平面解析几何初步复习课教学设计

平面解析几何初步复习课教学设计

（一）教材分析

解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。根据课程标准要求，在必修2解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方程，并初步建立空间坐标系的概念。这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。因此，本章要求学生掌握解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。这样的安排，一方面降低了解析几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。

因此教学中，要体会必修2的4个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅仅是初步③是螺旋式上升的开始④.感性认识到理性认识的过渡期。

(二) 课程内容标准（教学大纲与课程标准比较）

说明：

在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会"数形结合"。

遵循的原则上的差异

旧教材遵循的是连续性、一步到位的原则．

新教材遵循了阶段性、螺旋式上行的原则

(三)学情分析

学生通过本章的学习，对解析几何的基本方法---坐标法有了初步认识和应用，体会了代数方法研究几何问题的优点。但对这种方法的认识还不够深刻，不系统和全面，同时对整章涉及的知识缺乏一个整体的认识。所以，有必要通过章节复习，把基本知识和方法总结和归纳，从整体上把握知识，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化。在对整章知识网络的梳理构建的基础上，通过配套题目，巩固知识和方法的应用，加深对坐标法的理解和应用，体会函数与方程思想，数形结合思想，化归和转化思想等数学思想在本章的特殊地位。

（四）本章内容的基本定位

第一，本部分内容是在初中学习直线基础上，利用平面直角坐标系，将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；运用代数方法研究直线与圆的几何性质及其相互位置关系，分析代数结果的几何含义，解决几

何问题。

第二，用代数方法研究几何图形是解析几何的核心。学生在初中曾经学过建立直角坐标系且初步研究过一次函数、二次函数及反比例函数的图像，这是借助几何图形来直观认识一次函数、二次函数及反比例函数的性质，即从数到形。直线和圆是最基本的几何图形，也是学生非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度刻画它们的性质。“解析几何初步”则主要是用代数方法刻画直线和圆，研究它们的性质，即从形到数；再利用直线与圆的方程来研究直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，即用数来研究形。这部分内容也是学习圆锥曲线的基础，学生应熟知直线与圆的方程中参数的几何意义。

用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要突出几何要素。

第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程来研究几何图形的性质。

（五）教材特色

1.突出解析法基本思想——代数方法解决几何问题

重视“数形结合”思想的运用——以形助数、依数识形

2.过程彰现新理念

在直线和圆的方程的处理上，以学生熟悉的问题（生活实例、数学问题等）为背景，按照

“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——反思”

的顺序结构，引导学生主动参与探索，通过师生共同对问题的分析和解决，使学生感受建立坐标系，并用坐标、方程等知识来刻划点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。

3.将“圆与方程”与“直线与方程”进行类比，感受同构（方法）的特点，体验解析几何的研究程序。

（六）三维目标

1.通过总结和归纳直线与直线的方程，圆与圆的方程，空间直角坐标系的知识，通过对全章知识的梳理，突出知识间的内在联系，了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题。

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系,能用直线与圆的方程解决一些简单问题，使学生在综合运用知识解决问题的能力上提高一步。

3.能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析，探究和思考问题的能力，激发学生数学学习的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力。

（七）重点难点

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章知识系统和网络。

教学过程

一知识回顾

本章内容知识结构（幻灯片）

对比知识结构，阅读课本（北师大版P100《本章小结》），学生讨论以下问题：

①直线的倾斜角和斜率，需要注意什么？

②直线的方程有几种形式，各自适用的范围是什么？

③两直线的位置关系如何判断？

④圆的方程有哪几种形式?它们各自有什么特点?

⑤点与圆、直线与圆、圆与圆分别有什么样的位置关系?如何判断?

设计目的：针对学生的易错点，在章节复习中作一个梳理。同时引导学生养成一个归纳总计各章知识方法易错点的一个习惯。

二应用示例：

直线方程 直线的位置关系

例1 求经过点A （-5，2），且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线的方程。

活动：学生阅读题目，思考解法，教师引导学生注意分两种情形讨论。

解：（1）当横截距、纵截距都是零时，设所求直线方程为y=kx ，

将点A （-5，2）代入方程，得k=-52，此时，直线的方程为y=-5

2x ，即2x+5y=0。 （2）当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为

a x 2+a y =1， 将点A （-5，2）代入方程，得a=--2

1，此时，直线的方程为x+2y+1=0。 综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0。

基础自测：

1、已知两直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0都通过点P(2,3)，求经过两点Q 1(a 1,b 1)，Q 2(a 2,b 2),的直线方程。

