专题三 反比例函数试题的解题思路

专题三 反比例函数试题的解题思路

一、方法简述

初中学生首先学习的曲线就是反比例函数的图象，中考的反比例函数试题一般是与一次函数相结合，由于解析式的特征，不但能以函数图象为载体考查几何，而且能够以解析式为载体考查代数，如分式的变形运算等，是中考的热门题型，解决此类问题的关键是数形结合思想、函数与方程思想以及代入法，代定系数法的灵活应用。

二、常用方法

1.求反比例函数解析式的方法：①求反比例函数图象经过一点的坐标，利用代入法；②利用几何图形的数量关系来确定；③利用实际问题中的数量关系来确定；

2.从反比例函数x k

y =的图象上一点，作两坐标轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为k ； 3.反比例函数x

k

y =图象上的两个点1P （1x ，1y ）

、2P （2x ，2y ），则k y x y x =?=?2211。

三、典例分析

例1：如图，直线b kx y +=1与双曲线x

m

y =2相交于(21)(1)A B n -，

，，两点． （1）当x 为何值时？21y y > ；

（2）把直线b kx y +=1平移，使平移后的直线与坐标轴 围成的三角形面积为2，求平移后得到的直线解析式. 解：（1）根据图象，当2- （2）∵212-=?-=m ∴x

y 2

2-

= 21-=?n -=n ∴B (1，-2)根据题意得：??

?-=+=+-212b k b k …解得：?

??-==1b k 1

直线11--=x y 与坐标轴的交点分别为C （0，-1）、D （-1，0) 方法一：

设把直线11--=x y 向上平移a 个单位长度，所得到的直线为1-+-=a x y 该直线与x 轴相交于F ，于y 轴相交于E ,则E （0，1-a ） ∵EF ∥DC ∴1-==a OF OE ∴EOF S ?=

2)1(2

1

2=-a 解得：31=a ，12-=a 所以平移后所得到的直线为2+-=x y 或2--=x y 方法二：

设把直线11--=x y 向右平移a 个单位长度，所得到的直线为1)(---=a x y 即1-+-=a x y

该直线与x 轴相交于F ，于y 轴相交于E ,则E （0，1-a ） ∵EF ∥DC ∴1-==a OF OE

∴EOF S ?=

2)1(2

1

2=-a 解得：31=a ，12-=a

所以平移后所得到的直线为2+-=x y 或2--=x y

评析：第（1）小题，实际上是求直线在双曲线上方部分的自变量x 的取值范围，所以要先求出点B 的坐标，然后根据图象就可以直接写出自变量x 的取值范围；

第（2）小题只要求出平移后的直线与坐标轴的交点坐标问题就迎刃而解，要注意平移方向与平移距离a 之间的关系。

例2：探索发现：如图1，过ABC ?的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫ABC ?的“水平宽（a ）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做ABC ?的“铅垂高（h ）”，我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=

?，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）

应用求值：

（1）如图2，A 、B 是直线x y 3

2

=

上的两个动点，横坐标分别为A x 、B x ，6=-A B x x ，且B A x x <<4，点C （4，5）.求：ABC ?的面积；

（2）如图3，直线2--=x y 与双曲线x

k

y =（0

（3）如图4，A 、B 是双曲线x

k

y =

（0>k ）在第一象限上的两点，AD ⊥x 轴于D 交OB 于C 点，O COD AOB 30=∠=∠，1=CD ，求：k 的值及AOB ?的面积.

解：（1）过C 作CD ∥y 轴交直线x y 3

2

=

于D 如图： 当4=x 时，38=y )38,4(D 37385=-=CD 73

7

621)(21=??=?-=?CD x x S A B ABC

（2）2--=x y ，当0=x 时，2-=y 2=OC

图4

图3

图2 图1

C

记点A 的横坐标为A x ，点B 的横坐标为B x . ∵6=?AOB S ∴

6)(2

1

=?-OC x x A B ∴6=-A B x x 设点A 的横坐标为m ，则点B 的横坐标为)6(+m

∴A (m ，2--m )，[]2)6()6(-+-+m m B ，

∴[]2)6()6()2(-+-+=--m m m m 解方程得：4-=m ∴A (4-，2) 8-=k

（3）∵O COD 30=∠，O

CDO 90=∠,1=CD ∴22==CD OC

∴3122222=-=

-=CD OC OD

∵0

3030309090=--=∠-∠-=∠COD AOC OAD ∴AOC OAD ∠=∠ ∴2==OC AC ∴3=AD ∴A (3，3) ∴33=k

直线OC 为x y 33=

， 设点B （b ，b

3

3），则b b 3333=， 92=b

3=b 或3-=b （不合题意舍去） 所以AOB ?的水平宽为3. 3322

1

=??=

?AOB S 评析：“探索发现----应用求值”与“阅读理解----创新应用”类似，解题时，要认真阅读“阅读理解”部分的内容，确实理解所用的知识、方法，并作为应用中的借鉴；把新的三角形面积计算方法应用在直角坐标系中，A 、B 两点横坐标之差，就是水平宽，O 、C （或A 、C ）两点纵坐标之差便为铅垂高。

