矩阵特征值乘幂法
矩阵特征值乘幂法
一、题目
求四阶矩阵A 的按模最大的特征值及相应的特征向量(精确至第5位有次数字)
?????
???????=2100
121001210012A 二、方法
幂法
三、程序
pow.M 的程序代码 function[m,u,flag]=pow(A,delta,max1)
if nargin<3 max1=100;end
if nargin<2 delta=1e-5;end
n=length(A);u=ones(n,1);
flag='Fail!';k=0;m1=0;
while k<=max1
v=A*u;[vmax,i]=max(abs(v));
m=v(i);u=v/m;
if abs(m-m1) flag='OK!';break; end m1=m;k=k+1; end k 四、结果 >> format compact >> A=[2 1 0 0;1 2 1 0;0 1 2 1;0 0 1 2] A = 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 >> [m,u,flag]=pow(A) k = 12 m = 3.6180 u = 0.6180 1.0000 1.0000 0.6180 flag = OK! >> eig(A) ans = 0.3820 1.3820 2.6180 3.6180 矩阵A 的按模最大的特征值是 3.6180，相应的特征向量是 ()T 6180.00000.10000.16180 .0，迭代次数为12次。 五、拓展 1、应用幂法求矩阵A 的主特征值的收敛速度主要由比值12/λλ=r 来决定，但当λ接近于1时，收敛可能很慢。这时补救方法可以采用加速收敛。 >> A=[2 1 0 0;1 2 1 0;0 1 2 1;0 0 1 2]; >> [m,u,flag]=pow(A) k = 12 m = 3.6180 u = 0.6180 1.0000 1.0000 0.6180 flag = OK! >> eig(A) ans = 0.3820 1.3820 2.6180 3.6180 >> 2.6180/3.6180 ans = 0.7236 >> A=[2 1 0 0;1 2 1 0;0 1 2 1;0 0 1 2.2]; >> [m,u,flag]=pow(A) k = 22 m = 3.6491 u = 0.5816 0.9591 1.0000 0.6901 flag = OK! >> eig(A) ans = 0.4067 1.4510 2.6932 3.6491 >> 2.6932/3.6491 ans = 0.7380 >> A=[2 1 0 0;1 2 1 0;0 1 2 1;0 0 1 2.5]; >> [m,u,flag]=pow(A) k = 26 m = 3.7119 u = 0.5181 0.8868 1.0000 0.8251 flag = OK! >> eig(A) ans = 0.4353 1.5404 2.8124 3.7119 >> 2.8124/3.7119 ans = 0.7577 >> A=[2 1 0 0;1 2 1 0;0 1 2 1;0 0 1 2.9]; >> [m,u,flag]=pow(A) k = 34 m = 3.8384 u = 0.3944 0.7250 0.9383 1.0000 flag = OK! >> eig(A) ans = 0.4625 1.6336 2.9656 3.8383 >> 2.9656/3.8383 ans = 0.7726 由以上结果可以知道，只是微小的改动矩阵中的一个数，12/λλ=r 在逐渐增大的同时，迭代次数迅速增大。可想而知，当12/λλ=r 接近1时，收敛速度也会很慢。 2、程序的缺陷 有些矩阵如????? ???????---5.2000130001200011，返回的特征值不是最大的，这与所选取的初始向量有关系，如果改动初始向量的取值，则能得出正确的结果。此程序中，所选的初始向量为分量值全为1的n 维列向量，对于有些矩阵就不能得出正确结果。 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 —一 .幂法 1. 幕法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幕法计算其主特征值 (按模最大) 及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： ⑴I 1 I I 2|n |- 0, i 为A 的特征值 (2)存在n 个线性无关的特征向量，设为 X i ,X 2，…，X n 1.1计算过程： n 对任意向量x (0)，有x (0)八：-M —不全为0,则有 i 4 X (k 岀)=Ax (k)= = A k 岀乂。) n n A k 1 aq a 扌1 5 i =1 i =1 ■k 1 2 可见，当 1 — 1 越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有 ? "1 2算法实现 ⑶.计算x Ay,… max(x); ⑷若| ?