第1讲有理数的概念和性质和答案
第一讲 有理数的概念和性质
一、【概念和性质】 1、正数和负数
正数：比0大的数。如+3、+1.5、+1
2 、+584（正号可以省略）
负数：比0小的数。如－3、－1.5、－1
2 、－584（负号不可以省略）
零：既不是正数，也不是负数。零是正数和负数的分界。
【实际意义】如“零上”和“零下” “高出”和“低于”
“上升”和“下降” “超出”和“不足” “盈利”和“亏损” “收入”和“支出”
▲ 如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 例：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为－3km ，
向南－5km 表示向北5km
填空（1）若汽车向东行驶2.5千米记作+2.5千米，则向西行驶1.5千米
记作 ；汽车原地不动记作 。
（2）某人转动转盘，如果+2圈表示沿顺时针转2圈，那么圈－3表示
。
2、整数和分数统称为有理数。
▲ 有理数可以写成
m
n
（
m 、n 是整数，n ≠0）。
▲ 有理数的两种分类：
① 按定义分：
② 按符号分（常用）：
几个重要概念
整数
分数
正整数 0 负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
正整数 正分数
负整数 负分数
有理数
负有理数
0（零既不是正数，也不是负数） 有限小数
无限小数
分数 （分子是1时，这个分数就是正数）
无限循环小数
无限不循环小数（无理数）
小数 自然数
（1）非负数：正数和零 （2）非正数：负数和零 （3）非负整数：正整数和零 （4）非正整数：负整数和零
3、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
所有有理数都可以用数轴上的点表示，但不是数轴上所有点都是有理数。
左边的数 〈 右边的数
▲ 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 两个负数，绝对值大的反而小。
4、绝对值的意义与性质：
① 数轴上表示a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作||a 。
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
②
③ 非负性 2(||0,0)a a ≥≥
④ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。
5、绝对值相同，符号相反的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。 ▲ 几何特征：关于原点对称（到原点的距离相等）
6、乘积是1的两个数是互为倒数（0没有倒数） 乘积是－1的两个数是互为负倒数
▲ 正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数
▲ 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 【思考】
已知a 为有理数，判断下列语句是否正确： ① （a+1
2 ）2是正数；
② －（a －1
2 ）2是负数；
③ a 2+1
2 是正数；
④ －a 2
+12 的值不小于1
2
二、【基础练习】
[例1]（1）一个月小明体重增加2kg ，小华体重减少1kg ，小强体重无变
-2 -1 0 1 2
大
小
化，写出他们这个月的体重增长值。
（2）2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，英国增长1.3%，中国增长7.5%，写出这些国家的增长率。
解：（1）小明体重增长2kg ，小华体重增长1-kg ，小强体重增长0kg
解：6的相反数是6-，8-的相反数是8，9.3-的相反数是3.9，25
的相
反数是25-
，112-
的相反数是112
，100的相反数是100-，0的相反数是0
[例4] 写出下列各数的绝对值：
6，8-，9.3-，125
-
，0
解：6|6|=，8|8|=-，9.3|9.3|=-，125|125|=
-
，0|0|=
[例5] 比较下列各对数的大小：
)2+ （2）218-
和73- （3）)3.0(--和|
31
|-
1)1=-，2)2(-=+-
2-即)2()1(+->--
，21973|73|=
=-
|73||21
8|-<- ∴ 73218-
>- 3.0)3.0(=- 31
|31|=
- |
31
|)3.0-<-
填空 ：① 若a ＞0，b ＞0，那么a+ b 0；
② 若a ＜0，b ＜0，那么a+ b 0；
三、【培优练习】
1、若||||||
0,a b ab ab a b ab
+-
则
的值等于多少？ 解：ab ＞ 0, 则a 、b 同号，｜ab ｜
ab
=1
若都是正号，得 ｜a ｜a +｜b ｜
b =2 ， 得数为2－1=1
若都是负号，得 ｜a ｜a +｜b ｜b
=－2 ， 得数为－2－1=－3
2、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 解： D
3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，
求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 解： 已知 a +b=0 ，c d =1 ， ｜x ｜=2 原式= 4－x+0－1=3－x =3±2=5或1 4、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6
解：根据非负性，有 a-3=0, b-2=0 得 a=3, b=2 b a = 32 = 9
5、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且
||||||
||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=
+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 解：由 abc ＜0 设c ＜0， 得a 、b 同号
由a+b+c ＞0 得 a ＞0 b ＞0
X=1+1-1+1-1-1=0 所以 321ax bx cx +++ = 1
6、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，
试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 解： 即 ｜a-b ｜2007+ ｜a-c ｜2007=0 b 、c 具有同等性
可设 ｜a-b ｜=1 且 ｜c-a ｜=0 ｜b-c ｜= ｜b-a ｜=1
||||||c a a b b c -+-+- = 0+1+1=2
【巩固练习】
1、下面哪些数是正数？是负数？
5，75-
，0，0.56，3-，8.25-，0001.0-
2、某地一天中午12时气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时气温是多少？
3、化简下列各数：)68(--，)75.0(+-，
)
53(--，)8.3(+-
4、比较下列各数大小：（1）3-和5- （2）5.2-和|25.2|--
5、 写出下列各数的相反数
4-，2+，5.1-，0，31，49
-
6、写出下列各数的绝对值：125-，23+，5.3-，0
7、 如果2||=x ，那么x 一定是2吗？如果0||=x ，则x 等于几？
若x x -=则x 等于几？
8、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
9、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
10、计算：59173365129
132********
+++++-
11、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
12、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求
||
abc abc
的值。 【答案】
1、 正数：5，0.56；负数：75
-
，3-，8.25-，0001.0- 2、
3、 68，75.0-，53
，8.3-
4、（1）53->- （2）|25.2|5.2--<-
5、4，2-，1.5，0，31-
，49
6、125，23，3.5，0
7、（1）x 可以是2或2- （2）0=x （3）0=x 8、 1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 = （－4）×2004÷4+2005+2006 = －2004+2005+2006 = 2007
9、 1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
= （12+1）+（22+2）+（32+3）+.......+（n 2+n ） =（12+22+32+.....+n 2）+（1+2+3+....+n ） =
n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)
2
=
n(n+1)(n+2)
3
10、 59173365129
132********
+++++-
= 212 +214 +218 +2116 +2132 +21
64 －13
= 12 + 14 +18 +116 +132 +1
64
－1
= 12 + 14 +18 +116 +264 －6364 = 12 + 14 +18 +464 －61
64
= 12 + 14 +864 －5764 = 12 + 1664 －49
64
=
3264 －3364 = －164
11、已知,a b ||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 解： a ＝b 时， a ＝b ＝1
a ≠
b 时， ｜a －b ｜=1 ab=0 a=0时， b=±1 b=0时， a=±1