四、强化训练

1.如图，一次函数k kx y +=的图象与两坐标轴围成的三角形（阴影部分）的面积是

1

，与反比例函数x y 6=

的图形相交于点P （a ,b ）和Q （m ，n ）， 求mn b n m a ++-+)()(的值.

2.如图，已知直线AB 与x 轴交于点C ，与双曲线x k y =交于A （3，3

20）、B （5-，a ）两点.x AD ⊥轴于点D ，BE ∥x 轴且与y 轴交于点E .

（1）求点B 的坐标及直线AB 的解析式； （2）判断四边形CBED 的形状，并说明理由.

3.已知反比例函数x

m y 8

-= (m 为常数)的图象经过点A (1-，6）． （1）求m 的值；

（2）如图，过点A 作直线AC 与函数x

m y 8

-=的图象交于点B ，与x 轴交于点C ， 且BC AB 2=，求点C 的坐标．

4.已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数)0(≠+=a b ax y 的图象与反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的图象交于一、三象限内的A ．B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（2,m )，点B 的坐标为（n ，2-），

5

2

t a n =

∠B O C 。（l ）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得BCE ?与BCO ?的面积相等，求出点E 的坐标．

5.如图，在矩形OABC 中，OA 、OC 两边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3=OA ，2=OC ，过OA 边

第 5 题图

上的D 点，沿着BD 翻折ABD ?，点A 恰好落在BC 边上的点E 处，反比例函数x

k

y =)0(>k 在第一象限上的图象经过点E 与BD 相交于点F .

（1）求证：四边形ABED 是正方形；

（2）点F 是否为正方形ABED 的中心？请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，A (16，O )、C （O ，8），四边形OABC 是矩形，D 、E 分别是OA 、

BC 边上的点，沿着DE 折叠矩形，点A 恰好落在y 轴上的点C 处，点B 落在点'B 处． （1）求D 、E 两点的坐标；

（2）反比例函数(0)k y k x

=>在第一象限内的图象经过E 点，判断点'

B 是否在这个反比例函数的图象上？并

说明理由；

（3）点F 是（2）中反比例函数的图象与原矩形的AB 边的交点，点G 在平面直角坐标系中，以点D 、E 、F 、

G 为顶点的四边形是平行四边形，求G 点的坐标。

7.探索发现：如图1，过ABC ?的三个顶点分别画出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线间的距离叫做ABC ?的“水平宽（a ）”，中间的直线在三角形内部的线段叫做ABC ?的“铅垂高（h ）”，我们可以得出一

图 3

图 1

A

种计算三角形面积的新方法：ah

S

ABC2

1

=

?

，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.（不必证明）

应用求值：

（1）如图2，在直角坐标系中，A(2，3)、C（6，0）,点B在第一象限，x

BF⊥轴于F点，交AC于

点E，

3

10

=

AE，4

=

BF.求：

ABC

S

?

（2）①如图3，A、B是反比例函数)0

(>

=k

x

k

y的图象在第一象限上的两点，过A作x

AC⊥轴于C，交OB于D，1

=

CD，连接AB，9

=

?AOB

S，点B的横作标为6，求点A的坐标及k的值.

②如图3，M、N是①中反比例函数图象上两个动点

．．，M、N的横作标分别为m、n（n

m<

<

0），

9

M ON

=

?

S，求：

n

m

的值.

8.如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线

x

k

y=)0

(>

k经过边OB的中点C和AE 的中点D，已知等边△OAB的边长为4．

(1)求该双曲线所表示的函数解析式；

(2)求等边△AFE的边长．

9.如图，点A是反比例函数

x

m

y=

1

在第一象限的图象上一个动点，过点A作AB∥y轴交反比例函数

x n

y =

2的图象于B 点（0>>n m ），分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足为D 、C ，连接AC 交反比例函数x

n

y =2的图象于F 点.

（1）求：矩形ABCD 的面积（用含n m 、的代数式表示）； （2）若点F 恰好是矩形ABCD 的中心.

①求：n

m

的值

②若0

30=∠ACB ，其它的条件不变，判断AEF ?的形状，并说明理由.

