数值分析复习题要答案
第一章
1、ln2=０．6931４７18…，精确到 １0-3
的近似值是多少?
解 精确到 10－３
=0.001，即绝对误差限是 ε＝0.0５%，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.6９３。
２、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ，
21x x +的绝对误差限
解：记126.1025, 80.115x x ==?则有11232411
10, | 102|||2
x x x x --≤?-≤?-
所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--
3411
80.11610 6.10102522
0.007057-==??+≤??
?1212112243|()|||11
|10100.0005522
|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-
3、一个园柱体的工件,直径d 为１0．2５±0．25mm,高ｈ为４0.00±１.00mm ，则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。 解:
()()
22222222
4314210254000000330064
221025400002510251002436444
3300624362436
0073873833006
,.....;
()()()......,
..().()..%
.r d h
V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε=
≈=??===+=???+?==±====第二章：
１、分别利用下面四个点的Lag ｒa ｎg ｅ插值多项式和Ｎewton 插值多项式
N 3(x ）,计算L ３(0.５）及Ｎ３(-0.5)
解:(1)先求3
32211003)()()()()(y x l y x l y x l y x l x L +++=
(１分）
=----+---+=------=
)12)(02)(12()
1)(0)(1())()(())()(()(3020103210x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(1(6
1-+-， （2分)
=----+---+=------=
)11)(01)(21()
1)(0)(2())()(())()(()(3121013201x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(2(2
1-+ ?(2分）
=-++-++=------=)10)(10)(20()
1)(1)(2())()(())()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x x x x l )1)(1)(2(2
1-++-x x x ?(2分）
=-++-++=------=
)01)(11)(21()0)(1)(2())()(())()(()(2313032103x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x )1)(2(6
1
++ ?（2分）
x x x x x x x x x x L )1)(2(31)1)(2(21)1)(1(61)(3+++-++-+=x x x 2
1
2323-+=?（１分）
所以 4
1
)5.0(3=L ? ??（1分)
(2)再求Ne ｗton 插值多项式 列均差表如下:
)
(1
2
32
2
1
)(23100)
(211)(12]
,,,[],,[],[22223
2103210分分分分x x x x x x x x f x x x f x x f y x k j i j i -----
所以x x x x x x x N )1)(2()1)(2(23)2(21)(3+++++-
++-=x x x 2
1
2323-+= （2分） 2
1
)5.0(3=-N ?? （１分）
2、求过下面四个点的L ａｇrang ｅ插值多项式L 3(x )和Newto ｎ插值多项式N ３（ｘ)。
）解:（１）Ｌ3(x )=l ｏ(x )ｙo +l 1(x ）ｙ１+l 2(ｘ)y 2+l ３(x )y ３
（1分)
)
())(())(()
())(()1)(()(1110110n i i i i i i i n i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ---------+=
+-+-
得出)1)(1(6
1)(-+-=x x x x l o
（2分))1)(2(2
1)(1-+=x x x x l
（2分)
)1)(1)(2(21)(2-++-=x x x x x l (2分))1)(2(6
1)(3++=x x x x l (2分)
∴)1)(2(6
1)1)(1)(2(21)1)(2(21)1)(1(31)(3++--++--++-+=x x x x x x x x x x x x x L
（1分）
（2）))()(())(()()(21031020103x x x x x x a x x x x a x x a a x N ---+--+-+=(1分)
2)(00-==x f a （2分） 3)
()(1
0101=--=
x x x f x f a ? （2分)
2
3
)
()()()(20212110102-=----
--=x x x x x f x f x x x f x f a （2分）
，613=a ? （2分）
∴x x x x x x x N )1)(2(61)1)(2(2
3
)2(32)(3+++++-
++-=（１分)
第三章 1、令
1x 1,e )x (f x
≤≤-=，且设x a a )x (p 1
+=,求
1
a
,a 使得
)x (p 为)x (f 在[－1,1]上的最佳平方逼近多项式。
2.已知数据对（7，3．1），（8，4.９),(9，5.３),(10,5.8）,（11,6.1), (12，6.４),(1３，
5.9)。试用二次多项式拟合这组数据。
解：ｙ＝－0.1４５ｘ2＋３.3２4x -12.7９４
第四章:
1.数据如下表
用中心差分公式,分别取h = 0．０1、0.02计算)02.1(f '.
