考试课后题答案

2 二 证明题

2. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为?=

v

dv x t x t p ,

,,),()(

ρ利用电荷守恒定律0=??+??t J ρ 证明的变化率为?=v

dv t x J dt p

d ,,),(

解：

?=v

dv x t x t p ,,,),()(

ρ (T 就是方向符号)

,x 与时间无关，取的)(t p

一个分量为

????????+??-=???+??-=??-====v

i s

i i v

i i v i i v i i v i i i i v

i i dv J s d J x dv J x dv J x dv J x dv t x x t p

dt t dp dv x t x t p ,

,

,,,

,,,,,,,,,,

,

,)()()(),()()(),()( ρρ（p 上的乱码为p 上一个点，rou 也是，dv 后都有一小撇）

考虑到积分区域的表面比电荷所在区域大得多时，表面上的电流为0。s d J x s

i i

???)(,=0

所以 ??=v

i i dv J dt t dp ,)

(

故得 ?=v

dv t x J dt p

d ,,),(

3.证明：

（1） 两种介质的分界面上不带自由电荷时，电力线的曲折满足

12

1

2

tan tan εεθθ=

，其

中1ε和2ε分别为两种介质的介电常数，1θ和2θ分别为界面两侧电力线与法线的夹

角.

（2） 当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电力线曲折满足

12

1

2

tan tan σσθθ=

，其中2,1,σσ分别为两种介质的电导率。

解：（1）考虑到界面上无自由电荷，故知：

12

122

222

2111112

221112

2112112221121tan tan cos sin cos sin sin sin 0

)(cos cos εεθθθεθθεθεεθθθθ=======-?==即得故

即且即E E E E E D E D E E E E E E n D D D D t t n n

（2）一直导电介质内流有稳恒电流故

221121cos cos 0θθJ J J J J n n ===??即可知

又知稳恒电流的电场与静电场之边界条件相同，故

12

12

2

211122

22111211121tan tan sin cos sin cos sin sin σσθθθθσθθσσσθθ======即故得

且即E J E J E E E E t t

10.设A 和?是满足洛伦兹规范的失势和标势。引入一矢量函数(,)Z x t （即赫芝势），使Z ?=-?，证明2

1Z A c t

?=

?； （字母上边的均为方向符号，其中g 为称号） 证明：在洛伦兹规范 2

10A c t

?

??+=? （1） 下A 和?遵从达朗贝尔方程：

22

0221A A J c t μ??-=-?，22

0221/c t

??ρε??-=-? （2）

将Z ?=-? （3） 代入（1）式得2

1(Z

A c t

??-

?）=0 （4） 因为（1）式对任意点任意时刻都成立，故方程（4）对任意点任意时刻也成立，因此括号内两个矢量最多只相差一个无散场，令其为0，便有21Z

A c t

?=? （5）

三 计算题

1 有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球，介质的介电常数为ε，使介质内均匀带静止电荷f ρ，求

（1） 空间各点的电场

（2） 极化体电荷和极化面电荷分布 解：（1）空间各点的电场由于自由电荷均匀分布在介质球内，电场具有球对称性分布，利用高斯定理可解得

?????

?????<<<->=)

(0)(3)()(31213

0313

23012r r r r r r r r r r r

E f f ερε （3） 极化体电荷和极化面电荷分布：

在（)21r r r <<范围内存在极化体电荷p ρ

P p ?-?=ρ E E P r e

00)1(εεεχ-== ε

ρf E =?? ε

ρεεεερf

r p E )()1(00--=??--=∴ )(21r r r <<

或f p ρε

ερ)1(0

-

-= 在r=r 2 球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r2)

2012)1()(2

E n P P n r p

εεσ-?-=-?-=

)

()1(3)()

(3)()1(3)(20

2

2

3

1323

2

3

13

20

3

2

3

1322r r r r r r r r r r

r n r r r r E f

f

r p f =-

-=

----=∴-=?-=ε

ερερεεσερ

在r=r 1的球面上的极化面电荷p σ (前边是r=r1)

00

)(1

2,2,02,33,2,

=∴===-?-==p r r e p E E P P P P n σεχσ

2.内外半径分别为r 1和r 2的无穷长中空导体圆柱，沿向流有稳恒自由电流J f ，导体的磁导

率为。求磁感应强度和磁化电流。

解：沿中空倒替圆柱轴向流动的均匀自由电流J f 所产生的磁感应强度具有轴对称性，因而

可应用安培环路定律求B 三个不同区域的B

可分别算出

????