一十：；,输出-,y,否则,转(5) (5)若N ,置k 「k 1^ -,转3,否则输出失败信息，停机. 3 matlab 程序代码 (冲1 %叫 x (k 1) [x (k) k 二 u x (k) > (k+1) 1，对应的特征向量即是 x (1).输入矩阵A ，初始向量X ，误差限 最大迭代次数N (k) 0; y (k) max(abs(x (k )) k=1; z=0; y=x0./max(abs(x0)); x=A*y; % z相当于■ %规范化初始向量%迭代格式 b=max(x); % b相当于： if abs(z-b) 特征值：一矩阵A作用与一向量a，结果只相当与该向量乘以一常数λ。即A*a=λa，则a 为该矩阵A的特征向量，λ为该矩阵A的特征值。 奇异值：设A为m*n阶矩阵，A H A的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记 (A) 为σ i 上一次写了关于PCA与LDA的文章，PCA的实现一般有两种，一种是用特征值分解去实现的，一种是用奇异值分解去实现的。在上篇文章中便是基于特征值分解的一种解释。特征值和奇异值在大部分人的印象中，往往是停留在纯粹的数学计算中。而且线性代数或者矩阵论里面，也很少讲任何跟特征值与奇异值有关的应用背景。奇异值分解是一个有着很明显的物理意义的一种方法，它可以将一个比较复杂的矩阵用更小更简单的几个子矩阵的相乘来表示，这些小矩阵描述的是矩阵的重要的特性。就像是描述一个人一样，给别人描述说这个人长得浓眉大眼，方脸，络腮胡，而且带个黑框的眼镜，这样寥寥的几个特征，就让别人脑海里面就有一个较为清楚的认识，实际上，人脸上的特征是有着无数种的，之所以能这么描述，是因为人天生就有着非常好的抽取重要特征的能力，让机器学会抽取重要的特征，SVD是一个重要的方法。 在机器学习领域，有相当多的应用与奇异值都可以扯上关系，比如做feature reduction的PCA，做数据压缩（以图像压缩为代表）的算法，还有做搜索引擎语义层次检索的LSI（Latent Semantic Indexing） 另外在这里抱怨一下，之前在百度里面搜索过SVD，出来的结果都是俄罗斯的一种狙击枪（AK47同时代的），是因为穿越火线这个游戏里面有一把狙击枪叫做 SVD，而在Google上面搜索的时候，出来的都是奇异值分解（英文资料为主）。想玩玩战争游戏，玩玩COD不是非常好吗，玩山寨的CS有神马意思啊。国内的网页中的话语权也被这些没有太多营养的帖子所占据。真心希望国内的气氛能够更浓一点，搞游戏的人真正是喜欢制作游戏，搞Data Mining的人是真正喜欢挖数据的，都不是仅仅为了混口饭吃，这样谈超越别人才有意义，中文文章中，能踏踏实实谈谈技术的太少了，改变这个状况，从我自己做起吧。 前面说了这么多，本文主要关注奇异值的一些特性，另外还会稍稍提及奇异值的计算，不过本文不准备在如何计算奇异值上展开太多。另外，本文里面有部分不算太深的线性代数的知识，如果完全忘记了线性代数，看本文可能会有些困难。 一、奇异值与特征值基础知识： 特征值分解和奇异值分解在机器学习领域都是属于满地可见的方法。两者有着很紧密的关系，我在接下来会谈到，特征值分解和奇异值分解的目的都是一样，就是提取出一个矩阵最重要的特征。先谈谈特征值分解吧： 一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2) plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1 !程序说明：幂法求矩阵主特征值 !日期：2010年11月30日 PROGRAM Matrix_EigenValue PARAMETER(N=3) REAL ARR(N,N) CALL INPUT(ARR,N) CALL MATEV(ARR,N) END PROGRAM SUBROUTINE INPUT(ARR,N) REAL ARR(N,N) OPEN(1,FILE='MAT.TXT') READ(1,*)((ARR(I,J),J=1,N),I=1,N) END SUBROUTINE SUBROUTINE MATEV(ARR,N) PARAMETER(EPS=1E-7) REAL :: ARR(N,N),X(N),X1(N),MAX=0 INTEGER :: K=0,P=0 X=RESHAPE((/1,1,1/),(/3/)) WRITE(1,*) ' 迭代次数 U（规范化向量） & & MAX(V)（主特征值）' DO WHILE(P/=N) WRITE(1,'(I6,A, ENDDO K=K+1 ENDDO END SUBROUTINE 输出结果： 1 1 0.5 1 1 0.25 0.5 0.25 2 迭代次数 U（规范化向量） MAX(V)（主特征值） 0 ( 1.000000 1.000000 1.000000 ) 0.000000 1 ( 0.909091 0.81818 2 1.000000 ) 2.750000 2 ( 0.837607 0.743590 1.000000 ) 2.659091 3 ( 0.799016 0.703035 1.000000 ) 2.604701 4 ( 0.77741 5 0.680338 1.000000 ) 2.575267 5 ( 0.765108 0.66740 6 1.000000 ) 2.558792 6 ( 0.758025 0.659963 1.000000 ) 2.549406 