解:中心差分公式为 h
h x f h x f x f 2)
()()(--+≈' (２分)
1）取h ＝０.01时, 302.012
.318.302.0)01.1()03.1()02.1(=-=-≈
'f f f ? （４分)
２）取h =0.０2时, 5.304
.010
.324.304.0)00.1()04.1()02.1(=-=-≈'f
f f （
4分)
2.（10分)根据如下函数表 用中心差分公式，分别取h =0.3,0.１计算)
3.1(f '
解：中心差分公式h
h x f h x f x f 2)
()()(--+=
'?? （2分)
取h ＝0．3时,7233.16
.0)
3.03.1()3.03.1()(=--+≈'f f x f ? (4分)
取h =０.1时，7000.12
.0)
1.03.1()1.03.1()(=--+≈'f f x f ? ?(4分）
3.分别用复合梯形公式Ｔ6和复合辛普森公式S 3计算定积分
?
+6.00
d 11
x x
的值. 解：)2)()0((21
1
6∑-=++-=n i i n y x f f n a
b T (2分） )])5.0()4.0()3.0()2.0()1.0([2)6.0()0((6
20
6.0f f f f f f f ++++++?-=
470510739.0=?
?
????(3分）
)]}]4.0()2.0([2)]5.0()3.0()1.0([4)6.0()0({63f f f f f f f n
a
b S ++++++-=
470006382.0= ?????
??
（３分）
f (0)=1，f （０.1）=０.9090,f （0．2)=．08333,f (0.３)=0.76９2,f (０.4）＝０．７1４2,
f (0.5)=0．666７,ｆ（0.6）=０.6２5???
（7分）
4、利用复合Simpso ｎ公式Ｓ4计算积分?
+1
02
d 11
x x （取小数点后4位）
。 解:)]24()2()0([611
212∑∑==-+++?-=n i n
i i i n y y n f f n a
b S （2分） 00000.4)0(=f ,93846.381=??? ??f ，76470.382=??
?
??f ,50685.383=??? ??f ,
20000.384=??? ??f ，87640.285=??? ??f ,56000.286=??
?
??f ，26000.287=??? ??f ，
00000.2)1(=f ??
(9分） ???
??????? ????? ??+??? ??+??? ??+???? ????? ??+??? ??+??? ??+??
? ??++?-=8)684822878583814)1()0(46014f f f f f f f f f S
1416.3=??(４分）
第五章:
１、利用列主元消去法求解线性方程组
??
?
??=+-=-=++-6
5577104
6233212
1321x x x x x x x x （计算过程保留到小数点后四位).
解:216515707104623r r ?????? ??---(1分)???
?
?
??---6515462370710(2分） ???
??
??--+-5.255.201.661.00707101031
3
2112r r r r （2分)????? ??-?+2.62.6005.255.2070710235
.21.032r r r r (２分)
回代解得 13=x ,12-=x ,03=x ?? (1分）
2、用矩阵的L Ｕ分解法解方程组
????
?
??-=????? ??????? ??---432214122012321x x x
解:设???
?
? ???????
??==33222113121132
3121000101
001u u u u u u l l
l LU A ???（1分) ???
??
??-????? ??-=100110012112011001LU ??（４分）LUX =b
其中设UX =ｙ，则Ly =b ???
?
?
??-=????? ??????? ??-432112*********y y y
(2分）
∴y =(2,－1,１)T U Ｘ=y ???
?
?
??-=????? ??????? ??-112100110012321x x x ??（２分)
∴x =(０,-２,1)T ?
?（１分）
5． 用追赶法解三对角方程组Ax=b ，其中
解
：
用
解
对
三
角
方
程
组
的
追
赶
法
公
式
计
算
得
?
6. 用平方根法解方程组
解：用
分解直接算得?
?由及
求得
第六章：
1、用G ａuss-Sei ｄel 迭代法求解方程组?????=+-=++=++30
1532128243220321
321321x x x x x x x x x ，取初值T
)0()0,0,0(=x ，
写出G ａus ｓ-Se ｉde ｌ迭代格式,求出)
1(x ，)
2(x
，计算∞
-)
2()
1(x x
，并根据原方程组的系
数矩阵说明该迭代格式是否收敛．
2、对方程组
??
?
??=+--=-+-=--10
52151023
210321321321x x x x x x x x x （1）写出其Jaco ｂi 迭代格式，并据迭代矩阵的范数,说明该迭代格式收敛。
(2)写出题中方程组的Ｓeide ｌ迭代格式，取T x )0,0,0()0(= ，迭代求出)1(x ,)2(x ，
)3(x
。
(1)解：其Ja ｃobi 迭代格式为：
?????????++=++=++=+++25251231015110310151)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x (5分) ????
???
?
