南京大学《高等代数》2013年期末考试题及答案

南京大学

高等代数2013年期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()

()11L x L x -+=

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：

（A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ ）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

??

??

?

?

?

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1

20V V =

则12V

V V =⊕。

2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

4

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

2、（1）求线性空间[]3P x 中从基()()()2

:1,1,1I x x --到基

()()()2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标。

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（1） 证明：这是R 2的一个内积。 （2） 求R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）

1、 设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){

}

11

23

12

32

123123,

,0,,,0W x x x x x x W x x x x x x

=

++==--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,

i W i r α∈=A

3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>

参考答案

一、 填空题（每小题3分，共15分）

1、线性空间[]P

x 的两个子空间的交()

()11L x L x -+={}

2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是

1C X

-

3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系

4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2

1,,1,λλ

λ+

则其特征矩阵E A λ-的标准形是

()10

000001λλλ?? ? ? ?+??

5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：

A A X A

B ''=

二、 单项选择题（每小题3分，共15分）

2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：

（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；

（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ D ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；

（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;

A A

B A λλ≠是一个非零常数；

()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。

4、（ C ）设实二次型

f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：

222

1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：

()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。

5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：

()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---??

??

??

?

?

?

--- ? ? ? ? ? ?---??????

()D 以上各情形皆有可能。

三、 是非题（每小题2分，共10分）

（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}1

20V V =

则12V

V V =⊕。

2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。

3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。

4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。

5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。

四、 解答题（每小题10分，共30分）

1、在线性空间4

P 中，定义线性变换：

()()()(

)

4

,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P ''

'=++?∈A

（1）求该线性变换A 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==

()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；

（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。

解：（1）线性变换A 在自然基下的矩阵是1

000010010100101A ??

?

?

= ?

?

??

（5分）

（2）因为

()

4

1E A λλ-=-

所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====

解齐次线性方程组

()0E A X -=

得矩阵A 的所有特征向量：

()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。 （5分）

2、（1）求线性空间[]3P x 中从基()()()2

:1,1,1I x x --到基

()()()

2

:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；

（2）求线性空间[]3P

x 中向量()2123f x x x =-+在基

()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标。

解：（1）因为()()

(

)

()2

21111,1,11,,012001x x x x -??

?

--=- ? ???

()()()

()2

21111,1,11,,012001x x x x ?? ?

++= ? ???

所以

()()

(

)()()

(

)

1

2

2

1111111,1,11,1,1012012001001x x x x --????

? ?++=--- ? ? ? ?????

()()

(

)

2

1111111,1,1012012001001x x ???? ???=-- ??? ???????

即所求的过渡矩阵为124014001??

?

? ???

（5分）

（2）因为

()()()(

)

2

2

1111,,1,1,1012001x x x x ??

?=-- ? ???

()()

(

)

2

1241,1,1014001x x ?? ?=-- ? ???

故()()2211231,,23f x x x x x ??

?=-+=- ? ???

()()

(

)

()()2

211111,1,10122241310013x x x x ????

???

=---=+-+- ??? ???????

所以()f x 在基()()()2

:1,1,1I x x --下的坐标是：243??

? ? ???

（5分）

3、在R 2中，()()1212,,,a a b b α

β?==，规定二元函数：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

（3） 证明：这是R 2的一个内积。 （4） 求R 2的一个标准正交基。 （1）证明：

()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+

()112211,14b a a b -??

??= ? ?-????

因为1114-??

?-??

是正定矩阵，

所以这个二元函数是R 2的一个内积。 （5分） （2）解：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-?? ?-??

令：()1

11,0,αε==

()()()()

()

212122*********,,1

1,1,,1εαεεαεαεεεεααεε-=-=-=-=

再令：)111221211

,1,1βααβααα==== 则12,ββ是R 2的一个标准正交基。 （5分） （2）解法二：考察自然基()()121,0,

0,1εε==

它的度量矩阵正是1114-??

?-??

(

()

22

1212

1

01110101010140103110113r r r c

c c ???+?-??? ? ?

-+??????

令：()()12121,,0ααεε?= ?即：(

()11

21,1αεα=???=??

则12,αα 的度量矩阵是E ，从而是R 2的一个标准正交基。

五、 证明题（每小题10分，共30分）

2、 设P 3的两个子空间分别为：

(){}(){

}

11

23

12

32

123123,

,0,,,0W x x x x x x W x x x x x x

=

++==--= 证明：（1）3

12P W W =+；

（2）12W W +不是直和。

证明：（1）W 1的一个基是：()()121,1,0,1,0,1αα=-=-

W 2的一个基是：()()121,1,0,1,0,1ββ==

因为()12

1212,,,W W L ααββ+=

其中121,,ααβ是12W W +的生成元的一个极大无关组 从而是12W W +的一个基， 所以()31212dim

3W W P W W +=?=+ （5分）

（2）因()1212dim 2,dim 2,dim 3W W W W ==+=

即()121dim

dim dim W W W W +≠+

所以12W W +不是直和。 （5分） （2）之证法二：因为()(

)

{}120,1,10W W L =-≠ 所以12W W +不是直和。

2、设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是A 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,

i W i r α∈=A 证明：（充分性）设有()1,2,...,i W

i r α∈=A

1122...r r k k k W

αααα?=+++∈

1122...r r k k k W αααα?=+++∈A A A A

()12,,...,r W L ααα?=是A 的不变子空间。 （5分）

（必要性）设()12,,...,r W

L ααα=是A 的不变子空间，

由()(),1,2,...,,1,2,...,i i W i r W i r αα∈=?∈=A （5分） 3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）

23n A E +>

证明：（1）设A 的特征值为12,,...,n λλλ

因为A E -是正定矩阵， 故其特征值()10,1,2,...,i

i n λ->=

于是A 的特征值()1,1,2,...,i

i n λ>=

所以A 是正定矩阵。 （5分） （2） 因为A 的特征值()1,1,2,...,i i n λ>= 所以A+2E 的特征值()23,1,2,...,i i n λ+>=

()1

223n

n i i A E λ=?+=+>∏ （5分）