={摸出的3个球为白球}，事件E 包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球，P （E ）=

1

20

=0．05. (2)事件F={摸出的3个球为2个黄球1个白球}，事件F 包含的基本事件有9个，P （F ）=

9

20

=0．45.

（3）事件G={摸出的3个球为同一颜色}={摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球}，P （G ）=

2

20

=0．1，假定一天中有100人次摸奖， 由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G 发生有10次，不发生90次． 则一天可赚

，每月可赚1200元．

考点：1．互斥事件的概率加法公式；2．概率的意义 17．（1）属于“不合格”的零件；（2）35

. 【分析】

(1)利用频率分布直方图能求出样本的平均数，即可判断；

（2）用列举法把所有可能的结果一一列举出来，利用古典概型概率公式进行计算． 【详解】 （1）由题意

()0.005350.01450.015550.03650.02750.015850.005951066.5x =?+?+?+?+?+?+??=，

故()()2,236.5,96.5x s x s -+=， ∵()9736.5,96.5?， 故该零件属于“不合格”的零件；

（2）用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6个零件，则[)30,40中取1个，[)40,50中取2个，[)50,60中取3个，分别记为1A ，1B ，2B ，1C ，2C ，3C ，从中任取两件，

所有可能结果有：()11,A B 、()12,A B 、()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()12,B

B 、()11,B

C 、()12,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 、()12,C C 、()13,C C 、

()23,C C 共15个，

满足条件的有()11,A C 、()12,A C 、()13,A C 、()11,B C 、()1

2,B C 、()13,B C 、()21,B C 、()22,B C 、()23,B C 共9个，

故概率93

155

P ==. 【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数的计算以及古典概型的概率计算问题，属于基础题． 18．（1）500，200，50；（2）41；（3）12

. 【分析】

（1）根据频率直方图计算得x ，a ，b ；

（2）由频率直方图的平均值的计算方法可估计该企业员工的平均年龄；

（3）根据比例和分层抽样先求得第3组中抽取的人数.设这四人为甲乙丙丁，列举出所有的基本事件，由古典概率公式可求得答案.

【详解】

（1）

50

500,0.085500200

0.025

x a

===??=

?

，

0.02550050

b=??=，

所以x=500，a=200，b=50；

（2）300.025350.025400.085450.065500.02541 x=??+??+??+??+??=，所以估计该企业员工的平均年龄为41；

（3）从第3组中抽取的人数为

200

6=4

50+50+200

?人.

设这四人为甲乙丙丁，则所有的基本事件为：

（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个，

故甲被选中的概率为

31

=

62 P=.

【点睛】

本题考查频率直方图的识别，由频率直方图估算平均值，分层抽样，以及古典概率的计算，属于中档题.

19．（1）表格见解析，没有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关；（2）2 5 .

【分析】

（1）由条件可知参加彩跑的有

8

3016

15

?=人，结合条件补全22

?列联表，并计算2

K，

再和临界值表的数值比较；（2）首先为参加彩跑的6名女性编号，再通过列举的方法，计算概率.

【详解】

解：（1）参加彩跑的有

8

3016

15

?=人，

由已知数据可求得：

2

2

30(10866)

1.158

2.706

16141416

χ

?-?

=≈<

???

.

所以没有90%的把握认为参加彩跑活动与性别有关.

（2）将跑完全程的4人记为A，B，C，D；没跑完全程的2人记为x，y.

从这6人中随机选取2人所有可能的情况为

AB，AC，AD，BC，BD，CD，Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，Dx，Dy，

xy，共15种.

设“选出的两人均跑完了全程”为事件A，选出的两人均跑完了全程的情况有6种，

所以所求概率为()

62 155

P A==.

【点睛】

本题考查独立性检验，古典概型，重点考查数据分析，计算能力，属于基础题型.

20．（1）中位数为43，众数为47．（2）5 7

【分析】

（1）茎叶图完全反映所有的原始数据，由茎叶图直接得中位数43，众数47

（2）用列举法得到用时不超过50分钟的工人中随机抽取2个的基本事件总数为21种，和所求至少有一个工人是优秀员工的基本事件数为15种，利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】

解：()1由茎叶图得：

中位数为43，众数为47．

()2设不超过50的工人为,,,,,,

a b c d e f g，

其中,,

a b c为优秀员工，

从这7名工人中随机抽取2人的基本事件有21个，分别为：

{},{},{}

,,,

,a b a c a d{},{},{}

,,,

,a e a f a g{},{},{}

,,,

,b c b d b e{},

,,

{}

b f b g

{},{},{}

,,,,{}

,,{}

,,

c d c e c f c g d e{},{},{}

,,,

,d f d g e f{},

,,

{}

e g

f g

其中至少有一名工人是优秀员工的基本事件有15个，

∴至少有一个工人是优秀员工的概率

155

217

P==．

【点睛】

本题考查利用茎叶图中位数和众数问题及古典概型的概率. 解决古典概型实际问题的步骤:（1）判断是否是古典概型，（2）列举或计算基本事件总数和所求基本事件数（3）用古典概型的概率公式计算

21．（1）25，0.024，0.012；（2）

7

10

.（3）

7

10

.