10.如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在y 轴正半轴上．点E 是边AB 上的—个动点(不与点A 、B 重合)，过点E 的反比例函数(0)k

y x x

=

>的图象与边BC 交于点F 。 （1）若OAE ?、OCF ?的而积分别为12S S 、．且12=2S S +，求k 的值： （2）若2=OA ．4=OC ．问当点E 四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少

专题三、反比例函数

1.解：直线与y 轴交点为（0，k ），与x 轴交点为（-1,0）

∴

2

1

121=??k ∴一次函数为：1+=x y ∴1+=a b 、1+=m n 又∵6==mn ab 所以461)()(=+----+=++-+m a a m a mn n b m a 2．解：（1）∵双曲线x k y =

过A （3，320

），∴20=k .把B （-5，a ）代入x

y 20=,

得4-=a . ∴点B 的坐标是（-5，-4）. 设直线AB 的解析式为n mx y +=，将 A （3，

3

20

）、B （-5，-4）代入得， ?????+-=-+=n

m n

m 5433

20， 解得：38,34==n m .∴直线AB 的解析式为：3834+=x y . （2）四边形CBED 是菱形.理由如下: 点D 的坐标是（3,0），点C 的坐标是（-2,0）. ∵ BE ∥x 轴， ∴点E 的坐标是（0,-4）. 而CD =5， BE=5， 且BE ∥CD . ∴四边形CBED 是平行四边形.

在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2，

∴ ED ＝2243+＝5，∴ED ＝CD .∴□CBED 是菱形.

3.解：（1）618?-=-m ，2=m

（2）分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E . 则CBE ?∽CAD ?，

3

1

==AD BE CA CB ∵6=AD ∴2=BE

在x

y 6

-=中，当2=y 时，3-=x ∴2)3(1=---=ED ∴12

1

==ED CE

∴C (-4,0)

4.解：（1）过B 点作BD⊥x 轴，垂足为D ， ∵B（n ，﹣2），∴BD=2， 在Rt△OBD 在，tan∠BOC=

，即

=，解得OD=5，

又∵B 点在第三象限，∴B（﹣5，﹣2）， 将B （﹣5，﹣2）代入y=中，得k=xy=10， ∴反比例函数解析式为y=，

将A （2，m ）代入y=

中，得m=5，∴A（2，5），

将A （2，5），B （﹣5，﹣2）代入y=ax+b 中，

第 5 题图

得，解得，

则一次函数解析式为y=x+3；

（2）由y=x+3得C （﹣3，0），即OC=3， ∵S △BCE =S △BCO ，∴CE=OC=3， ∴OE=6，即E （﹣6，0）．

5.解：（1）∵四边形OABC 是矩形 ∴3==OA BC 、2==OC AB 0

90=∠=∠ABE DAB

∵BED ?是由ABD ?沿着BD 翻折得到的

∴0

90=∠=∠DAB BED ，BE BA =

∴四边形ABED 是正方形

（2）F 点是正方形ABED 的中心 理由：过F 作x FH ⊥轴于H ，如图：

∵四边形ABED 是正方形 ∴2==BA BE ，123=-=-=BE BC CE ∴E (1，2) ∴221=?=k

∵D (1，0)、B (3，2) ∴直线BD 为1-=x y 设F （a ，1-a ），则2)1(=-a a ， 解得：21=a ，12-=a （不合题意舍去） ∴F （2，1），H （2，0） ∵0

45=∠ADB

∴222==AD BD ，22==DH DF

∴BF BD DF ==

2

1

∴F 点是正方形ABED 的中心.

6. 解：（1）OA=16，OC=8，设OD=m ，则CD=DA=16-m ， 在Rt △COD 中，∠COD=900

∵CD 2

=OC 2

+OD 2

∴(16-m)

2

=82+m 2

，m=6 ∴D(6，0) ∵四边形OABC 是矩形

∴OA ∥CB ，∴∠CED=∠EDA ，又∵∠EDA=∠CDE ，∴∠CED=∠CDE ，∴CE=CD=10， E(10，8)

（2）过B '

作B '

M ⊥BC 于M 如图1. B '

B '

E=BE=6，∠C B '

E=900

，

B '

M=

8.410

6

8''=?=?CE E B CB CM=4.62'2'=-M B C B ， B '

（6.4，12.8） k=10×8=80，y=

x

80

，∵ 808.124.6≠? 图1 ∴点B '

不在这个反比例函数的图象上。

（3）当x=16时，y=5 F(16，5)，有三种情况如图2： ①把线段DE 先向右平移10个单位长度，再向上平移5 个单位长度，端点E 落在G 1处，G 1（20，13）； ②把线段EF 先向左平移4个单位长度，再向下平移8 个单位长度，端点F 落在G 2处，G 2（12，-3）；

