第二节 平面图形的基本作图方法

第二节平面图形的基本作图方法(建议4课时)

考纲要求

掌握平面图形的基本作图方法。

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知识要点

一、基本几何作图方法

(一)等分线段的方法

1．平行线法：过所要等分线段的某一端点作一辅助线，两线成任意锐角，在辅助线上截取几等份，连接辅助线端点及所等分线段的端点，在辅助线的各等分点上依次作端点连线的平行线，即将线段分成若干等份。

2．分规试分法：用分规以某一长度试分线段，不断调整分规两脚距离，直至等分完成。

(二)圆的等分

1．尺规作图法：运用直尺、圆规，运用几何规律来等分。要求能对圆周进行三、四、五、六等分的作图。

2．查表计算法：按公式a＝k·D(D为圆直径，k为等分系数)计算出正多边形每边长度，然后依次在圆周上截取，即得。这种方法适合于任意等分圆周。

(三)椭圆的画法

1．同心圆法(理论画法)：先求出曲线上一定数量的点，再用光滑的曲线将各点连接起来。

2．四心法(近似画法)：求出画椭圆的四个圆心和半径，用四段圆弧近似地代替椭圆。

(四)斜度与锥度画法

1．斜度：一直线(或平面)对另一直线(或平面)的倾斜程度。表示符号：∠或>，符号的

方向应与斜度的方向一致。

2．锥度：指正圆锥体底圆直径与锥高之比。表示符号?或?，符号所示方向应与圆锥方向一致。

3．斜度与锥度的比值均要写成1∶n的形式，如∠1∶n或?1∶n。

4．标注锥度时，锥度符号配置在基准线上，表示圆锥的图形符号和锥度应靠近轮廓标注，基准线应通过指引线与圆锥的轮廓素线相连。基准线应与圆锥的轴线平行，图形符号的方向与圆锥方向一致。当所标注的锥度是标准圆锥系列之一时，可用标准系列号和相应的标记表示。

(五)圆弧连接

1．圆弧连接的实质，就是要使连接圆弧与相邻线段相切，以达到圆弧连接处光滑过渡的要求，切点即为连接点。

2．圆弧连接的基本作图步骤：

(1)求作连接圆弧圆心；(2)找切点；(3)画连接圆弧。

作图时第(2)步找切点不要忽视，因为切点是连接圆弧的起点和终点，必须要找出。二、平面图形画法

(一)平面图形的尺寸分析

1．定形尺寸：确定图形中各部分几何形状大小的尺寸，如直线段的长度、圆的直径、圆弧半径和角度大小的尺寸等。

2．定位尺寸：确定图形中各个组成部分(圆心、线段等)与基准之间相对位置的尺寸。

3．基准：标注尺寸的起点称为基准。平面图形的尺寸有水平和垂直两个方向，因而就有水平和垂直两个方向的基准。平面图形中常以对称中心线、主要的垂直或水平轮廓直线、较大的圆的中心线、较长的直线作为基准。

4．平面图形尺寸分析的要求：

(1)平面图形的分析是抄画平面图形的基础，包括尺寸分析和线段分析两个方面内容，也就是分析图形中每个尺寸的作用及尺寸间的关系。

(2)平面图形中有些尺寸既是定形尺寸也是定位尺寸。

(3)平面图形中线段的关系有三种：相交、相切、等距。分析时要分清线段间的关系，不能想当然，如例3中，R35，R36两圆弧与线段AB间是相交而不是相切。若分析错误，作出的图形就与原图不吻合。