【分析】

（1）根据成绩在[90，100]内有2人，且频率为0.00810

?求样本容量，由[60，70）内的频数是[90，100]的3倍求x,利用频率之和为1求y.

（2）由频率分布直方图得到成绩在[80，90]内的人数，由茎叶图得到在[90，100]内的人数，利用古典概型的概率求法，先求得从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生的基本事件总数，再得到抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的基本事件数，代入公式求解.

（3）由（2）知[80，100]的学生共有5人，男生有2人，女生有3人，利用古典概型的概

率求法，先得到从该组抽取三人的基本事件总数，再得到至少有两名女生的基本事件数，代入公式求解. 【详解】

（1）由题意得：样本容量2

250.00810

n =

=?，30.0080.024x =?=，

0.10.0080.0160.0240.040.012y =----=；

（2）由题意知：成绩在[80，90]内有250.012103??=人，设为a ，b ，c ，在[90，100]内有2人，设为A ，B ，

从成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生的基本事件共有10种， 所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的基本事件有：

(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a A a B b A b B c A c B A B 共7种，

所以所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率710

p =

； （3）分数在[80，100]的学生共有5人，男生有2人，设a ，b ，女生有3人，设为c ，d ，e ，

从该组抽取三人的基本事件共有10种， 至少有两名女生的基本事件有：

(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a c d a c e a d e b c d b c e b d e c d e ，共7种，

所以至少有两名女生的概率710

p =. 【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，茎叶图，古典概型的概率，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 22．（1）1

4

；（2）分布列见解析，期望为40. 【分析】

（1）利用对立事件的概率计算该产品不能销售的概率值；（2）由题意知X 的可能取值为320-，200-，80-，40，160；计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望()E X ．

【详解】

（1）记“该产品不能销售”为事件A ， 则P （A ）111

1(1)(1)6104

=--?-=，

所以，该产品不能销售的概率为

1

4

； （2）由已知，X 的可能取值为320-，200-，80-，40，160 计算411

(320)()4256

P X =-==，

1

34133(200)()4464

P X C =-=??=，

2

2241327(80)()()44128P X C =-=??=，

3341327(40)()4464

P X C ==??=， 4381

(160)()4256

P X ===；

所以X 的分布列为

81()3202008040160402566412864256

E X =-?

-?-?+?+?=； 所以均值()E X 为40． 【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 23．（1）87400；（2）分布列见解析；期望为3110

. 【分析】

（1）对于事件“这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”分三种情况：认为值得看的人中有：1名男生，2名女生；无男生，1名女生；无男生，2名女生.分别求得相应的概率，再相加可得答案.

（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.分别求得随机变量取值的概率，构成分布列，再利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得答案. 【详解】

（1）设X 表示2名男生中认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数. 设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，. 又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为

4

5，女生值得看的概率为34

所以()()()()1, 20, 10, 2P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==

222

2

1122341113318745554445400C C ????????????????=?+?+?=

? ??? ? ??? ?

???????????????

??

. 所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87

400

. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.

()()22

002211100,054400P P X Y C C ξ????=====?= ? ?

????

，

()()()22

100212

224111311411,00,1554544400

P P X Y P X Y C C C C ξ????????????====+===?+?= ??? ? ? ???

????????????，

()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==

2222

2

011022

22222414113137354554454400C C C C C C ????????????????=?+?+?= ? ? ??? ??? ? ?

????????????????

， ()()()22

1221222241343116831,22,1554544400

P P X Y P X Y C C C C ξ????????????====+===?+?= ??? ? ? ???

????????????，

()()2

2

222

24314442,254400

P P X Y C C ξ????=====?= ? ?

????， 所以ξ的分布列为：

所以0123440040040040040040010

E ξ=?

+?+?+?+?==， 所以数学期望为31

10

. 【点睛】

本题考查相互独立事件的概率，概率的加法公式，离散型随机变量的分布列以及其期望公式，属于中档题. 24．（1）300；200；（2）11

25；（3）710

． 【分析】

（1）由频数统计表可得样本中选修物理人数为30，历史为20，因此可得总体中人数； （2）求出物理历史中阅读时间在60分钟以上的总人数为22，样本问题为50，由此可得频率即概率；

（3）样本中阅读时间在60

90分钟的选修物理的学生分两类：一类是阅读时间在

6075分钟的共有3人，记为1a ，2a ，3a ，另一类是阅读时间在7590分钟的共有2

人，记为1b ，2b ．写出任取2人的所有基本事件，即事件空间，由此可求得对立事件“2人阅读时间都在6075之间”的概率，从而得所求概率．

【详解】

解：（1）因为以10%的比例对高二年级500名学生按选修物理和选修历史进行分层抽样，所以该校高二年级选修物理的人数约为：()69932110300+++++?=，于是该校