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高一函数大题训练及答案
高中函数大题专练１、已知关于的不等式，其中。
⑴试求不等式的解集；
⑵对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否
为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。
２、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（ 2）的条件下，讨论方程解的个数情况。
3.已知函数 .
（ 1）若，求的值；
（2）若对于 xx 成立，求实数的取值范围.
4.设函数是定义在上的偶函数 . 若当时，
（ 1）求在上的解析式 .
（2）请你作出函数的大致图像 .
（3）当时，若，求的取值范围 .
（4）若关于的方程有 7 个不同实数解，求满足的条件 .
5．已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
（3）对于函数若存在区间，使时，函数的值域也是，则称是上的闭函数。若函数是某区间上的闭函数，试探求应满足的条件。
6、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数
的定义域和值域相同。
7．对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点。
（1）已知函数有不动点（ 1，1）和（ -3 ，-3 ）求与的值；
（2）若对于任意实数，函数总有两个相异的不动点，求的取值
范围；
（3）若定义在实数集 R上的奇函数存在（有限的）个不动点，求证：必为奇数。
8．设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为 .
（1）求函数的解析式；
（2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标 .
9．设定义在上的函数满足下面三个条件：
①对于任意正实数、，都有；
②；
③当时，总有 .
（1）求的值；
（2）求证：上是减函数 .
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
11.记函数的定义域为，的定义域为，
（ 1）求：
（ 2）若，求、的取值范围
12、设。
（1）求的反函数：
（2）讨论在上的单调性，并加以证明：
（3）令，当时，在上的值域是，求的取值范围。
13．集合 A 是由具备下列性质的函数组成的：
(1)函数的定义域是；
(2)函数的值域是；
(3)函数在上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数，及是否属于集合 A？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（ I ）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数 f(x)=ax+bx+1 （a,b 为实数） ,F(x)=
（1）若f(-1)=0 且对任意实数x 均有f(x) 成立，求F(x) 表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数, 求实数k 的取值范围。
（3）（理）设 m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x) 为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。
15．函数 f(x)=(a ，b 是非零实常数 ) ，满足 f(2)=1 ，且方程
f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求 a、b 的值；
(2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(m –x)=4 恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点 A( –3,1) 到此函数图象上任意一点 P 的距离 |AP| 的最小值。
函数大题专练答案
１、已知关于的不等式，其中。
⑴试求不等式的解集；
⑵对于不等式的解集，若满足（其中为整数集）。试探究集合能否
为有限集？若能，求出使得集合中元素个数最少的的所有取值，
并用列举法表示集合；若不能，请说明理由。
解：（ 1）当时，；当且时，；
当时，；（不单独分析时的情况不扣分）
当时，。
（2）由（ 1）知：当时，集合中的元素的个数无限；
当时，集合中的元素的个数有限，此时集合为有限集。
因为，当且仅当时取等号，
所以当时，集合的元素个数最少。
此时，故集合。
２、对定义在上，并且同时满足以下两个条件的函数称为函数。
① 对任意的，总有；
② 当时，总有成立。
已知函数与是定义在上的函数。
（1）试问函数是否为函数？并说明理由；
（2）若函数是函数，求实数的值；
（3）在（ 2）的条件下，讨论方程解的个数情况。解：（ 1）当时，总有，满足①，当时，
，满足②
（2）若时，不满足①，所以不是函
数；若时，在上是增函数，则，满足①
由，得，
即，
因为
所以与不同时等于 1
a 1
1 (2x1
1)( 2x1 1)
当时，，
综合上述：
（ 3）根据（２）知：a=1，方程为，
由得
令，则
由图形可知：当时，有一解；
当时，方程无解。
３ . 已知函数 .
（ 1）若，求的值；
（2）若对于 xx 成立，求实数的取值范围.
[ 解]（1）当时，；当时，.
由条件可知，即，
解得 .
，.
（2）当时，，
即.
，.
，
故的取值范围是 .
４. 设函数是定义在上的偶函数 . 若当时，
（ 1）求在上的解析式 .
（2）请你作出函数的大致图像 .