③把线段DF 先向左平移6个单位长度，再向上平移3 图2

个单位长度，端点D 落在G 3处，G 3（0，3）； 综上所述，在直角坐标系中存在：G 1（20，13）、G 2（12，-3）、G 3（0，3）使得以D 、E 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形。

7. 解：（1）过A 作AD ⊥x 轴于D.则AD=3，OD=2，DC=4

534AD DC AC 2222=+=+=

∵BF ⊥x 轴，AD ⊥x 轴 ∴AD ∥EF ∴△CEF ∽△CAD

∴AD EF CA CE = ∴3

EF 5310

-5= EF=1, S ABC ?=BE DC 2

1?=

61)-(442

1

=?? (2) ①过B 作BE ⊥x 轴于E 。

设A （a ，a k ）、B(6，)6k 则CE=(a -6)，BE=6

k 直线OB 为：x k

y 36

= ∴D(a ，

36ak ) ∴36

ak

DC =

=1…（Ⅰ） ∵AD=)1(-a

k

，9=?AOB S

∴ 9)1621=-?a

k （ ∴a k 4= (Ⅱ)

把（Ⅱ）代人（Ⅰ）解得12±=k ∵0>k ∴12=k ∴A(3，4)、B （6，2）

（3）过M 作MA ⊥x 轴于A ，过N 作NB ⊥x 轴于B,连接 ON 交MA 于点C. 直线ON 为：x n y 212=

当x=m 时，y=212n

m

∴C(2

12,

n m m ) MC=m 12-212n m

又∵MC=n 92OB 2S MON ?=?

∴

m 12-212n m =n

18 ∴mn m n 1812122

2=- ∴0)2)(2=-+n m n m （ ∵0>>m n ∴2

1

=n m

8.解：(1)过点C 作CG ⊥OA 于点G ， ∵点C 是等边△OAB 的边OB 的中点， ∴OC ＝2，∠AOB ＝60°， ∴OG ＝1，CG ＝，

∴点C 的坐标是(1，)， 由

＝，得：k ＝

，

∴该双曲线所表示的函数解析式为y ＝

；

(2)过点D 作DH ⊥AF 于点H ，设AH ＝a ，则DH ＝a ．

∴点D 的坐标为(4＋a ，)， ∵点D 是双曲线y ＝

上的点，

由xy ＝，得(4＋a )＝，

即：a 2

＋4a －1＝0，

解得：a 1＝－2，a 2＝－－2(舍去)， ∴AD ＝2AH ＝2－4，

∴等边△AEF 的边长是2AD ＝4－8． 9. 解：设A(a m a ,)，则B （a

n a ，）、C(0，a n )

（1）AB=

a

n

m - AD=a n m S -=?=CD AB A BCD 矩形

（2）①过点F 作FG ⊥BC 于G. ∵点F 是矩形ABCD 的中心

∴点F 坐标为 （,21a a

n m 2+） 把点F （,21a a n m 2+）代入x n y =2得：a n

a

n m 2

12=

+ 化简得：n m 3= ∴3=n m ②△AEF 是直角三角形

理由：由①得n m 3=，∴A(a n a 3,) ，在x n y =2中，当y=a n 3时，a x 31= AE=a 32

∵∠ACB=300，∠ABC=900 ∴tan300=BC AB ∴3

32=a a n

∴263a n =

∴AB=AF=

a a n 332= ∴a 3

3

2AC =

∵3333==a a AD AF 3

33

3232==a a

AC AE ∴AC AE AD AF = 又∵∠EAF=∠CAD ∴△EAF ∽△CAD ∴∠EFA=∠CDA =900

所以△AEF 是直角三角形. 10. 解：（1）∵点E 、F 在函数(0)k

y x x

=

>的图象上， ∴设111()(0)k E x x x >，，222()(0)k F x x x >， ∴111122

k k

S x x =??=，222122k k S x x =??=

∵12=2S S +，∴

222

k k

+=，2k =。 （2）∵四边形OABC 为矩形，OA=2，OC=4，设(2)2

k E ， ，(4)4

k F ，

∴BE=42k -

，BF=24

k - ∴2

11(4)(2)422416BEF k k S k k ?=--=

-+ ∵14242

OCF k k

S ?=??=，24=8OABC S =??矩形

∴2211=844162162

BEF OCF OABC OAEF k k S S S S k k k ??--=--+-=-++矩形四边形（） =2

1(4)516

k --+ ∴当4k =时，5OAEF S =四边形，∴AE=2.

当点E 运动到AB 的中点时，四边形OAEF 的面积最大，最大值是5.