??=052
5
1
1010
51
1015
10M (6分） 5
3
||||1=M ＜1 ?（2分)
∴收敛 ?(1分)
(2）解：其Seidle 迭代格式为：
???
?
?????++=++=++=++++++2525123
1015110
3
10151)1(2)1(1)1(3)(3)1(1
)1(2)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ? （5分) )0,0,0()0(=x
T
)684.2,56.1,3.0()1(=x
Ｔ?
???
(2分)
)953872.2,94448.1,8804.0()2(=x
T ?
（2分)
)993754176.2,99224384.1,9842832.0()3(=x
Ｔ
(1分）
3．对方程组
???
??=-+=+-=++-7
416518321
321321x x x x x x x x x (1）写出其Ｊacob ｉ迭代格式,并根据迭代矩阵的范数,说明该迭代格式收敛。
(２)写出Ｓeidel 迭代格式，取T x )0,0,0()0(= ,迭代求出)1(x
;计算∞
-1
0x x 。
解:(1)其Ja ｃobi 迭代格式为???
?
?????-+=-+=-+=+++++474141516
51518
1
8181)(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x (5分）
迭代矩阵为 ???????
?
??=04
14
151051
81810M ?
（2分）
4
1
||||=∞M ＜1?（2分） 所以Ja ｃo ｂi 迭代格式收敛? (1分)
(2)其Se ｉdel 迭代格式为： ???
?
?????-+=-+=-+=+++++474141516
51518
1
8181)(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1
k k k k k k k k k x x x x x x x x x ? (5分)
将T
x )0,0,0()0(= 代入得 T x )160
514,40129,81()1(--
-= (3分)
所以
160
514)1()0(=-x x
（2分）
５． 用SOR 方法解方程组(取ω＝1.０３)?
?
精确
解
，要求当时迭代终止.
解
:
用
SO
Ｒ
方
法
解
此
方程组的迭代公式为
?
?取
，当时，
迭代５次达到要求
第七章
1.利用牛顿迭代法求方程04.19.01.12
3=-++x x x 的近似根，取初值10=x 进行计算，使
误差不超过10-3.
解：牛顿迭代格式为：)
()
(1k k k k x f x f x x '-=+ (1分)；
利用牛顿迭代法求解,将10=x 代入,得
738.0)1()
1(11≈'-
=f f x （1分）, 674.0)
738.0()738.0(738.02≈'-
=f f x （1分） 671.0)
674.0()
674.0(674.03≈'-
=f f x (１分）,(１分）
所以取 671.0≈x ?
671.0)
671.0()
671.0(671.04≈'-=f f x （2分)
2、求方程0104=--x x 在[1.5，２]内的近似解:取x 0=２，用Ｎe ｗton 迭代法迭代三次,求出x ≈x 3。
解：牛顿迭代法公式)
()
(1n n n n x f x f x x '-
=+ ? （1分）
10)(4--=x x x f ，14)(3-='x x f
?? (1分）
Newton 迭代公式： ∴1
410
314103
4341
-+=----=+n n n n n n n x x x x x x x ????（３分) ｘ０=２代入x 1=1.87０９677４２（1分）x 2＝1.８5578０70２（１分）ｘ3=1.8555８４５
6１（１分)
x ≈x 3=1.855５8(2分)
第九章：
1、应用Ｅuler 方法计算积分t e x t d 0
2
?
在点x ＝ ０.5， 1, 1.５, 2时的近似值.
2、用改进的Ｅu ｌｅｒ公式，求初值问题
?
?
?=+='1)0(y y
x y 在x 1=0.１，x ２=0.2，x 3=0．3三点处的数值解(即当x 0=０，y 0=1,h =0.1时,求出y 1,y 2，y 3）
解:改进的欧拉公式:??
?
??++=+=++)],(),([2)
,(11p n n n n n n n n p y x f y x f h
y y y x hf y y ?(２分）
初值ｘ0=０，y ０=1 ??
?+++=+=++)]
,()[(05.0)
,(1.011p n n n n n n n n p y x y x y y y x y y ?（2分)
ｘ0＝０, y 0=1，y ｐ=1．1?
?
?
（3分）
x 1=0.1,ｙ1=1.1+0.05［1+1.2]=1＋0.11＝１.11 y p =１.23１3(??分） x 2=0.２,y 2=１.24205 y p ＝1.38625 ?
（3分)
x 3=0.3，y ３=1.398４６５２5 ?? ????（2分)
3、用改进的Eu ｌｅr 公式，求初值问题?
?
?=++='0)0(1
2y y x y 在x 1=0.2，ｘ2=0.4，x 3=0.6