（3）当时，若，求的取值范围 .
（ 4）若关于的方程有7 个不同实数解，求满足的条件. [ 解] （1）当时， .
（ 2）的大致图像如下： .
4
3
2
1
-4-224 6
-1
（ 3）因为，所以
，
a b 2ab 2 ab
解得的取范是 .
（4）由（2），于方程，当，方程有 3 个根；当，方程有
4 个根，当，方程有 2 个根；当，方程无解 . ?1
5 分
所以，要使关于的方程有 7 个不同数解，关于的方程有一个在区的正数根和一个等于零的根。
所以，即 .
５．已知函数。
（1）若函数是上的增函数，求数的取范；
（2）当，若不等式在区上恒成立，求数的取范；
（3）于函数若存在区，使，函数的域也是，称是上的函数。若函数是某区上的函数，探求足的条件。
解：（ 1）当，
且，由是上的增函数，
由，知，所以，即
（2）当，在上 xx 成立，即因，
当即取等号，
，所以在上的最小。
因为的定义域是，设是区间上的闭函数，则且（3）
（4）①若
当时，是上的增函数，则，
所以方程在上有两不等实根，
即在上有两不等实根，所以
，即且
当时，在上递减，则，即，所以
②若
当时，是上的减函数，所以，即，所以
６、设，求满足下列条件的实数的值：至少有一个正实数，使函数的定义域和值域相同。
解：（ 1）若，则对于每个正数，的定义域和值域都是
故满足条件
（2）若，则对于正数，的定义域为，
但的值域，故，即不合条件；
（3）若，则对正数，定义域，
的域，
上所述：的0 或
７．于函数，若存在，使成立，称点函数的不点。
（1）已知函数有不点（ 1，1）和（ -3 ，-3 ）求与的；
（2）若于任意数，函数有两个相异的不点，求的取
范；
（3）若定在数集 R上的奇函数存在（有限的）个不点，求：必奇数。
解：（ 1）由不点的定：，∴
代入知，又由及知。
∴，。
（2）任意数，有两个相异的不点，即是任意的数，方程有两个相异的数根。
∴中，
即 xx 成立。故，∴。
故当，任意的数，方程有两个相异的不
点。??? ...................
（3）是 R 上的奇函数，则，∴（ 0，0）是函数的不动点。
若有异于（ 0，0）的不动点，则。
又，∴是函数的不动点。
∴的有限个不动点除原点外，都是成对出现的，
所以有个（），加上原点，共有个。即必为奇数
８．设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为 .
（1）求函数的解析式；
（2）若直线与只有一个交点，求的值并求出交点的坐标 .
解．（ 1）设是上任意一点，①
设 P 关于 A（2，1）对称的点为
代入①得
1
g ( x) x 2( x (,4) ( 4,));
x 4
（2）联立
或
（1）当时得交点（ 3，0）；（2）当时得交点（5，4）.
9．设定义在上的函数满足下面三个条件：
①对于任意正实数、，都有；
②；
③当时，总有 .
（1）求的值；
（2）求证：上是减函数 .
解（ 1）取 a=b=1，则
又.且.
得：
（2）设则：
依
再依据当时，总有成立，可得
即成立，故上是减函数。
10．已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。
解：（ 1）时，，则，∵函数是定义在上的奇函数，即，∴，即，又可知，∴函数的解析式为，；
（2），∵，，
∴，∵ ，∴，
即时，。
猜想在上的单调递增区间为。
（3）时，任取，∵，∴在上单调
递增，即，即，，∴，
∴，∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。
11.记函数的定义域为，的定义域为，
（ 1）求：
（ 2）若，求、的取值范围
解：（ 1），
（ 2），由，得，则，即
，。
12、设。
（1）求的反函数：
（2）讨论在上的单调性，并加以证明：
（3）令，当时，在上的值域是，求的取值范围。
解：（ 1）
（2）设，∵∴时，，∴在上是减函数：时，，∴在
上是增函数。
（3）当时，∵在上是减函数，
∴，由得，即，可知方程的两个根均大于，即，当时，∵在上是增函数，∴（舍去）。综上，得。
13．集合 A 是由具备下列性质的函数组成的：
(1)函数的定义域是；
(2)函数的值域是；
(3)函数在上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数，及是否属于集合 A？并简要说明理由．
（Ⅱ）对于（ I ）中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
解：（ 1）函数不属于集合 A. 因为的值域是 , 所以函数不属于集合 A.( 或，不满足条件 .)
