(整理)平面解析几何教案

第十章 平面解析几何

10.1直线方程 教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 直线的倾斜角与斜率

2. 直线的方程

3. 直线的平行与垂直

4. 两条直线的交点及点到直线的距离 二、教学要求

1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握斜率公式，并会运用。

2. 掌握直线的点斜式、斜截式和一般式方程，能较熟练地根据已知条件求直线方程。

3. 掌握两直线平行和垂直的充要条件，并会熟练运用。

4. 掌握求两直线交点的方法并会运用。

5. 熟记点到直线的距离公式并会运用。 简单介绍直线方程的概念

我们把0kx y b -+=（y kx b =+转换过来）叫做直线l 的方程，反过来说直线l 的方程表示就是0kx y b -+=。

例1 已知直线l 的方程为2360x y ++=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判

断点1(1,1)M -、210

(2,)3

M -

是否在直线l 上。 解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得3x =- 把(0,)y 带入方程，得2y =-

（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。

把1(1,1)M -带入方程左边，左边7=≠右边，所以点不在直线上。 把210

(2,)3

M -

带入方程左边，左边0==右边，所以点在直线上。

例2 已知直线l 的方程为3120x y -+=（1）求直线l 与坐标轴交点的坐标。（2）判断点1(2,6)M --、2(2,3)M -是否在直线l 上。

解：（1）要求坐标轴上的点，我们可以知道在x 轴上坐标(,0)x ，在y 轴上坐标(0,)y 把(,0)x 带入方程，得4x =- 把(0,)y 带入方程，得12y =

（2）要问点是否在直线上，我们只需把点的坐标带入方程，方程左右相等，那么点就在直线上，否则就是不在。

把1(2,6)M --带入方程左边，左边12=≠右边，所以点不在直线上。 把2(2,3)M -带入方程左边，左边21=≠右边，所以点不在直线上。

10.1.1 直线的倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角

（1）定义：沿x 轴正方向，逆时针旋转到与直线重合时所转的最小正角记作?，那么?就叫做直线l 的倾斜角。 （2）图像表示：

（3）倾斜角的范围：0

00180≤?

2、直线的斜率

（1）定义：直线的倾斜角?0

(90)?≠的正切值叫做这条直线的斜率。通常用k 表示。 即tan k =? 0

00(0180,90)≤?

?≠

（2）斜率的四种情况：1、当0

0?=时，0k =； 2、当0

00

90?

时，0k

；

3、当0

90?=时，k 不存在； 4、当0

090

180?，0k

。

（3）已知直线上两点求直线斜率：111(,)p x y 、222(,)p x y 图可不画

2121

y y k x x -=

-(2

1x

x ≠)