7 ( 0.753925 0.655655 1.000000 ) 2.544003 8 ( 0.751544 0.653153 1.000000 ) 2.540876 9 ( 0.750158 0.651697 1.000000 ) 2.539060 10 ( 0.749351 0.650848 1.000000 ) 2.538003 11 ( 0.748880 0.650354 1.000000 ) 2.537387 12 ( 0.748606 0.650065 1.000000 ) 2.537028 13 ( 0.748445 0.649897 1.000000 ) 2.536819 14 ( 0.748352 0.649799 1.000000 ) 2.536697 15 ( 0.748298 0.649741 1.000000 ) 2.536626 16 ( 0.748266 0.649708 1.000000 ) 2.536584 17 ( 0.748247 0.649688 1.000000 ) 2.536560 18 ( 0.748236 0.649677 1.000000 ) 2.536546 19 ( 0.748230 0.649670 1.000000 ) 2.536537 20 ( 0.748226 0.649667 1.000000 ) 2.536533 21 ( 0.748224 0.649664 1.000000 ) 2.536530 22 ( 0.748223 0.649663 1.000000 ) 2.536528 23 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 24 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536527 25 ( 0.748222 0.649662 1.000000 ) 2.536526 26 ( 0.748221 0.649661 1.000000 ) 2.536526 C语言课程设计报告 课程名称：计算机综合课程设计 学院：土木工程学院 设计题目：矩阵特征值分解 级别： B 学生姓名： 学号： 同组学生：无 学号：无 指导教师： 2012年 9 月 5 日 C语言课程设计任务书 （以下要求需写入设计报告书） 学生选题说明: 以所发课程设计要求为准，请同学们仔细阅读； 本任务书提供的设计案例仅供选题参考；也可自选，但难易程度需难度相当； 鼓励结合本专业（土木工程、力学）知识进行选题，编制程序解决专业实际问题。 限2人选的题目可由1-2人完成（A级）；限1人选的题目只能由1人单独完成（B级）；设计总体要求: 采用模块化程序设计； 鼓励可视化编程； 源程序中应有足够的注释； 学生可自行增加新功能模块（视情况可另外加分）； 必须上机调试通过； 注重算法运用，优化存储效率与运算效率； 需提交源程序(含有注释)及相关文件(数据或数据库文件)； (cpp文件、txt或dat文件等) 提交设计报告书，具体要求见以下说明。 设计报告格式： 目录 1．课程设计任务书（功能简介、课程设计要求）； 2．系统设计（包括总体结构、模块、功能等，辅以程序设计组成框图、流程图解释）； 3．模块设计（主要模块功能、源代码、注释（如函数功能、入口及出口参数说明，函数调用关系描述等）； 4．调试及测试：（调试方法，测试结果的分析与讨论，截屏、正确性分析）； 5．设计总结：（编程中遇到的问题及解决方法）； 6．心得体会及致谢； 参考文献 1.课程设计任务书 功能简介： a）输入一个对称正方矩阵A，从文本文件读入； b）对矩阵A进行特征值分解，将分解结果：即U矩阵、S矩阵输出至文本文件； c）将最小特征值及对应的特征向量输出至文本文件； d）验证其分解结果是否正确。 提示：A=USU T,具体算法可参考相关文献。 功能说明： 矩阵特征值分解被广泛运用于土木工程问题的数值计算中，如可用于计算结构自振频率与自振周期、结构特征屈曲问题等。 注：以三阶对称矩阵为例 2.系统设计 3.模块设计 #include 数值分析 幂法求矩阵A按模最大的特征值及其 特征向量 幂法的主要思想 设 n n ij R a A ?∈=)( ,其特征值为i λ ,对应特征向量为),,,1(n i x i =即 i i i x Ax λ= ),,1(n i =，且 x 1，······，x n 线性无关。求矩阵A 的主特征值及对应的特征向量。 幂法的基本思想: 任取一个非零初始向量 v 0 ∈R n 且v 0≠0， 由矩阵A 的乘幂构造一向量序列： 称{ v k }为迭代向量， A 特征值中 λ1为强占优，即▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏, {x 1，x 2，······，x n }线性无关，即{x 1，x 2，······，x n }为R n 中的一 个基，于是对任意的初始向量v 0 ∈R n 且 v 0≠0有展开式。 (v 0 用{x i } 的线性组合表示) （且设01≠α） 则 当k =2,3,… 时，v k = A v k-1 = A k v ? ?? 