在集合 Axx, 因为 :① 函数的定义域是；②函数的值域是；
③ 函数在上是增函数．
（2），
对于任意的总成立
14、设函数 f(x)=ax+bx+1 （a,b 为实数） ,F(x)=
（1）若 f(-1)=0且对任意实数x均有f(x)成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下, 当x 时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数, 求实数k 的取值范围。
（3）（理）设 m>0,n<0且 m+n>0,a>0且 f(x) 为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0 。
解：（1）f(- 1)=0 ∴由f(x)0 恒成立知△ =b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0
∴a=1 从而f(x)=x+2x+1 ∴F(x)= ，
由于（ 2）由（ 1）可知 f(x)=x+2x+1∴g(x)=f(x)
g(x) 在上是单调函数 , 知- 或- ，得 k-2 或 k6
-kx=x+(2-
k)x+1 ，
，（3）f(x) 是偶函数，∴ f(x)=f(x) ，而 a>0∴在上为增函数
对于 F(x) ，当 x>0 时-x<0 ，F(-x)=-f(-x)=-f(x)=-F(x)
时-x>0 ，F(-x)=f(-x)=f(x)=-F(x)，
，当x<0 ∴F(x) 是奇函数且 F(x) 在上为增函数，
m>0,n<0，由 m>-n>0知 F(m)>F(- n) ∴F(m)>-F(n)
∴F(m)+F(n)>0。
15．函数 f(x)=(a ，b 是非零实常数 ) ，满足 f(2)=1 ，且方程
f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求 a、b 的值；
(2)是否存在实常数 m，使得对定义域中任意的 x，f(x)+f(m –x)=4 恒成立？为什么？
(3)在直角坐标系中，求定点 A( –3,1) 到此函数图象上任意一点 P 的距离 |AP| 的最小值。
解(1) 由 f(2)=1 得+b=2，又 x=0 一定是方程 =x 的解，
所以 =1 无解或有解为 0，若无解，则 ax+b=1 无解，得 a=0，矛盾，若有解为 0，则 b=1，所以 a=。
(2)f(x)= ，设存在常数 m，使得对定义域中任意的 x，
f(x)+f(m –x)=4 恒成立，
取x=0， f(0)+f(m –0)=4 ，即 =4，m=–4( 必要性 ) ，又 m=–4
，f(x)+f( –4–x)== ?? =4 成立 ( 充分性 ) ，所以存在常数 m=–4，使得定域中任意的 x，f(x)+f(m –x)=4 恒成立，
(3)|AP|2=(x+3)2+()2 ， x+2=t ，t ≠0， |AP|2=(t+1)2+()2=t2+2t+2 –+=(t2+)+2(t –)+2=(t –)2+2(t –)+10 =( t –+1)2+9，
所以当 t –+1=0 即 t= ，也就是 x=， |AP| min = 3。
16、已知函数是奇函数。
（1）求的；
（2）它的性，并予明。解（ 1）是奇函
数，；
即，解得：，其中（舍）；
当，确是奇函数。
（2）先研究在（ 0，1）内的性，任取 x1、x2∈（ 0，1），且 x1 f ( x1 ) 由 2 x 1 2 1 x1 2 1 x2 f (x2 ) x1 log 2 1 x1 x2 log 2 1 x2 2 2 2 1) log 2 ( 2 ( ) [log 2 ( 1)], x1 x2 1 x2 1 x1 2 2 1) log 2 ( 2 0,log 2 ( 1 x2 1) 0, x2 1 x1 得 >0，即在（ 0，1）内减； 由于是奇函数，其图象关于原点对称，所以函数在（－1，0）内单调递减。