若：21x x =，直线垂直与x 轴，这条直线的斜率不存在。 例 1 经过点(3,2)A 、(1,6)B -两点的直线的斜率和倾斜角？ 解：212162

113

y y k x x --=

==----

tan 1k =?=- 0

00(0180,90)≤??≠

135?=

所以直线的斜率为-1，倾斜角为0

135。

例 2 已知直线直线1l 的倾斜角0

60?=，直线1l 与直线2l 互相垂直，求1l 、2l 的斜率？ 解：直线1l

的斜率：011tan tan60k =?=

因为12l l ⊥，000

26090150?=+=

22tan tan150k =?== 例 3 习题 书后练习

8.1.2 直线的方程

1、点斜式方程：00(,)P x y ，斜率k

00()y y k x x -=-

例 1 求经过点(2,4)，倾斜角为0

45的直线的方程? 解：根据已知条件得

02x =、04y =、0

tan 451k ==

带入点斜式方程：

00()y y k x x -=- 41(2)y x -=?- 2y x =+

例 2 已知经过点(1,2)A 、点(3,5)B -的直线方程？ 解：2121523

314

y y k x x --=

==----

带入点斜式方程： 00()y y k x x -=- 3

2(1)4y x -=-?-

311

44

y x =-+

2、斜截式方程：斜率k ，纵截距b

y kx b =+

例 3 求与y 轴交与点(0,3)B -且倾斜角为4

π

的直线方程？ 解：先解释下纵截距b (0,)B b 3b =- tan

14

k π

==

带入斜截式方程； y kx b =+ 3y x =-

例 4 已知横截距为2a =、纵截距2b =-，求直线l 的方程？

解：根据题意得： 点(2,0)、(0,2)- 212120

102

y y k x x ---=

==--

带入斜截式方程；

y kx b =+ 2y x =- 3、直线的一般方程

把上面4个例子改成就行0Ax By c ++=

10..1.3 两直线平行和垂直

1、两直线平行 定义：1

212l l k k ?=

例 1 已知过点(4,3)-且平行与直线250x y +-=的直线方程？ 解：把一般方程改写成斜截式方程 250x y +-=?25y x =-+ 22k =-

1212l l k k ?=

∴12k =- 带入点斜式方程： 00()y y k x x -=- 32(4)y x +=-?-

25y x =-+ 2、两直线垂直

定义：12121l l k k ⊥??=-

例 1 已知过点(1,2)-且垂直与直线250x y +-=的直线方程？ 解：把一般方程改写成斜截式方程 250x y +-=?1522

y x =-

+

212

k =-

12121l l k k ⊥??=-

∴12k = 带入点斜式方程： 00()y y k x x -=- 22(1)y x +=?-

24y x =-

10.1.4 两直线的交点

例 1 书P8 例题

10.1.5 两直线的夹角 （不讲）

1、定义：两直线所形成的最小的角θ角叫两直线的夹角

2、夹角范围：0

090θ≤≤

当0

0θ= ? 1

2l l

当0

90θ= ? 12l l ⊥

3、夹角公式： 21

12

tan 1k k k k θ-=

+

例 1 求直线1l ：220x y -+=和直线2l ：320x y -+=的夹角θ？ 解：根据题意求出两直线斜率 12k =、213

k =

21

1212

3tan 111123

k k k k θ--=

==++?

45θ= 例 2 习题练习

10.1.5 点到直线的距离

点00(,)P x y 到直线方程0Ax By c ++=的距离

d =

（A 、B 不全为0）

例 1 求点(1,3)P -到下列直线的距离：1、230x y +-=；2、31x =；3、1y = 解：1

、d =

=

=

=

2、3 两条直线要么平行与x 轴，要么垂直与x 轴，我们采用图像法更简单。

例2 采用书后习题

10.2 圆及其方程 教学内容及其要求：

一、教学内容 1. 圆的方程

2. 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 二、教学要求

1. 掌握圆的定义、标准方程，会根据已知条件求圆的标准方程。

2. 熟悉圆的一般方程，会根据已知条件求圆的一般方程，会根据所给方程判断是否表

示一个圆，并会进行圆的标准方程和一般方程的互化。 3. 会根据方程讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系。

10.2.1 圆的方程

1、圆的标准方程

2

2

2

()()x a y b r -+-= 其中(,)C a b 为圆心；r 为半径。 例 1 指出下列圆的方程的圆心和半径? 1、2

2

(3)(3)16x y -++= 圆心(3,3)-、4r = 2、2

2

(1)(2)9x y +++= 圆心(1,2)--、3r =

例 2 求以(2,1)C 为圆心的圆与之直线3460x y +-=相切，求此圆的方程？ 解：根据题意得：

r d ==

=

4

5

= 带入圆的方程:

222

()()x a y b r -+-=

2

2

24(2)(1)()5x y -+-=

22

16(2)(1)25

x y -+-=

2、圆的一般方程（已知圆经过三点） 2

2

0x y Dx Ey F ++++=

结合书P15讲解

10.2.2 直线与圆的位置关系

相切、相交、相离

1、 如何判断直线与圆的位置关系

方法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 作比较 d

r 相离

d r = 相切 d

r 相切

例 1 判别直线3430x y -+=与圆2

2

240x y x y +-+=的位置关系 解：根据题意得：

2

2

(1)(2)5x y -++=

圆心(1,2)-、半径r =

d =

14

2.85

== d

r 相离

10.2.3 圆与圆的位置关系

简单介绍下 以书上例子讲解下

10.3 椭圆及其方程 教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 椭圆的定义和标准方程

2. 椭圆的几何性质 二、教学要求

1. 理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程，了解标准方程的推导方法，能根据给定的条件求椭圆的标准方程。

2. 掌握椭圆的几何性质，能根据椭圆的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率。 10.