1Av v =0 212v A Av v ==01 1 v A Av v k k k ++==) ,,1,0(n k =∑==n i i i x v 1 α)(221101n n x x x A v A v ααα+++==n n x A x A x A ααα+++=2211n n n x x x λαλαλα+++=222111) (111 +≡x k αλk ε 其中 由假设▕ λ1▕＞▏λ2 ▏＞······＞▏λn ▏，得 ，从而 即,0lim =∞→k k ε且收敛速度由比值||12λλ=r 确定。 所以有 说明，当k 充分大时，有1 11 x v k k αλ≈，或 k k v 1λ 越来越接近特征 向量 规范化幂法的算法 ①输入矩阵 A 、初始向量v (0)，误差 eps ，实用中一般取 v (0)=（1，1，···，1）T ； ②k ←1； ③计算 v (k) ←Au (k-1)； ④m k ←max{ v (k) }，m k-1 ←{ v (k-1) }； ⑤u (k) ←v (k)/ m k ； ⑥如果▕ m k - m k-1▕＜eps ，则显示特征值λ1←和对应的特征 向量x (1)，终止； ⑦k=k+1，转③。 n k n n k k x x )()(1 2122λλαλλαε++=),,2(1||1 n i i =<λλ ),,,2(0)(lim 1n i k i k ==∞→λλ111 lim x v k k k αλ=∞ →。 11x α 摘 要 根据现代控制理论课程的特点, 提出并利用MATLAB 设计了现代控制理论课程的实验, 给出了设计的每个实验的主要内容及使用到的MATLAB 函数, 并对其中的一个实验作了详细说明。通过这些实验, 将有助于学生理解理论知识, 学习利用MATLAB 解决现代控制理论问题。 关键词：现代控制理论、MATLAB 、仿真。 1设计目的、内容及要求 1.1设计目的 本课程设计以自动控制理论、现代控制理论、MATLAB 及应用等知识为基础，求连续系统对应的离散化的系统，并用计算系数阵按模最大的特征根法判别离散系统的稳定性，目的是使学生在现有的控制理论的基础上，学会用MATLAB 语言编写控制系统设计与分析的程序，通过上机实习加深对课堂所学知识的理解，掌握一种能方便地对系统进行离散化的实现和分析系统的稳定性的设计的工具。 1.2设计内容及要求 1 在理论上对连续系统离散化推导出算法和计算公式 2 画出计算机实现算法的框图 3 编写程序并调试和运行 4 以下面的系统为例，进行计算 ??????????----=041020122A ，?? ?? ? ?????=100B ，[]111-=c 5 分析运算结果 6 幂法迭代精度为ep=0.001，离散系统展开项数为20 7 程序应具有一定的通用性，对不同参数能有兼容性。 2算法选择及推导 2.1连续系统离散化算法 书P67离散化意义 已知被控对象的状态方程为： ()()()()()()t t u t y t t u t =+=+ x Ax B Cx D 对方程求解，得： 0()()0()()()o t t t t t t e t e u d τττ --=+?A A x x B 设0t kT =，(1)t k T =+，代入上式，得： H 公式 若省略T 则为{ ? +-++Φ=+T k kT d kT Bu T k kt x T T k x )1()(])1[()()(])1([(τ τφ不改变与离散后时刻，即得连续离散化方程则：相当于）＋＝（上限相当于下限设令D C kT Du kT Cx kT y kT t kT u T H kT x T G T k x Bdt t Bdt e T H t T k T t kT d dt T k t Bd e T H e T T G T T AT T k kT T k A AT )()()()()()()(])1([(: )()(0 ,1,,)1()()()(0 )1(])1[(+==+=+Φ=====-=-+=?==Φ=???+-+τττττ τ 本科毕业设计题目：一些特殊矩阵特征值的求法与应用 作者：高英 学号： 2010012491 所属学院：金融与数学书院 专业班级：应数1002班 指导教师：赵建中职称：院长 完成时间： 2014 年 4月 10日 皖西学院教务处制 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 学生签名：日期：年月日 论文版权使用授权书 本人完全了解皖西学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意皖西学院可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 (保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 学生签名：日期：年月日 导师签名：日期：年月 目录 摘要 .......................................................... 错误！未定义书签。Abstract ...................................................... 错误！未定义书签。第1章绪论 .................................................. 错误！未定义书签。 1.1 课题研究背景及目的................................... 