??

??

<<<->=)

(0)(2)()(21213

21223

120r r r r r r r r r r r B μ 现在计算磁化电流：

f

f r m M m M J J H J H M M J )1()1(0

-=-=??==??=μμ

μχχ 磁化电流面密度为H n M n m M

?-=?-=χα

n

是柱面外法线单位矢径

当r=r2时，f M f J r r r r J r r r H H

2

2

212202

2

2

12222)1(22

---=∴?-==μμ

α 当r=r1时 00

12=∴==M H H α

16. 在接地的导体平面上有一半径为a 的半球凸部（如图），半球的球心在导体平面上，点

电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （b >a ），试用电象法求空间电势。

解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电荷附近置一接地导体球两个

模型，可确定三个镜像电荷的电量和位置。

Q b a

Q -=1，z b a e r 21=；Q b

a Q =2，z

b a e r 22-=； Q Q -=3，z b e r -=3，所以

)

,2

0(,

]cos 2cos 2cos 21

cos 21

[

42

2

422

242

22220a R R b a

b

a R

b a

R b a b

a R

b a

Rb b R Rb b R Q ><≤-++

+++

++-

-+=

πθθθ

θθ

πε?

Q θQ b a

-Q b

a Q -R P

O

17.有一点电荷Q 位于两个互相垂直的接地导体平面所

围成的直角空间内，它到两个平面的距离为a 和b ， 求空间电势。 解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导体板的作用。

--+-+-=2

2

2

00

)

()()(1

[

4b z a y x x Q πε? 2

220)()()(1

b z a y x x ++-+--

)0,(,])

()()(1

)

()()(1

2

2

2

02

2

2

0>++++-+

-+++--

z y b z a y x x b z a y x x

20. 有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大的实物的平坦界面附近的真空中，

求作用在小永磁体上的力F 。

解：根据题意，因为无穷大平面的μ很大，则在平面上所有的H 均和平面垂直，类比于静电

场，构造磁矩m 关于平面的镜像'm ,则外场为：

m e ?μ?-=0B

而 2

34cos 4r m r m πθ

π?=

?=

R m )sin cos 2(4)sin cos 2(43

0330θθθθπμθ

θπμe e e e B +=---=∴r r e r

m r r m m 受力为：

z a r e a

m e B m F )cos 1(643)(2

4202απμαθ+-=??=== 21.一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射

系数和折射系数。

解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印

亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：

2020

''E E R =??=n S n

S ， 2

12

02cos ""cos "E n E n T θθ=??=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得

2

2121

"cos cos "cos cos ???

? ??+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("

cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：?=30"θ，代入上式，得

3232+-=

R ， 3

23

2+=T 22.有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z 轴传播，一个波沿x 方向偏振，另一个沿y

方向偏振，但相位比前者超前2π，求合成波的偏振。（反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？）