3.1

椭圆的定义与标准方程

1、椭圆的定义

平面内到两定点1F 、2F 的距离之和为常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。 两定点1F 、2F 叫做焦距，两焦点1F 、2F 间的距离叫做椭圆的焦距。 2、 椭圆的标准方程

（1） 焦点在x 轴上： 22

221x y a b +=

（2） 焦点在y 轴上： 22

221y x a b

+=

10.3.2 椭圆的的几何性质

1、x 轴方程22

221x y a b

+=

（1）图像

（2）a 为长半轴、b 为短半轴、c 为焦半距；2a 为长轴、2b 为短轴；2c 为焦距。 2

2

2

a b c =+

（3）顶点(,0)a ±、(0,)b ±；焦点(,0)c ±。 （4）离心率：c

e a

=

2、y 轴方程22

221y x a b

+=

（1）图像

（2）a 为长半轴、b 为短半轴、c 为焦半距；2a 为长轴、2b 为短轴；2c 为焦距。 2

2

2

a b c =+

（3）顶点(,0)b ±、(0,)a ±；焦点(0,)c ±。

（4）离心率：c e a

=

例 1 已知椭圆方程2

2

416x y +=，求其长轴、短轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标，并指出为何轴方程？

解：将方程化为标准方程

22

1416

x y += 2

16a =、2

4b =

4a =、2b =、c ==

为y 轴方程

长轴28a =、短轴24b =、焦距2c = 顶点坐标(,0)b ±、(0,)a ± (2,0)±、(0,4)± 焦点坐标(0,)c ±

(0,±

例2 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距与长半轴的长的和为10，离心率为1

3

，求椭圆的标准方程？ 解：根据题意得 210c a += 13

c e a =

= 6a =、2c = 2

2

2

32b a c =-=

x 轴方程22

221x y a b

+=

22

13632

x y +=

例 3 椭圆经过(2,0)、(0,3)-，求椭圆方程？ 解：分析题型注意这个两点的特殊性 根据题意得：

3a =、2b =、方程为y 轴方程：22

221y x a b +=

22

22132y x +=

22

194

y x += 例 4 参考书后习题P21-22

10.4 双曲线及其方程 教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 双曲线的定义和标准方程

2. 双曲线的几何性质 二、教学要求

1. 知道双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，了解标准方程的推导方法，能根据给定的条件求双曲线的标准方程。