错误！未定义书签。 1.2 研究现状 (1) 1.3研究方法 (2) 1.4研究内容 (2) 第2章几类特殊矩阵的概念及主要性质............................ 错误！未定义书签。 2.1 正交矩阵............................................. 错误！未定义书签。 2.2 幂零矩阵 (2) 2.3 对称矩阵 (3) 2.4 三对角矩阵 (4) 第3章矩阵特征值的求法与应用 (4) 3.1 一般矩阵的求法与应用 (4) 3.2 特殊矩阵的求法与应用 (7) 结语 (20) 致谢 (20) 参考文献 (21) 数学建模作业 计算机学院信计1102班姜圣涛 （1）幂法求矩阵最大特征值及特征向量： 程序为： #include while(1){ max=X[0]; for(i=0;i 幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 数值计算解矩阵的按模最大最小特征值及对应的特征向量 一.幂法 1. 幂法简介： 当矩阵A 满足一定条件时，在工程中可用幂法计算其主特征值(按模最大)及其特征向量。矩阵A 需要满足的条件为： (1) 的特征值为A i n λλλλ,0||...||||21 ≥≥≥> (2) 存在n 个线性无关的特征向量，设为n x x x ,...,,21 1.1计算过程： i n i i i u x x αα,1 ) 0()0(∑==，有对任意向量不全为0，则有 1 11111221 12111 1 1 11 1 011)()(...u u a u a u λu λαu αA x A Ax x k n n k n k k n i i k i i n i i i k )(k (k))(k αλλλλλα++++=+=+++≈? ? ????+++======∑∑ 可见，当||1 2 λλ越小时，收敛越快；且当k 充分大时，有1)11 11)11111λαλαλ=??????==+++(k )(k k (k k )(k x x u x u x ，对应的特征向量即是)(k x 1+。 2 算法实现 . ,, 3,,1 , ).5() 5(,,,,||).4();max(,).3() (max(;0,1).2(,).1()() () (停机否则输出失败信息转置若转否则输出若计算最大迭代次数，误差限，初始向量输入矩阵βλβεβλβλε←+←<<-←←= ←←k k N k y x Ay x x abs x y k N x A k k k 3 matlab 程序代码 幂法求矩阵最大特征值 摘要 在物理、力学和工程技术中的很多问题在数学上都归结为求矩阵特征值的问题，而在某些工程、物理问题中，通常只需要求出矩阵的最大的特征值（即主特征值）和相应的特征向量，对于解这种特征值问题，运用幂法则可以有效的解决这个问题。 幂法是一种计算实矩阵A的最大特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单。对于稀疏矩阵较合适，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了三个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键词：幂法；矩阵最大特征值；j ava；迭代 POWER METHOD TO CALCULATE THE MAXIMUM EIGENV ALUE MATRIX ABSTRACT In physics, mechanics and engineering technology of a lot of problems in math boil down to matrix eigenvalue problem, and in some engineering, physical problems, usually only the largest eigenvalue of the matrix (i.e., the main characteristics of the value) and the corresponding eigenvectors, the eigenvalue problem for solution, using the power law can effectively solve the problem. Power method is A kind of computing the largest eigenvalue of real matrix A of an iterative method, its biggest advantage is simple.For sparse matrix is right, but sometimes very slow convergence speed. Using Java to write algorithms.This program is mainly divided into three most: the first part for matrix can be converted to linear equations;The second part is the eigenvector of the maximum;The third part is the exponentiation method of function block.Its basic process as a power law function block by calling the method of matrix can be converted to linear equations, then after a series of validation and iteration to get the results. Key words: Power method; Matrix eigenvalue; Java; The iteration 准备工作 ?