(4)要注意分析图中几何要素之间的隐含条件。

(5)分析尺寸时要首先找出尺寸基准，再找出定形尺寸，最后找出定位尺寸。

(二)平面图形的线段分析

1．已知线段：已知定形尺寸和两个方向定位尺寸的线段。即根据已知条件可以直接作出的线段。

2．中间线段：已知定形尺寸和一个方向定位尺寸的线段。即要根据它与另一已知线段的连接关系才能作图的线段。

3．连接线段：已知定形尺寸，但两个定位尺寸未知的线段。即根据已知条件不能直接作图，还要根据它与另两个已知线段的连接关系才能作图的线段。

4．线段分析方法：线段分析以尺寸分析为基础和前提，先找出已知线段，再找出中间线段，最后是连接线段。

(三)平面图形的作图方法

1．作图前，首先要对平面图形进行尺寸分析，然后再进行线段分析。要特别注意弄清线段之间的关系(相交、相切、等距)。

2．画出图形的基准线。

3．依次作出已知线段，中间线段，连接线段。

4．检查、整理，最后按要求加深图线。

(四)绘图注意事项

1．认真审清题意，严格按题目要求来作图。尤其要注意题中要求按多大的比例画图，画图后是否要求注写尺寸，是否保留作图辅助线。

2．进行圆弧连接时，要严格按步骤进行，尤其是找出切点这一步骤更是必不可少的也是最容易漏掉的。切点是连接圆弧的起点和终点，因而一定要找出。

3．作图时，要线型规范，粗细分明，连接处要光滑过渡，文字书写工整规范，保持图面整洁。

4．要养成先分析后作图的良好习惯，最忌边画边想，边画边改。 典型例题

【例1】 按1∶1的比例画出下图所示平面图形。(不标尺寸)

【解题指导】 本例作图的关键是正确作出锥度线。作图步骤如下：

(1)作出基准线。

(2)作出左侧长为25，直径为Φ20及顶角为60°的几何图形。

(3)由A 点沿水平方向向右分别截取十等份得点B 。

(4)由A 点沿竖直方向向上向下取1/2等份，得C 、D 两点。

(5)连BC 、BD ，即得1∶10的锥度线。

(6)过E 、F 两点分别作BC ，BD 的平行线(AE ＝AF ＝12mm)，交GH 于G 、H 点，(AO ＝55mm)。

(7)分别过G 、H 作2×45°倒角，即得所求作图形。

作锥度线时要注意与斜度的做法区别开来，AC ＝AD ＝12

单位长度，水平方向每一等份为一个单位长度，而不是1/2单位长度。

【答案】

【点评】 (1)斜度与锥度的研究对象不同：斜度是用于表示一条直线(或平面)对于另一

直线(或平面)的倾斜程度，而锥度的研究对象则是圆锥面。

(2)两者的计算表达不同：斜度和锥度的计算结果，虽然最后都写成1∶n 的形式，但“1”的含义不同。斜度中的“1”是单向分布，锥度中的“1”是双向对称分布，这也导致二者在作图时的不同。

(3)在标注时，都要保持符号的方向与图形方向一致。简单地说就是保持两者的收缩方向一致。

【例2】 分析下列平面图形，哪些线段是中间线段、已知线、连接线段？并进行作图。

【解题指导】通过上述对平面图形的分析可知，在绘制平面图形时，首先应画出已知线段，其次画出中间线段，最后画出连接线段。画图步骤如下：

(1) 画作图基准线：如对称中心线、圆的中心线等，如图 (a)所示。

(2) 画已知线段：根据已知的定形尺寸和定位尺寸，画出各已知线段，如图 (b)所示。

(3) 画中间线段：按连接关系，依次画出中间线段，如图 (c)所示。

(4) 画连接线段：如图 (d)所示。

(5) 描深：检查无误后，加深图线，如图 (d) 所示。

作图过程如下图所示

（a）画基准线（b）画已知线段

（c）画中间线段（d）画连接线段

【点评】(1)尺寸分析和线段分析是抄画平面图形的基础，因此在抄画平面图形前就首先做好尺寸分析和线段分析，尺寸分析应在线段分析之前。

(2)中间线段的分析是难点，应把握其定义认真加以分析。

【例3】按给定的图样，完成下图的圆弧连接，并保留作图的辅助线。

【解题指导】本例中要完成的是三段圆弧的作图。R36圆弧与R18圆弧相外切并且通过点A，这里要注意R36圆弧与线段AB不相切。R56圆弧的圆心过A点且在与水平方向垂直的直线上，并且与R18圆弧相内切。R35圆弧与R56圆弧相外切且过点B，这里同样不能误认为R35圆弧线段AB相切。所以综上所述，R36、R35圆弧为连接圆弧，R56圆弧为中间圆弧。