解：偏振方向在 x 轴上的波可记为

)cos()cos(000x x t A kz t A E ?ωω-=-=

在 y 轴上的波可记为

)cos()2/cos(000y y t A kz t A E ?ωπω-=+-=

2/00π???=-=?x y

合成得轨迹方程为：

)](cos )([cos 02022022y x y x t t A E E ?ω?ω-+-=+

20020220)](sin )([cos A t t A x x =-+-=?ω?ω

所以，合成的振动是一个圆频率为ω的沿 z 轴方向传播的右旋圆偏振。[反之一个圆

偏振可以分解为两个偏振方向垂直，同振幅，同频率，相位差为2/π的线偏振的合成。] (另一问)。

23. 已知海水的1=r μ，1=σS ·m -1，试计算频率ν为50，106和109

Hz 的三种电磁波在海

水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度为：

πνμσωμσαδ/1/2/1===

由于 1=r μ，所以0μμ=，σπνμδ0/1=

1） 当50=νHz 时, 72110450/

171=????=-ππδm

2）当610=νHz 时, 5.0110410/1762≈????=-ππδm 3）当910=νHz 时, 16110410/1793≈????=-ππδmm

26. 一对无限大的平行理想导体板，相距为b ，电磁波沿平行于板面的z 方向传播，设波在

x 方向是均匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。

解：在导体板之间传播的电磁波满足亥姆霍兹方程：

0)(22=+?E k

00εμω=k 0=??E

令),,(z y x U 是E 的任意一个直角分量，

由于E 在 x 方向上是均匀的，所以

)()(),(),,(z Z y Y z y U z y x U ==

在 y 方向由于有金属板作为边界，所以取驻波解；在 z 方向是无界空间，取行波解。 所以通解为： z

ik y y z e y k D y k C z y x U )cos sin (),,(11+=

由边界条件：0=?E n 和0/=??n E n 定解，得到

)(1)/sin(t z k i x z e b y n A E ωπ-=；

)(2)/cos(t z k i y z e b y n A E ωπ-=；

)(3)/sin(t z k i z z e b y n A E ωπ-=

且 2

2

2

2

2

2

2

//z k b n c k +=πω，（??????=,2,1,0n ） 又由0=??E 得：A 1 独立，与A 2，A 3 无关，32/A ik b n A z =π 令k z =0 得截止频率：b c n c /πω=

30.设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率v 相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子。求站在一根尺上测量另一根尺的长度。 解：根据相对论速度交换公式可得2'∑系相对于1'∑的速度大小是

)/1/(2'22c v v v += （1）

∴在1'∑系中测量2'∑系中静长为0 l 的尺子的长度为

220/'1c v l l -= （2）

将（1）代入（2）即得：

)/1/()/1(22220c v c v l l +-= （3）

此即是在1'∑系中观测到的相对于2'∑静止的尺子的长度。

31.静止长度为l 0的车厢，以速度v 相对于地面S 运行，车厢的后壁以速度u 0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

解：根据题意取地面为参考系S ，车厢为参考系S’，于是相对于地面参考系S ，车长为

220/1c v l l -=， （1）

车速为v ，球速为

)/1/()(200c v u v u u ++= （2）

所以在地面参考系S 中观察小球由车后壁到车前壁

l t v t u +?=?

所以

)/(v u l t -=? （3）

将（1）（2）代入（3）得：2

2

0200/1)/1(c

v u c v u l t -+=

?

32 一辆以速度v 运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线上的两铁塔。求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差。设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致。铁塔到建筑物的地面距离都是l 0。

解：取地面为静止的参考系∑，列车为运动的参 考系'∑。

取 x 轴与 x ′轴平行同向，与列车车速方向一致，令t=0时刻为列车经过建筑物时，并令此处为∑系与'∑的原点，如图。

在∑系中光经过c l t /0=的时间后同时照亮左右两塔,但在'∑系中观察两塔的位置坐标

为

)

/1(/1/1'2

2

02

2

0c v c v l c v vt l x --=--=右

)/1(/1/1'2

20

220c v c

v l c v vt

l x +--=

---=

左

即：)/1(/1'220c v c v l d --=

右,)/1(/1'2

20

c v c

v l d +--=左 时间差为

2220/12''c v c vl c d c d t -=-=

?右左

33.

在坐标系∑中，有两个物体都以速度u 沿x 轴运动，在∑系看来，它们一直保持距离l 不

变，今有一观察者以速度v 沿x 轴运动，他看到这两个物体的距离是多少？ 解：根据题意，取固着于观察者上的参考系为'∑系,又取固着于A B 两物体的参考系为"∑系.

在∑中,A B 以速度 u 沿 x 轴运动,相距为l ；在"∑系中,A B 静止相距为l 0，有：