算法设计 矩阵特征值的求法有幂法、Jacobi法、QR法等，其中幂法可求得矩阵按模最大的特征值（反幂法可求得按模最小特征值），Jacobi法则可以求得对称阵的所有特征值。 分析一：由题目中所给条件λ1≤λ2≤…≤λn，可得出λ1、λn按模并不一定严格小于或大于其他特征值，且即使按模严格小于或大于其他特征值，也极有可能出现|λs|<λ1|<|λn |或|λs|<λn|<|λ1 |的情况，导致按幂法和反幂法无法求解λ1或λn二者中的一者； 分析二：题目要求求解与数μk =λ1+k(λn-λ1)/40最接近的特征值λik(k=1,2,3…39)，这个问题其实可以转换为求A-μk 按模最小的特征值的问题，但因为在第一个问题中无法确定能肯定的求得λ1和λn，所以第二个问题暂先搁浅； 分析三：cond(A) 2 = ||A|| * ||A-1|| =|λ|max * |λ|min,这可以用幂法和反幂法求得，det(A) =λ1 *λ2 * … *λn，这需要求得矩阵A的所有特征值。 由以上分析可知，用幂法和反幂法无法完成所有问题的求解，而用Jacobi法求得矩阵所有特征值后可以求解题目中所给的各个问题。所以该题可以用Jacobi法求解。 ?模块设计 由 ?数据结构设计 由于矩阵是对称阵，上下带宽均为2，所以可以考虑用二维数组压缩存储矩阵上半带或下半带。但由于Jacobi法在迭代过程中会破坏矩阵的形态，所以原来为零的元素可能会变为非零，这就导致原来的二维数组无法存储迭代后的矩阵。基于此的考虑，决定采用一维数组存储整个下三角阵，以此保证迭代的正确进行。 完整代码如下（编译环境windows10 + visual studio2010）： 幂法和反幂法的matlab实现 幂法求矩阵主特征值及对应特征向量 摘要 矩阵特征值的数值算法，在科学和工程技术中很多问题在数学上都归结为矩阵的特征值问题，所以说研究利用数学软件解决求特征值的问题是非常必要的。实际问题中，有时需要的并不是所有的特征根，而是最大最小的实特征根。称模最大的特征根为主特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模最大的特征值）及对应特征向量的迭代方法，它最大的优点是方法简单，特别适用于大型稀疏矩阵，但有时收敛速度很慢。 用java来编写算法。这个程序主要分成了四个大部分：第一部分为将矩阵转化为线性方程组；第二部分为求特征向量的极大值；第三部分为求幂法函数块；第四部分为页面设计及事件处理。其基本流程为幂法函数块通过调用将矩阵转化为线性方程组的方法，再经过一系列的验证和迭代得到结果。 关键字：主特征值；特征向量；线性方程组；幂法函数块 POWER METHOD FOR FINDING THE EIGENVALUES AND CORRESPONDING EIGENVECTORS OF THE MATRIX ABSTRACT Numerical algorithm for the eigenvalue of matrix, in science and engineering technology, a lot of problems in mathematics are attributed matrix characteristic value problem, so that studies using mathematical software to solve the eigenvalue problem is very necessary. In practical problems, sometimes need not all eigenvalues, but the maximum and minimum eigenvalue of real. The characteristic value of the largest eigenvalue of the modulus maximum. Power method is a calculation of main features of the matrix values (matrix according to the characteristics of the largest value) and the corresponding eigenvector of iterative method. It is the biggest advantage is simple method, especially for large sparse matrix, but sometimes the