作图时按下列步骤：(1)求作R56中间圆弧；(2)作R35连接圆弧；(3)作R36连接圆弧。注意保留作图的辅助图线。详细的作图过程见【答案】。

【答案】

【点评】圆弧连接是平面图形作图的重点，作图时首先应认真分析线段间的关系，特别是圆弧与直线段间是否相切。另一方面求作时应根据题意保留求圆心、切点的辅助线。

【例4】根据所给平面图形，按下列要求抄画。

(1)按1∶1比例绘制；(2)线型规范；(3)保留求作圆心、切点的辅助线；(4)不注尺寸。

【解题指导】抄画平面图形，首先要对所给图形进行分析，即进行尺寸分析和线段分析。A处点画线是长度方向(水平方向)的尺寸基准，B处水平方向的点画线是高度方向的尺寸基准。定形尺寸包括3×Φ20、3×Φ30、R50、R80，定位尺寸有130、60°、R80三个尺寸。作图时要首先作出A、B、C三处的点画线及以R80为半径画出的点画线，将三个圆的圆心找出，再分别以Φ20、Φ30为直径作出三处同心圆。最后是分别作出R50、R80连接圆弧及最左位置处两外圆公切线。

作图完成后，要检查，然后加深描粗，保留作图辅助图线。详细的作图过程见下图。

【答案】

【点评】抄画平面图形是高考中常见的题型之一。首先要审清题意，弄清作图的比例、线型要求、是否保留作图线、是否要求注写尺寸等；其次，要在作图之前认真进行尺寸分析、线段分析，做到画图之前心中有数；最后要注意线型的规范及图面的整洁、清晰。

【例5】分析如图所示的平面图形，按给定尺寸抄画平面图形。

【解题指导】本例中的平面图形看起来十分简单，实际上却有别于前面例题中平面图形的作图方法。在所给的图形中，矩形长为45，宽为30，两斜线间夹角为90°，中间“缺口”宽为25且对称分布。值得注意的是中间的圆弧未给出定形尺寸，也未给出定位尺寸，因而它不是连接线段，习惯上称之为“三连弧”，但其位置及半径大小却是唯一确定的。仔细分析图形可知道，该圆弧要与三条线段相切：夹角为90°的两倾斜直线及距下边22mm的水平线。

作图步骤如下：

(1)作一长为45，宽为30的矩形并作出左、右方向的对称中心线。

(2)在矩形上边取AB＝25。(沿中心线两边对称)

(3)作∠AOB＝90°，得点O。

(4)作直线CD，使CD与底边平行且相距22mm。

(5)过CD与AO、BO的交点E、F分别作出∠AFD、∠BEC的角平分线，交于H点。

(6)过H点作AO、BO的垂线，得点M、N。

(7)以H为圆心，HM为半径画圆弧MN。

(8)检查、加深，得所求作图形。

【答案】

【点评】本题特别之处在于连接的圆弧既未给出定位尺寸又未给出定形尺寸，因而要善于分析线段之间的关系，找出连接圆弧应满足哪些位置要求，从而进一步作出满足要求的线段。

巩固训练

一、按1∶1抄画平面图形，要求保留求圆心和切点的作图线。完成下列图的线段连接，

保留求作圆心、切点的辅助线

第一题图

二、按1∶1的比例抄画图中所给平面图形

1．线型规范，保留求圆心、切点的辅助线；

第二题图