2. 掌握双曲线的几何性质，能根据双曲线的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。

10.4.1 双曲线的定义和标准方程

1、双曲线的定义

平面内到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值为常数（大于21F F ）的点的轨迹叫做双

曲线。

两定点1F 、2F 叫做焦距，两焦点1F 、2F 间的距离叫做椭圆的焦距。 3、 双曲线的标准方程

（3） 焦点在x 轴上： 22

221x y a b -=

（4） 焦点在y 轴上： 22

221y x a b

-=

10.4.2 双曲线的的几何性质

1、x 轴方程22

221x y a b

-=

（1）图像

（2）a 为实半轴、b 为虚半轴、c 为焦半距；2a 为实轴、2b 为虚轴；2c 为焦距。 2

2

2

c a b =+

（3）顶点(,0)a ±；焦点(,0)c ±。 （4）离心率：c

e a

=

（5）渐近线方程：b y x a

=±

2、y 轴方程22

221y x a b

-=

（1）图像

（2）a 为实半轴、b 为虚半轴、c 为焦半距；2a 为实轴、2b 为虚轴；2c 为焦距。 2

2

2

c a b =+

（3）顶点(0,)a ±；焦点(0,)c ±。 （4）离心率：c e a

=

（5）渐近线方程：a y x b

=±

例 1 已知双曲线方程2

2

416x y -=，求其实轴、虚轴、离心率、顶点坐标、焦点坐标，并指出为何轴方程？ 解：将方程化为标准方程

22

1416

x y -= 2

4a =、2

16b =

2a =、4b =、c ==

为x 轴方程

实轴24a =、虚轴28b =、焦距2c = 顶点坐标(,0)a ± (2,0)± 焦点坐标(,0)c ±

(±

例2 已知双曲线的焦点在y 轴上，焦半距与实轴的长的和为10，离心率为4

3

，求双曲线的标准方程？ 解：根据题意得 210c a += 43

c e a =

= 3a =、4c = 2

2

2

7b c a =-=

y 轴方程22

221y x a b -=

22

197

y x -=

例 3 双曲线经过(2,0)，焦距为6，求椭圆方程？ 解：分析题型注意这个点的特殊性 根据题意得：

2a =、3c =、b ==x 轴方程：22

221x y a b -=

22

145

x x -=

例 4 设双曲线的一条渐近线方程为340x y -=，一个焦点为(0,5)-，求双曲线的方程？

解：根据题意得：

焦点在y 轴上 渐近线方程：a y x b

=±

双曲线方程：22

221y x a b

-=

3

4

a b =、5c =、222c a b =+ 3a =、4b =

22

1916

y x -=

例 5 参考书后习题P27

10.5 抛物线及其方程 教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 双曲线的定义和标准方程

2. 双曲线的几何性质

二、教学要求

1. 知道双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程，了解标准方程的推导方法，能根据给定的条件求双曲线的标准方程。

2. 掌握双曲线的几何性质，能根据双曲线的标准方程求它的范围、焦点坐标、顶点坐标、实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。

10.5 抛物线及其方程

10.5.1 抛物线的定义及其标准方程

1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线，焦点到准线的距离p

(0)p 。

2、标准方程：四个。

10.5.2 抛物线的几何性质

方程所在轴： x 正半轴 x 负半轴 y 正半轴 y 负半轴 标准方程： 2

2y px = 2

2y p x =- 2

2x py = 2

2x p y =- 顶点： 均为原点

焦点坐标： (

,0)2p (,0)2p - (0,)2p (0,

)2

p

- 准线方程： 2p x =- 2p x = 2p y =- 2

p

y =

离心率： 均为1e =

例 1 指出抛物线2

40x y +=的焦点坐标、准线方程？

解：（1）把不是标准方程转换成标准方程 2

4x y =- 24p = 2p = （2）判断方程所在轴 y 负半轴

焦点坐标：(0,)2p

- (0,1)-

准线方程：2

p

y = 1y =

例2 求对对称轴为坐标轴，且过点(5,10)M 的抛物线方程? 解：（1）学会画示意图 判断出方程

x 正半轴 2

2y px =

y 正半轴 2

2x py = （2）带点

2

2y px = 2

2x py =

220y x = 2

52

x y =

例3 参考书后习题P32

10.7 应用举例

例 1 关于

复习以P43页为主

第十一章 计数方法

11.1 两个基本计数原理

教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 分类加法原理

2. 分步乘法原理

二、教学要求

1. 掌握分类加法原理并会运用。

2. 掌握分步乘法原理并会运用。

11.1.1 分类加法原理

说明：P45及其书后习题

11.1.2 分步乘法计数原理

说明：P46及其书后习题

11.2 排列

教学内容及其要求：

一、教学内容

1. 排列的概念

2. 排列数的计算方法

二、教学要求

1. 理解排列的概念，会解决简单的排列问题。

2. 掌握排列数的符号表示和计算公式，并会熟练运用。

3．知道阶乘的概念，掌握符号表示并会计算。

11.2.1 排列的概念

引入2个问题来解决概念

问题1 从4位同学中选一名班长、一名副班长，有多少种选法？问题2 由1、2、3这三个数组成多少没有重复数字的两位数？