convergence speed is very slow. Using java to write algorithms. This program is divided into three parts: the first part is the matrix is transformed into linear equations; the second part for the sake of feature vector of the maximum; the third part is 数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再经过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后经过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and 矩阵的特征值与特征向量的计算 摘要 物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。 幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。其基本思想是任取一个非零的初始向量。由所求矩阵构造一向量序列。再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。 反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。 关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法 THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIX ABSTRACT Physics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix putation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value. Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence. The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use 第八章 矩阵的特征值与特征向量的数值解法 某些工程计算涉及到矩阵的特征值与特征向量的求解。如果从原始矩阵出发,先求出特征多项式,再求特征多项式的根，在理论上是无可非议的。但一般不用这种方法，因为了这种算法往往不稳定．常用的方法是迭代法或变换法。本章介绍求解特征值与特征向量的一些方法。 §1 乘幂法 乘幂法是通过求矩阵的特征向量来求特征值的一种迭代法,它适用于求矩阵的按模最大的特征值及对应的特征向量。 定理８·1 设矩阵Ａn ×n 有n 个线性无关的特征向量X ｉ（ｉ=1,２,…,n)，其对应的特征值λi (ｉ ＝1,2，…，n)满足 ｜λ１|＞|λ2｜≧…≧|λn ｜ 则对任何ｎ维非零初始向量Z ０，构造Ｚk ＝ AZ k-1 11()lim ()k j k k j Z Z λ→∞ -= (8·1) 其中(Ｚk )ｊ表示向量Z k 的第ｊ个分量。 证明 : 只就λｉ是实数的情况证明如下。 因为A 有n 个线性无关的特征向量X i ,(i = １,2,…,n)用X ｉ(ｉ = 1,2,…，n)线性表示,即Z 0=α1X 1 + α2Ｘ2 +用A 构造向量序列{Z k }其中 ? 21021010, ,k k k Z AZ Z AZ A Z Z AZ A Z -=====， (8.2） 由矩阵特征值定义知ＡＸi =λi X i (i=1,２, …,n),故 ? 0112211122211121k k k k k n n k k k n n n k n k i i i i Z A Z A X A X A X X X X X X ααααλαλαλλλααλ===++ +=+++???? ??=+ ?????? ? ∑ (８.3） 同理有 1 1 11 1121k n k i k i i i Z X X λλααλ---=? ? ????=+ ????? ? ? ∑ (8．４) 将(8.３）与(8．4)所得Ｚk 及Z k-１的第j 个分量相除，设α1≠0，并且注意到 |λi |<|λ1|(i=1,２,…，n ）得幂法,反幂法求解矩阵最大最小特征值及其对应的特征向量
特征值分解与奇异值分解
用QR算法求矩阵的特征值
幂法求矩阵主特征值
雅克比法求矩阵特征值特征向量
幂法求矩阵A按模最大的特征值及其特征向量
matlab求矩阵特征值特征向量 乘幂法
一些特殊矩阵特征值得求法与应用 (2)
数学建模 用幂法 和法 根法求特征值特征向量
幂法反幂法求解矩阵大小特征值及其对应的特征向量
幂法求矩阵最大特征值
北航数值分析1-Jacobi法计算矩阵特征值
幂法和反幂法的matlab实现
数值方法课程设计幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量附Matlab程序
数值方法课程设计报告幂法反幂法计算矩阵特征值和特征向量-附Matlab程序
第八章矩阵的特征值与特征向量的数值解法