2、.直线经过点P （3，2）且与x 、 y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线的方程。

3、求经过点P （2，3），且被两平行直线3x+4y-7=0和 3x+4y+8=0截得的线段为32的直线方程。

答案：

+3y+1=0

设计目的：

引导学生体会定义解题，充分考虑直线的方程，方程的直线的内涵。

2．6x +4

y =1即2x+3y-12=0 设计目的：

△OAB 的面积与截距有关，自然联想导直线方程的截距式。

3．x-7y+19=0或7x+y-17=0

设计目的：

利用平行线间的距离与线段长之间的数字特征，设出斜率，巧妙构造方程。

例2正方形的中心为点C （-1，0），一条边所在的直线方程为x+3y-5=0，求其它三边所在的直线方程。

活动：学生分析正方形的几何性质，讨论由性质引发的直线方程特征，结合直线位置关系中的平行与垂直，引导学生思考待定系数法。

解：设与直线x+3y-5=0平行的正方形的另一边所在直线方程为x+3y+c 1=0,

∵C 到直线x+3y-5=0的距离

得c 1=7或c 1=-5（即是已知条件中的直线）

∴正方形的一条边是x+3y+7=0

设与直线x+3y-5=0垂直的正方形的另一边所在直线方程为3x-y+ c 2 =0

得c 2=9或c 2=-3 ∴正方形的另两条边所在直线方程为3x-y+ 9=0或3x-y-3 =0

直线与圆，圆与圆位置关系问题

例3求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A （5，2），B （3，-2）的圆的方程。 活动：学生阅读题目,理解题意,相互交流或讨论,教师引导学生考虑解题的方法,注意总结,因为条件与圆心有关系,因此可设圆的标准方程,利用圆心在直线2x-y-3=0上,同时也在线段AB 的垂直平分线上,由两直线的交点得出圆心坐标,再由两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到方程.

解:方法一:设圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2=r 2,由已知条件得

?????=--+-=-+-=--.)2()3(,)2()5(,032222222r b a r b a b a 解得?????===.

10,1,2r b a 所以圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2=10.

方法二:因为圆过点A(5,2)和点B(3,-2),所以圆心在线段AB 的垂直平分线上,线段AB 的垂直平分线方程为y=-2

1(x-4).设所求圆的圆心C 的坐标为(a,b),则有??

???--==--).4(21,032a b b a 解得???==.1,2b a 所以圆心C(2,1),r=|CA|=10)12()25(22=-+-

所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2=10.

点评:本题介绍了几何法求圆的标准方程,利用圆心在弦的垂直平分线上或者利用两圆相切时连心线过切点,可得圆心满足的一条直线方程,结合其他条件可确定圆心,由

两点间的距离公式得出圆的半径,从而得到圆的标准方程.其实求圆的标准方程,就是求圆的圆心和半径,有时借助于弦心距、圆半径之间的关系计算,可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程,则需要三个独立的条件,“选标准,定参数”是解题的基本方法,其中选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程形式,进而确定其中三个参数.

基础自测：

圆：x 2+y 2-4x+6y=0和圆：x 2+y 2-6x=0交于A 、B 两点,则AB 的垂直平分线的方程是

( )

+y+3=0 =0 C.3x-y-9=0 +7=0

答案：C

设计目的：

由平面几何知识知AB 的垂直平分线就是连心线所在直线。

例4已知圆22:(1)(2)25,C x y -+-=直线

:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈

求证：不论m 取什么值，直线l 与圆恒相交；

求直线l 被圆C 截得线段的最短长度，以及此时直线l 的方程。

活动：学生审题,请大家独立思考,多想些办法,教师提示学生注意结论中直线与圆的位置关系，抓住位置的本质内容，展开联想，分析讨论，然后师生共同总结解题方法.

解：（1）证明：由直线:(21)(1)740()l m x m y m m R +++--=∈

得：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0解 ???=-+=-+.

04072y x y x

得：???==.

13y x

∴直线l 恒过定点P （3，1）

∵PO<5, ∴P （3，1）在圆内。

∴不论m 取什么值，直线l 与圆恒交于两点。

（2）从（1）结论可知直线l 恒过定点P （3，1）且于此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆截得的弦长AB 最短,由垂径定理知|AB|=54222=-oP R

又k om k 1=-1, ∴2112=++-m m ，得4

3-=m ，代入直线l 方程 ∴所求直线为2x-y-5=0

点评：不要一味地体现用代数方法来研究来几何问题，对于直线和圆这两种具有丰富几何性质的图形，有时利用几何方法，数形结合，能方便地解决相应的几何问题和代数问题。

基础自测：

1.直线l 经过点P （5，5）且和圆C ：x 2＋y 2=25相交，截得的弦长为54，求直线l 的方程。

答案： k=2

1或k=2，所求直线方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0。 设计目的：

解有关圆的解析几何题目时，有代数法和几何法两种方式，主动的充分的利用几何性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算。

2.已知直线方程3x+4y+3=0，圆C的圆心C(1,1)，半径为r。若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，求半径r的取值范围。

答案：

1

设计目的：

数形结合，利用同心圆系及圆心到直线的距离快速解题。不仅考察直线与圆的位置关系，更是体现解析几何的思想。

设计感想

本节复习课是对已学知识进行归纳、总结,以形成更系统、更完整的知识体系；对已学知识进一步加深理解,强化记忆,是一个再认识、再学习的过程,对已掌握的技能、规律、方法进行深化和进一步熟悉,提高学生分析、理解问题的能力.以圆的方程与直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系和坐标法的复习来加深体会数与形的内在联系.基础自测在于考查、培养学生的应变能力,是否能抓住问题的本质举一反三；通过新旧知识联系,加强横向沟通,考查学生是否具有多角度思考问题,利用不同的方法解决问题的能力.在课堂上进行解题方法的讨论有助于活跃学生思维,促进发散思维的培养,提高思维灵活性,抓住数形结合的数学思想,总结解题规律,充分体现解析几何的研究方法.

教会学生思想方法比教会学生解题重要的多.数学知识将来可能会遗忘,而数学思想方

法会影响一个人一生.

在教学实施的具体过程中，要注意以下两个问题：一是要真正重视学生的主体地位，启动学生的思维，紧密围绕学生已经具备的基础知识和对解析几何的初步认识，教师做好引导，适时提醒补充，及时总结归纳。二是紧扣新课标，区分新老教材的不同点，把握教材特色-----“-阶段性、螺旋式上行的原则”，防止偏题和过难题目的出现。